1、基础知识框图表解基础知识框图表解变量间关系变量间关系函数关系函数关系相关关系相关关系 散点图散点图线形相关线形相关线形回归方程线形回归方程问题提出和探究问题提出和探究 在中学校园里，有这样一种说法：在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题习就不会有什么大问题.”.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？
2、量之间的关系是函数关系吗？上述两个变量之间的关系是上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系一种非确定性关系，称之为称之为相关关系相关关系。一、变量之间的相关关系一、变量之间的相关关系不同点：不同点：函数关系是一种函数关系是一种确定确定的关系；而的关系；而相关关系是一种相关关系是一种非确定非确定关系关系.相关关系与函数关系的异同点：相关关系与函数关系的异同点：相同点：相同点：均是指两个变量的关系均是指两个变量的关系尝试练习一尝试练习一现实生活中存在许多相关关系，现实生活中存在许多相关关系，在下列两个变量在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？的关系中，哪些是相关关系？正方形边长与面积之间的关系；
3、正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与体重之间的关系；人的身高与体重之间的关系；人的身高与视力之间的关系；人的身高与视力之间的关系；商品销售收入与广告支出经费之间的关系；商品销售收入与广告支出经费之间的关系；粮食产量与施肥量之间的关系；粮食产量与施肥量之间的关系；匀速行驶的车辆的行驶距离与时间匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 通过收集两个变量的大量数据，进行统计和数据分通过收集两个变量的大量数据，进行统计和数据分析，找出其中的规律，对其相关关系的程度作出一析，找出其中的规律，对其相关关系的程度作出一定判断定判断.由于变量之间相关关系
4、的广泛性和不确定性，所以由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所以样本数据应较大，和有代表性样本数据应较大，和有代表性.才能对它们之间的关才能对它们之间的关系作出正确的判断系作出正确的判断.如何判断两个变量之间是否具有相如何判断两个变量之间是否具有相关关系以及相关程度的强弱关关系以及相关程度的强弱在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：得了一组样本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数本平均数.年龄年龄 232327273939414145
5、4549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？的关系？实例探究实例探究思考思考1 1：对某一个人来说，他的体内脂肪含对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如量不一定随年龄增长
6、而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性的规律性.观察上表中的数据，大体上看，观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？年龄年龄2323272739394141454549495050脂肪脂肪9.59.517.817.821.221.225.925.927.527.526.326.328.228.2年龄年龄5353545456565757585860606161脂肪脂肪29.629.630.230.231.431.430.830.833.533.535.235.234.
7、634.6思考思考2 2：为了确定人体脂肪含量和年龄之间的更明确的关为了确定人体脂肪含量和年龄之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象之间的关系有一个直观的印象.以以x x轴表示年龄，轴表示年龄，y y轴表示轴表示脂肪含量脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？吗？O455055 60 65202530 35 40年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540思考思考3 3：右图叫做右图叫做散点图散点图在平面直角坐标系中，在平面直
8、角坐标系中，表示具有相关关系的两表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，个变量的一组数据图形，称为散点图称为散点图.观察散点图的大致趋势，观察散点图的大致趋势，两个变量的两个变量的散点图散点图中点中点的分布的位置是从左下角到右上角的区域，我们称这的分布的位置是从左下角到右上角的区域，我们称这种相关关系为种相关关系为正相关正相关。O45 50 55606520 25 30 35 40年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540O思考思考4 4：如果两个变量成如果两个变量成负相关负相关，从整体上看这两个变量，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？的变化趋势如何？其散点
9、图有什么特点？散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.注：若两个变量散点图呈上图，则不具注：若两个变量散点图呈上图，则不具有相关关系。有相关关系。020406080100120020406080100例例1 1、以下是、以下是20002000年某地搜集到的新房屋年某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：的销售价格和房屋的面积的数据：房屋面积房屋面积（平方米）（平方米）616170701151151101108080135135105105销售价格销售价格（万元）（万元）12.212.215.315.324.824.821.621.618.418
10、.429.229.22222画出数据对应的散点图，并指出销售画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关还是负相关.房屋面积房屋面积（平方米）（平方米）616170701151151101108080135135105105销售价格销售价格（万元）（万元）12.212.215.315.324.824.821.621.618.418.429.229.22222如果散点图中点的分布如果散点图中点的分布从从整体整体上看上看大致在一条直大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关线性相关关系关系，
11、这条直线就叫做，这条直线就叫做回归直线回归直线。这条回归直线的方程，简称为这条回归直线的方程，简称为回归方程回归方程。二、回归直线二、回归直线 O45 50 55606520 25 30 35 40年龄年龄脂肪含量脂肪含量5101520253035401.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有量之间具有函数关系函数关系2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有变量之间就有相关关系相关关系3.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有之间就有线性
12、相关关系线性相关关系 只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性关系，才有两时候，才可以说两个变量之间具有线性关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系回归直线来描述两个变量之间的关系 有关说明有关说明三、如何具体的求出这个回归方程呢？三、如何具体的求出这个回归方程呢？O45 50 55606520 25 30 35 40年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画求回归方程的
13、关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小从整体上看，各点与直线的偏差最小”。如果散点图中点的分布如果散点图中点的分布从从整体整体上看上看大致在一条直线附近，大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有我们就称这两个变量之间具有线性相关关系线性相关关系，这条直线，这条直线就叫做就叫做回归直线回归直线。思考思考5 5：对一组具有线性相关关系的样本数据：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x(x1 1，y y1 1)，(x(x2 2，y y2 2)，(x(xn n，y yn n)，设其回归，设其回归方方程为程为 可以用哪些数量关系来刻画可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直
14、线的接近程度？各样本点与回归直线的接近程度？abxy设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：（设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：（x x1 1，y y1 1），（），（x x2 2，y y2 2），），（，（x xn n，y yn n）设所求的回归直线方程为设所求的回归直线方程为 其中其中a a，b b是待定是待定的系数。当变量的系数。当变量x x取取x x1 1，x x2 2，x xn n时，可以得到时，可以得到 （i=1i=1，2 2，n n）它与实际收集得到的它与实际收集得到的 之间偏差是之间偏差是 （i=1i=1，2 2，n n）探索过程如下：探索过程如下：这样，用这这样
15、，用这n n个偏差的和来个偏差的和来刻画刻画“各点与此直线的整体各点与此直线的整体偏差偏差”是比较合适的。是比较合适的。(x1，y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)abxyabxyii)(abxyiyyiiiiy的最小值21)(iyynii当当a，b取什么值时，取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小的值最小，即总体偏差最小2222211)abxyabxyabxyQnn （的最小值)(1iyynii的最小值|1iyynii根据有关数学原理分析，当根据有关数学原理分析，当 时，总体偏差时，总体偏差 为最小，这样为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做就得到了回归方程，这种
16、求回归方程的方法叫做最小二乘法最小二乘法.21()niiiQyy xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)()(1221121（其中，（其中，b是回归方程的斜率，是回归方程的斜率，a是截距）是截距）abxy估计值样本数值yx0.57765-0.448=37.1思考思考6 6：利用利用计算器或计算机计算器或计算机可求得年龄和可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 由此我们可以根据一个人的年龄预测其体由此我们可以根据一个人的年龄预测其体内脂肪含量的百分比的内脂肪含量的百分比的回归值回归值.若某人若某人6565岁，岁，则其体内脂
17、肪含量的百分比则其体内脂肪含量的百分比约约为多少？为多少？448.0577.0 xy能不能说他体内脂肪含量一定是能不能说他体内脂肪含量一定是37.1？若某人若某人6565岁，可预测他体内脂肪含量在岁，可预测他体内脂肪含量在37.137.1（0.5770.57765-0.448=37.165-0.448=37.1）附近的可能性比较）附近的可能性比较大。但不能说他体内脂肪含量一定是大。但不能说他体内脂肪含量一定是37.137.1原因原因：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本本估计的估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预，存在随机误差，这种误差可以导致预测结
18、果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可能百分百地保证对应于能百分百地保证对应于x x，预报值，预报值 能等于实际值能等于实际值y yy例例2、（、（07广东）下表提供了某厂节油降耗技广东）下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量术发行后生产甲产品过程中记录的产量(吨吨)与与相应的生产能耗相应的生产能耗y(吨标准煤吨标准煤)的几组对应数据的几组对应数据.X 3 4 5 6y2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图；）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出求出y关
19、于关于x的线性回归方程的线性回归方程y=;（3）已知该厂技改前）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能吨甲产品的生产能耗为耗为90吨标准煤，试根据（吨标准煤，试根据（2）求出的线性回）求出的线性回归方程，预测生产归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：（参考数值：32.5+43+54+64.566.5）axb4166.5iiiX Y4222221345686iiX4.5X 3.5Y 266.54 4.5 3.566.5630.7864 4.58681b 3.50.7 4.50.35aYbX所求的回归方程为所求的回归
20、方程为 0.70.35yx（2）解：）解：100 x（3）100 0.70.3570.35y 预测生产预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降吨甲产品的生产能耗比技改前降低低 (吨吨)9070.3519.65例例2 2、有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究、有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：的热饮杯数与当天气温的对比表：1 1、画出散点图；、画出散点图；2 2、从散点图中发现气温与热饮、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；销售杯数之间关系的一般规律；3
21、3、求回归方程；、求回归方程；4 4、如果某天的气温是、如果某天的气温是2 2摄氏度，摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。预测这天卖出的热饮杯数。图3-1050100150200-2002040热饮杯数1、散点图、散点图2 2、从图、从图3-13-1看到，各点散布在从左上角到由下角的看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。3 3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式线的附近，因此
22、利用公式1 1求出回归方程的系数。求出回归方程的系数。Y=-2.352x+147.767Y=-2.352x+147.7674 4、当、当x=2x=2时，时，Y=143.063 Y=143.063 因此，某天的气温为因此，某天的气温为2 2摄氏度时，这天大约可以卖出摄氏度时，这天大约可以卖出143143杯热饮。杯热饮。本节重点知识回顾本节重点知识回顾1 1、相关关系、相关关系 （1 1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。（2 2）相关关系与函数关系的异同点。）相关关
23、系与函数关系的异同点。相同点：两者均是指两个变量间的关系。相同点：两者均是指两个变量间的关系。不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但可能是伴随关系）。可能是伴随关系）。（3 3）相关关系的分析方向。）相关关系的分析方向。在收集在收集大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，对它们的关系作出判断。对它们的关系作出判断。2、两个变量的线性相关、两个变量的线性相关 （1 1）回归分析）回归分析 对具有相关关
24、系的两个变量进行统计分析的方法叫对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定关系的某种确定性。定关系的某种确定性。（2 2）散点图）散点图 A A、定义；、定义；B B、正相关、负相关。、正相关、负相关。3 3、回归直线方程、回归直线方程 注注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状,则则这两个变量之间不具有相关关系这两个变量之间不具有相关关系.3 3、回归直线方程、回归直线方程 （1 1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分）回归直线：观察散点
25、图的特征，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。关系，这条直线叫做回归直线。（2 2）最小二乘法）最小二乘法nn(x-x)(y-y)xy-n x yiiiii=1i=1b=,nn222(x-x)x-n xiii=1i=1a=y-b x.nn11x=x,y=y.iinni=1i=1其其中中 yb xa(3)(3)利用回归直线对总体进行估计利用回归直线对总体进行估计练习练习2-12-1、观察两相关量得如下数据观察两相关量得如下数据:101022110,0,110,330,110.iiiiiixy
26、yyxx求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程.解：列表：解：列表：计算得：计算得：1011022110110100111010010iiiiixybyxxx000aybxb.yx所求回归直线方程为所求回归直线方程为注意：求回归直线方程的步骤：注意：求回归直线方程的步骤：,;iiiiyyxx22111,nnniiiiiiixyyyxx第一步：列表第一步：列表第二步：计算：第二步：计算：第三步：代入公式计算第三步：代入公式计算b b，a a的值的值第四步：列出直线方程。第四步：列出直线方程。练习练习2-2、:给出施化肥量对水稻产量给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：影响的试验数据：施化肥施化
27、肥量量x15202530354045水稻产水稻产量量y330 345 365 405 445 450 455(1)(1)画出上表的散点图画出上表的散点图;(2)(2)求出回归直线并且画出图形求出回归直线并且画出图形.从而得回归直线方程是从而得回归直线方程是 3.399,30yx777221117000,1132725,87175iiiiiiixyx y2573075.43.399,75.430770003.399307871752ab4.75257yx解：解：(1)(1)散点图（略）散点图（略）(2)(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格表中的数据进行具体计算，列成以下表格20475180
28、001557512150912569004950 xiyi455450445405365345330yi45403530252015xi7654321i(图形略图形略)故可得到故可得到4 4、利用回归直线方程对总体进行估计、利用回归直线方程对总体进行估计练习练习2-32-3、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量X与与冶炼时间冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）
29、的一列数据，（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：如下表所示：（1 1）作出散点图，找规律。）作出散点图，找规律。（2 2）求回归直线方程。）求回归直线方程。（3 3）预测当钢水含碳量为）预测当钢水含碳量为160160时，应冶炼多少分钟？时，应冶炼多少分钟？画图3 解解:(1):(1)作散点图作散点图从图可以看出从图可以看出,各点分布在一条直线附近各点分布在一条直线附近,即它们线形相关即它们线形相关.(2)(2)列出下表列出下表,并计算并计算10101022111159.8,172,265448,312350,287640iiiiiiixyyyxx ybxa1021()iiiQ
30、ybxa10110221101.26710iiiiixybyxxx30.51.aybx 设所求的回归直线方程为设所求的回归直线方程为其中其中a,ba,b的值使的值使的值最小的值最小.所以回归直线的方程为所以回归直线的方程为 =1.267x-30.51(3)(3)当当x=160 x=160时时,1.267.160-30.51=172,1.267.160-30.51=172 y y归纳：归纳：1.1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数第一步，计算平均数 ,xy1niiix y21niix第二步，求和第二步，求和 ,(列表）列表
31、）1122211()(),()nniii iiinniiiixx yyxynx ybay bxxxxnx 第三步，计算第三步，计算 ybxa=+第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 2.2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近大致分布在回归直线附近.对同一个总体，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性回归直线也具有随机性.3.3.对于任意一组样本数据，利用上述公式都对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得可以求得“回归方程回归方程”，如果这组数据不具，如果这
32、组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的所得的“回归方程回归方程”是没有实际意义的是没有实际意义的.因此，因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程性相关关系的前提下再求回归方程.整体上最接近整体上最接近 采用测量的方法：先画一条直线，测采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。斜率和截距，就得到回
33、归方程。三、如何具体的求出这个回归方程呢？三、如何具体的求出这个回归方程呢？O45 50 55606520 25 30 35 40年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540 在图中选取两点画直线，使得直线在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。两侧的点的个数基本相同。三、如何具体的求出这个回归方程呢？三、如何具体的求出这个回归方程呢？O45 50 55606520 25 30 35 40年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540 在散点图中多取几组点，确定几条直线的在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，方程，分别求
34、出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。三、如何具体的求出这个回归方程呢？三、如何具体的求出这个回归方程呢？O45 50 55606520 25 30 35 40年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540 以上公式的推导较复杂，故不作推以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫线的距离的平方和最小，这一方法叫最小最小二乘法二乘法。（参看如书。（参看如书P88-P89）O45 50 55606520 25 30 35 40年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540
