1、第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 以以2 l 为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开傅里叶展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数 f(x)周期为 2 函数 F(z)变量代换lxz将F(z)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式机动 目录 上页 下页 返回 结束 设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f(x)的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1其中定理定理.l1xl
2、xnxflldcos)(),2,1,0(n),2,1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束,)()1(为奇函数为奇函数如果如果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 为为其中系数其中系数),2,1(n,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其中系数其中系数),2,1,0(n证明证明:令lxz,则,llx,z令)(zF,)(z lf则)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(zF所以)(zF且它满足收敛定理条件,将它展成傅里里叶级数:10sinc
3、os2)(nnnznbznaazF(在 F(z)的连续点处)(xf变成是以 2 为周期的周期函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2,1,0(n),3,2,1(n),2,1,0(n),3,2,1(n(在 f(x)的 连续点处)xlxnxflldcos)(证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1)(nnbxf),2,1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f(x)的连续点处)lxnsinl20l如果 f(x)为
4、偶函数,则有(在 f(x)的连续点处)2)(0axf),2,1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注:无论哪种情况,).()(21xfxf在 f(x)的间断点 x 处,傅里里叶级数收敛于l20l如果 f(x)为奇函数,则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.把周期为4函数，一个周期表示为展开成()(22)f xxx 傅里叶级数;.解解:2oyx),2,1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2,1()1(41nnn14)(nxf).)12(2,.6,2,(2sin)1(1kxxxnnn在 x=2
5、k 处级数收敛于何值?机动 目录 上页 下页 返回 结束).)12(2,.6,2(0)(kxxf二、非周期函数的展开二、非周期函数的展开1 1。周期延拓的情形周期延拓的情形 设函数设函数 f(t)在在-l,l )上满足上满足Dirichlet 条件条件为了将其展开为为了将其展开为Fourier 级数，需要将级数，需要将 f(t)在在-l,l )以外进行周期性延拓，也就是作一个周期以外进行周期性延拓，也就是作一个周期为为 2 l 的函数的函数 F(t)使得使得F(t)在在-l,l )上上与与f(t)恒等，将恒等，将F(t)展开成展开成Fourier 级数级数 10)sincos(2)(nnnlt
6、nbltnaatF )1(而而在在 -l,l )的连续点处，的连续点处，有有 10)sincos(2)(nnnltnbltnaatf 若若 t 0 是是 -l,l )内的间断点，则在该点处，级内的间断点，则在该点处，级数收敛于数收敛于2)0()0(00 tftf)2(2 2。非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓 如果函数如果函数 f(t)只是定义在只是定义在 0,l 上，且上，且在在 0,l 上满足上满足Dirichlet 条件，需要展开条件，需要展开成成 Fourier 级数，就要先在级数，就要先在 -l,0）上上 补充补充 定义，或者说构造一个新函数定义，或者说构造一个新函数 F(
7、t)使得在区间使得在区间 0,l 上有上有F(t)=f(t)然后按照周期延拓的方然后按照周期延拓的方法将法将F(t)展开成展开成 Fourier 级数级数，当限制自变量在，当限制自变量在 0,l 上上时，就得到时，就得到 f(t)的的Fourier 展开式展开式一般而言，一般而言，奇延拓的收敛域不包括端点奇延拓的收敛域不包括端点 偶延拓的收敛域包括端点偶延拓的收敛域包括端点例例2.把展开成()(22)f xxx 傅里叶级数;.解解:将 f(x)作周期延拓,则有2oyx),2,1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2,1()1(41
8、nnn14)(nxf2sin)1(1xnnn(22)x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.把展开成)20()(xxxf(1)正弦级数;(2)余弦级数.解解:(1)将 f(x)作奇周期延拓,则有2oyx),2,1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2,1()1(41nnn14)(nxf2sin)1(1xnnn)20(x在 x=2 k 处级数收敛于何值?2oyx(2)将 作偶周期延拓,)(xf),2,1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1)1(422nnxxf)(200d22xx
9、a2kn2,0,)12(822k),2,1(k则有1222)12(cos)12(181kxkk)20(x12 kn2oyx 作周期延拓,)(xf),2,1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1)1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,)12(822k),2,1(k则有1222)12(cos)12(181kxkk(22)x12 kn机动 目录 上页 下页 返回 结束 202.()02 xxf xxx例说明说明:此式对0 x也成立,8)12(1212kk由此还可导出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222)12(
10、cos)12(181)(kxkkxxf)20(x12)12(1kk据此有2oyx机动 目录 上页 下页 返回 结束)(tfto0d)1sin()1sin(ttntn例例2.交流电压tEtEsin)(经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解:这个半波整流函数2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里里叶级数.,上的表达式为0t t02E的周期是22机动 目录 上页 下页 返回 结束 000d2sintt21Ea 2cos212E时1n0d)1sin()1sin(ttntn2Eantnn)1cos()1(12E0tnn)1cos()1(1111)1(111)1(21nn
11、nnEnn)1(1)1(21nEn32 ,0 kn,)41(22kE),1,0(kkn2机动 目录 上页 下页 返回 结束 tttEbdsinsin01ttntnEd)1cos()1cos(20)1()1sin(2ntnEbn0)1()1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1(20022sin2ttE2En 1 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于半波整流函数 f(t),),(上连续在Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分说明说明:交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在实际应用中
12、展开式取前几项就足以逼近f(x)了.to22)(tf上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.机动 目录 上页 下页 返回 结束 当函数定义在任意有限区间上时,方法方法1,)(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF,)2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里里叶级数)(zF周期延拓将2abxz)(xf在,ba代入展开式上的傅里里叶级数 其傅里里叶展开方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2,)(baxxf令,azxzazfxfzF,)()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将 代入展开式axz)(xf在,ba即axz上的正弦
13、或余弦级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束)(zFz55例例3.将函数)155(10)(xxxf展成傅里里叶级数.解解:令,10 xz设)55()10()()(zzzfxfzF将F(z)延拓成周期为 10 的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故),2,1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10)1(),2,1(n则它满足收敛定5sin)1(10)(1znnzFnn)55(z5sin)1(10101xnnxnn)155(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用欧拉公式欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式设 f(x)是周期为 2 l 的周期函数,则lxn
14、blxnaaxfnnnsincos2)(1021coslxnlxnlxniiee2sinilxnlxnlxniiee1022)(nnaaxflxnlxniiee2nbilxnlxniiee1022nnnbiaa2nnbia lxnielxnie0cncnc机动 目录 上页 下页 返回 结束 llxfl)(21llxxfld)(21200ac llxlxnxfldcos)(1212nnnbiacllxlxnxflidsin)(llxlxnilxnxfldsincos)(21llxfl)(21),2,1(dnxlxnie注意到2nnnbacxd同理),2,1(nlxnie机动 目录 上页 下页 返
15、回 结束 傅里叶级数的复数形式:xexflcTxnillnd)(212Txninnecxf2)(),2,1,0(n因此得机动 目录 上页 下页 返回 结束 式的傅里里叶级数.例例4.把宽为 ,高为 h,周期为 T 的矩形波展成复数形解解:在一个周期,22TT)(tu它的复数形式的傅里里叶系数为 2 2d1thTTh内矩形波的函数表达式为 022d)(1TTttuTc22Toyx22Th22,th2222,0TTtt机动 目录 上页 下页 返回 结束 tetuTTtnid)(12 22nc22 2d1tehTTtniTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnineTnn2sin10n),1
16、,0,2(kTkt 2inTThTniTnieeinh21Ttnie222机动 目录 上页 下页 返回 结束 为正弦 级数.内容小结内容小结1.周期为2l 的函数的傅里里叶级数展开公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 间断点)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1),1,0(n),2,1(n当f(x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里里叶展开法变换延拓3.傅里里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.将函数展开为傅里里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答:易看
17、出奇偶性及间断点,2.计算傅里里叶系数时哪些系数要单独算?答答:用系数公式计算如分母中出现因子nk作业作业:P256 1(1),(3);2(2);3 从而便于计算系数和写出收敛域.,时nnbakkba 或则必须单独计算.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题)11(2)(xxxf将期的傅立叶级数,并由此求级数121nn(91 考研)解解:y1ox12)(xf为偶函数,0nb100d)2(2xxa5xxnxand)cos()2(2101)1(222nn因 f(x)偶延拓后在,),(上连续 x225,)12cos()12(14122kkk展开成以2为周1,1x的和.故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束,0 x令得122)12(14252kk故8)12(1212kk121nn12)12(1nn12)2(1nn12141nn121nn12)12(134nn62机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业:P256 1(3);2(2)习题课 目录 上页 下页 返回 结束
