1、第一章 直线和平面三垂线定理三垂线定理无锡市八士中学无锡市八士中学 李张根李张根这是偶然的巧合，还是必然？EMDBOAAEOD？coscos=cos=AOB=AOD=DOBAaOPPO a？AaOP 已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，aAO。求证：aPO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理AaOP证明：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA a三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。AaOP证明：aPOPA a AOaa平面P
2、AOPO平面PAOPA aPCBAO例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平面平面ABC，AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：P 是平面是平面ABC 外一点外一点 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BCM例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD(3)在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是B
3、C的中点，求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBDPOABCD证明:ABCD为正方形 O为BD的中点 AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理，ACBD AO是PO在ABCD上的射影PCBDPMCAB(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMBCAM证明:PB=PCM是BC的中点PM BCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影(3)在正方体AC1中，求证：A1CBC1，A1CB1D1 在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1
4、且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：C B A1B1 C1A D D1同理可证，A1CB1D1由三垂线定理知 A1CBC1 PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾解题回顾，怎么找？三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件解题回顾解题回顾PAOaPAOabcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线
5、可以是：相交直线相交直线异面直线异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？解题回顾解题回顾直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。PAOa例如：当 b 时，bOA注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但但 b不垂直于OP 解题回顾解题回顾若a是平面的斜线，直线b垂直于 a在平面内的射影，则 ab （）若a是平面的斜线,b,直线 b垂直于a在平面内的射影，则 ab （）若a是平面的斜线，直线b 且b垂直于a在另一平面内的射 影则ab （）若 a是平面的斜线，平面内 的直线b垂直于a在平面内的射 影，则 ab （）练习：判断下列命题的真假：面ABCD 面
6、直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 bADCBA1D1C1B1面ABCD 面面B1BCC1面直线A1C 斜线 a直线AB 垂线 b面ABCD 面直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 bPAOal已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影，a ,a AO，l 平行于 a 。求证：l 垂直于PO若a是平面的斜线,b,直线 b垂直于a在平面内的射影，则 abPAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直PAOa线面垂直线斜垂直PAOa直 线 和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂
7、直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定理逆定理线射
8、垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定 理逆定理例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：BAO=CAO分析：要证 BAO=CAO只须证OE=OF,OEAB,OFACP C B A O F E?证明：PO OE、OF是PE、PF在内的射影 PE=PF OE=OF由OE是PE的射影且PEAB OEAB同理可得OFAC结论成立例4 在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD求证：ADBCDOBC，于是ADBC.证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO
9、，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点，F在AB上，且C1EEF，则EF与GD所成的角的大小为（）(A)30(B)45(C)60(D)90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是EC1在平面AB1内的射影EB1 EFDGAMEB1EF DG练习与作业2.已知 PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是ABC的垂心。CBPAH3.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。4.在ABCDA1B1C1D1中，求证：AC1平面BC1DD1DCBAC1B1A1
