1、13.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性目 标 要 求热 点 提 示1.了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法2能用文字语言和数学符号语言正确描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点.本节是研究函数的单调性及其应用，学习时应注意以下几点：(1)要结合特殊函数实例，利用图象的形象直观，从感性上认识函数图象具有上升或下降的变化趋势；(2)函数单调性是用严谨的、定量的数学符号语言描述地，必须结合实例准确地把握；(3)判断或证明函数单调性，需要综合运用其他知识(如不等式、因式分解、配方法、数形结合等)，应注意复习相关知识.德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘
2、在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线(下图)艾宾浩斯记忆遗忘曲线这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”通过这条曲线能说明什么数学问题呢？1增函数和减函数的定义设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的 x1，x2，当x1x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的 x1，x2，当x1
3、x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数任意两个自变量的值f(x1)f(x2)2函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是 ，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的 增函数或减函数单调区间1函数y2x2在R上()A是增函数B是减函数C既是增函数又是减函数 D不具有单调性答案：A2函数yf(x)的图象如右图所示，其增区间是()A4,4B4，31,4C3,1D3,4答案：C3函数f(x)在R上是减函数，则有()Af(3)f(5)Df(3)f(5)解析：函数f(x)在R上是减函数，3f(5)答案：C5求证：函数f(x)2x2在0，)上是增
4、函数证明：设0 x1x2，则f(x1)f(x2)2x2x2(x1x2)(x1x2)0 x1x2，x1x20.f(x1)f(x2)函数f(x)2x2在0，)上是增函数温馨提示：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域，因为单调区间是定义域的子集，如果函数是复合函数，那么可将函数分解成基本初等函数，然后利用“同增异减”的原则求解 类型三利用函数的单调性求参数取值范围【例3】已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，求实数a的取值范围思路分析：由题目可获取以下主要信息：所给函数为二次函数，且含有参数；函数在区间(，4上是减函数解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对
5、称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解解：f(x)x22(a1)x2x(a1)2(a1)22，此二次函数的对称轴为x1a.f(x)的单调减区间为(，1af(x)在(，4上是减函数，对称轴x1a必须在直线x4的右侧或与其重合1a4，解得a3.温馨提示：(1)二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便(2)已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法 思路分析：如果能够推导出原函数的单调性，那么这个问题就能迎刃而解，此题的关键是如何推证出该函数的单调性温馨提示：研究抽象函数的单调性问题，仍采用特值法，即给变量赋予特殊值不过在这里为了比较f(x1)与f(x2)的大小，往往需要把x1用x2(x1x2)来代替，再注意到题目中所给的条件，顺利地放缩即可 本例中，若将函数“在区间(，4上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(，4”，则a为何值？解：由例题知函数f(x)的单调递减区间为(，1a，1a4，a3.,
