1、第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定 课时1 相似三角形及平行线分线段成比例目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸如图，过点 D 作 DFAC，交 BC 于点 F.解：(1)ABCADE，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(2)ABCDFE.如图，DEBC，则 ；定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.知识点2 平行线分线段成比例 ADE=B，AED=C.解：(1)ABCADE，三角形相似的两种常见类型：PC=2ND=4PM=4cm.100 C.平行于三角形一边的直线和其他两边相交
2、，所构成的三角形与原三角形相似若ABC与ABC相似，A=55,B=100，那么 C的度数是（）如图，过点 D 作 DFAC，交 BC 于点 F.几何语言：如下图所示，DE/BC，ADEABC.我们就说ABC与ABC_，记作_，ABC与ABC 相似比是k，则ABC与ABC的相似比是_.解：(1)AB=AC，ADBC于点D,M是AD的,（1）若AB=6cm，求AP的长；ADE 与ABC 的三个角分别相等吗？1.理解相似三角形的概念理解相似三角形的概念.2.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明形判定
3、定理的预备定理的有关证明.（重点、难点）（重点、难点）3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.（重点、难点）（重点、难点）学习目标新课导入情景导入判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS).类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？新课讲解 知识点1 相似三角形 我们就说ABC与ABC_，记作_，ABC与ABC 相似比是k，则ABC与ABC的相似比是_
4、.在相似多边形中，最简单的就是相似三角形 在ABC与ABC中，如果A=A,B=B,C=C,kCAACCBBCBAAB/且ABCABC相似相似1k新课讲解反之如果ABCABC，则有A=_,B=_,C=_,且/ABBCACkA BB CA CABC相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？新课讲解当相似比等于当相似比等于1 1时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.新课讲解例典例分析 ABC与DEF的各角度数和边长如图所示，则ABC与DEF能否相似？说明理由解：因为解：因为A70，B60，所以，所以C50.因为因为F60，E50，所以，所以D70.所
5、以所以AD，BF，CE.新课讲解 ABCDFE.333.63=,=,=,222.42ABBCACDFEFDE=.ABBCACDFEFDE新课讲解判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相一是对应角相等，二是对应边成比例等，二是对应边成比例另外在书写两个三角形相似时，一另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在定要将对应的顶点写在对应对应的位置上的位置上方法总结新课讲解典例分析例2 如图，已知ABCADE，AE50cm，EC30cm，BC58cm，BAC45，ACB40，求：(1)AED和ADE的度数；(2)DE的长解：解：(1)ABCA
6、DE，AEDACB40.在在ADE中，中，ADE180404595；(2)ABCDFE.=.AEDEACBC50=50+3058DEDE36.25(cm).新课讲解 当题目中有相似三角形当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形或能证明出相似三角形)时，首时，首先考虑用先考虑用相似三角形的性质相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段能得到成比例的线段方法总结新课讲解 知识点2 平行线分线段成比例合作探究如图，小方格的边长都是1，直线 abc，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.图新课讲解 (1)计算 ，你有什么发现？1212
7、2323A AB BA AB B，(3)根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？(2)将 b 向下平移到如图的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2.你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？新课讲解若ab c 则 ，12122323A AB BA AB BA1A2A3B1B2B3bc23231212A AB BA AB B12121313A AB BA AB B，23231313A AB BA AB Ba结论 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线
8、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：符号语言：新课讲解典例分析如图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是 ()A.B.C.D.DFBDCEACBFBDAEACCEDFAEBFACBDBFAEDACEBDFl2l1l3新课讲解 知识点3 平行线分线段成比例定理的推论观察与思考如图，直线ab c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，A1A2A3B1B2B3bcmna把直线把直线 n 向左或向右任意平移，向左或向右任意平移，这些线段依然成比例这些线段依然成比例.新课讲解A1A2A3bcmB1B2B3na 直线
9、 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A1(B1)A2A3B2B3()判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上若ABC与ABC相似，A=55,B=100，那么 C的度数是（）解：(1)ABCADE，(2)ABCDFE.理解相似三角形的概念.在ADE中，ADE180404595；如图，DEBC，则 ；DB=DC,AM=MD.ADEABC.你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？例2
10、如图，已知ABCADE，AE50cm，EC30cm，BC58cm，BAC45，ACB40，求：若ABC与ABC相似，一组对应边的长为AB=3 cm，AB=4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_ .在ABC与ABC中，如果A=A,B=B,C=C,ADE 与ABC 的三个角分别相等吗？（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_如图，小方格的边长都是1，直线 abc，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.在相似多边形中，最简单的就是相似三角形ADEABC.（2）若PM=1cm,求PC的长.新课讲解 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把
11、图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A1A2A3bcmB1B2B3naA2(B2)A1A3B1B3()新课讲解A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3归纳平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得所得的对应线段成比例的对应线段成比例.新课讲解例典例分析 如图，DEBC，则 ；FGBC，则 .ABAD52ACAE25ABCEDFG2CGAGABAF23新课讲解例典例分析如图，在ABC中，求证：ABCEF证明证明ADAEDBEC，ADDBAEECDBEC.ABACDBEC，ADAEDBEC，
12、.ABACDBEC新课讲解 知识点4 利用平行线判定两个三角形相似的定理观察与思考如图，在ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.BCADEADE 与ABC 的三个角分别相等吗？的三个角分别相等吗？分别度量分别度量ADE 与与ABC 的边长，它的边长，它们的边长是否对应成比例？们的边长是否对应成比例？新课讲解BCADEADE 与与ABC 之间有什么关系？平行移动之间有什么关系？平行移动DE 的位置，的位置，结论还成立吗？结论还成立吗？通过度量，我发现通过度量，我发现ADEABC，且只要，且只要DEBC，这个结论恒成立，这个结论恒成立.新课讲
13、解BCADE要用相似的定义去证明要用相似的定义去证明ADEABC，我们，我们需要证明什么？需要证明什么？ADAEDEABACBC新课讲解而除 DE 外，其他的线段都在ABC 的边上，要想利用前面得到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？BCADE 由前面的结论可得ADAEABAC，需要证明的是 ，ADAEDEABACBC由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？可以将可以将 DE 平移到平移到BC 边上去边上去判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS).ADEABC.
14、(2)ABCDFE.(1)AED和ADE的度数；当相似比等于1时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？如图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是 ()当相似比等于1时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.如图，AB=AC，ADBC于点D,M是AD的中点，CM交AB于点P,DN CP.100 C.我们就说ABC与ABC_，记作_，ABC与ABC 相似比是k，则ABC与ABC的相似比是_.分别度量ADE 与ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？知识点2 平行线分线段成比例ABCABCADEABC.证明：在 ADE
15、与 ABC 中，A=A.（2）若PM=1cm,求PC的长.当相似比等于1时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似ADE 与ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？新课讲解证明：在证明：在 ADE 与与 ABC 中，中，A=A.DEBC，ADE=B，AED=C.如图，过点如图，过点 D 作作 DFAC，交，交 BC 于点于点 F.CABDEF用相似的定义证明：ADEABC.DEBC，DFAC，.ADAEADCFABACABCB，四边形四边形DFCE为平行四边形，为平行四边形，DE=FC，ADEABC.=A
16、DAEDEABACBC，新课讲解结论定理：定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似与原三角形相似.几何语言：如下图所示，DE/BC，ADEABC.定理中定理中“和其他两边相交和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交是指和其他两边所在的直线相交.（2）若PM=1cm,求PC的长.若ABC的三条边长分别为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个ABC的最小边长为12 cm，那么 ABC的最大边长是_.若ABC与ABC相似，A=55,B=100，那么 C的度数是（）如图，过点 D 作 DFAC，交 BC 于点 F
17、.当相似比等于1时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.D.若ABC与ABC相似，A=55,B=100，那么 C的度数是（）解：(1)ABCADE，（1）若AB=6cm，求AP的长；(2)ABCDFE.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？例2 如图，已知ABCADE，AE50cm，EC30cm，BC58cm，BAC45，ACB40，求：(2)将 b 向下平移到如图的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2.当相似比等于1时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.ADEABC.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证
18、明和计算.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似FGBC，则 .新课讲解三角形相似的两种常见类型：“X”型 DEABC“A”型 ABCDE新课讲解例典例分析如图，AB/EF/DC，AD/BC，EF 与 AC 交于点 G，则图中的相似三角形共有()CDABEFG解析：解析：AEG ADC CFG CBA.C课堂小结平行于三角形一边的直线和其他两边相交，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似所构成的三角形与原三角形相似平行于三角形一边的直线截其他两边
19、平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延或两边的延长线长线)，所得的对应线段成比例，所得的对应线段成比例平行线分线段成比例平行线分线段成比例基本事实基本事实推论推论判定三角形判定三角形相似相似两条直线被一组平行线所截，所得两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例的对应线段成比例当堂小练1.如图，在ABC中，DGEHFIBC，（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_ABCDEFGHIADGAEHAFIABC1：4当堂小练2.如图，已知菱形 ABCD 内接于AEF，AE=5cm，AF=4 cm，求菱形的边长.解：解：四边形四边形 ABCD 为菱形
20、，为菱形，BCADEFCDAB，.CDDFAEAF设菱形的边长为设菱形的边长为 x cm，则，则CD=AD=x cm，DF=(4x)cm，解得解得 x=菱形的边长为菱形的边长为 cm.20.9454xx，209当堂小练3.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_.4.若ABC与ABC相似，一组对应边的长为AB=3 cm，AB=4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_ .5.若ABC的三条边长分别为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个ABC的最小边长为12 cm，那么 ABC的最大边长是_.全等全等4324cm当堂小练6.已知ABC的三条边长3cm,4cm,5cm,ABCA1B1C1，
21、那么A1B1C1的形状是_，又知A1B1C1的最大边长为25cm，那么A1B1C1的面积为_.直角三角形直角三角形150cm27.若ABC与ABC相似，A=55,B=100，那么 C的度数是（）A.55 B.100 C.25 D.不能确定C拓展与延伸5.如图，AB=AC，ADBC于点D,M是AD的中点，CM交AB于点P,DN CP.（1）若AB=6cm，求AP的长；（2）若PM=1cm,求PC的长.解：解：(1)AB=AC，ADBC于点于点D,M是是AD的的,DB=DC,AM=MD.DN CP,.,DCBDPNBNADAMPNAP.BNPNAP又又AB=6cm，AP=2cm.拓展与延伸（2）若PM=1cm,求PC的长.DN CP,.21,21PCNDBPBNNDPMANAP又又PM=1cm，PC=2ND=4PM=4cm.解：由（解：由（1）知）知AP=PN=NB,
