1、一、背景知识一、背景知识 任意角的三角函数任意角的三角函数是三角学中最基本是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到在相当长的时期里隶属于天文学。直到1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著论各年，德国数学家雷基奥蒙坦著论各种三角形，才独立于天文学之外对三角种三角形，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；知识作了较系统的阐说；1416世纪，三角世纪，三角学曾一度成为欧
2、洲数学的主要内容，研究学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。建立和推导等等。1631年，三角学输入中年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线八线”和和“三角三角”。“八线八线”是指在单位圆上是指在单位圆上的八种三角函数线：的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为余
3、矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。线电学中有着广泛的应用。温故而知新温故而知新sinBCAAB tanBCAAC cosACAAB ACB对边邻边斜边在直角三角形在直角三角形ABCABC中，角中，角A A的取值范围是？的取值范围是？（0 0o o，9090O O）sin120sin120o o=?=?cos150cos150o o=?=?tan315tan315o o=?=?问题问题:1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？、在
4、初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba 复习回顾OabMPc1.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数OabMP yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课 导入22:barOPbMPaOM其中 yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan新课 导入baP,Mo如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOP
5、MPOOMMOPM诱思 探究MOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1 rOPbaab3.锐角三角函数（在单位圆中）锐角三角函数（在单位圆中）以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆长度为半径的圆，称为单位圆.yoP),(bax1M探究：在直角坐标系中，锐角探究：在直角坐标系中，锐角 的三角函数能用其的三角函数能用其终边上的点的坐标表示吗？终边上的点的坐标表示吗？OxyM),(yxP22|yxOPr记rysinOPMP=yrxcosOPOM=xtanOMMP=xy思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？思考：如何利用单位圆定义任意角的三
6、角函数？),(yxP=12.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP 那么:（1）叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；ysinysin （2）叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ；cosxxcos（3）叫做 的正切正切，记作 ，即 。xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数.0,1AOyxyxP,)0(x使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合即为三角
7、函数的定义域即为三角函数的定义域.)0,1(AxyoP),(yx的终边说说 明明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值.的横坐标，的横坐标，正切就是正切就是 交点的纵坐标与交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 y横坐标等于横坐标等于0，xytan无意义，此时无意义，此时)(2zkk轴上时，点轴上时，点P 的的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数.任意角的
8、三角函数的定义过程：任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin直角坐标系中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin单位圆中定义锐角三角函数 ababtan,cos,sin单位圆中定义任意角的三角函数,sinyxcosxytan,【引引例】：如图已知角例】：如图已知角的终边与单位圆的交点是的终边与单位圆的交点是 ，求角，求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。)23,21(P解：根据任意角的三角函数定义：23sin21cos3tanOxy)23,21(P点评：若已知角点评：若已知角的终边与单位圆的交点坐标，则可的终边与单位圆的
9、交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。直接利用定义求三角函数值。例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为)23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢?3567,2167sin，,2367cos3367tan实例 剖析xyoAB35点评：若已知角点评：若已知角的大小，可求出角的大小，可求出角终边与单位终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。7
10、2.4求求角角的的各各个个三三角角函函数数值值例例分析：分析：此题只给出角的大小，没有给出其终边上的任一点的坐标，因此题只给出角的大小，没有给出其终边上的任一点的坐标，因此我们首先根据角的大小确定终边的位置，并在终边上取任意此我们首先根据角的大小确定终边的位置，并在终边上取任意一点并确定其坐标，再根据三角函数的定义求解。一点并确定其坐标，再根据三角函数的定义求解。XYO47解：解：7,4,(1,1),x1,y1P 如如右右图图所所示示角角是是第第四四象象限限角角它它的的终终边边是是第第四四象象限限的的角角平平分分线线 在在这这条条角角一一部部分分线线上上任任取取一一点点即即22 r1(1)2
11、则则根据三角函数的定义得：根据三角函数的定义得：7y12sin4r22 ，7x12cos4r22 7y1tan14x1 ，7x1cot14y1 P（1，-1）例例2 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余的正弦、余弦和正切值弦和正切值.)4,3(0P5)4()3(220OP解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxP分别过点分别过点 、作作 轴的垂线轴的垂线 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是，;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34c
12、ossintanxy4,30P0MOyxMyxP,解题方法总结解题方法总结（1）已知交点）已知交点P的坐标，直接用定义。的坐标，直接用定义。（2）已知角，则先求交点）已知角，则先求交点P的坐标再用定义的坐标再用定义 设角设角 是一个任意角，是一个任意角，是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离),(yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的终边上的位置
13、无关终边上的位置无关.P定义推广：定义推广：任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义xyo的终边的终边P（x，y）rsinyr cosxr tanyx 思考：思考：1 1、对于确定的角、对于确定的角，比值，比值(如果有的话如果有的话)与与P P点点在在终边上的位置终边上的位置有无关系？有无关系？2 2、可以看作一个函数？、可以看作一个函数？怎么对应？怎么对应？3 3、对于、对于正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切的定义，任意的角的定义，任意的角都是有意义的吗？都是有意义的吗？4 4、不同角限上的、不同角限上的符号符号如何？如何？135122222yxr1312cosrx125tanxy135sin
14、ry于是于是，巩固 提高练习练习 1、已知角、已知角 的终边过点的终边过点 ，求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.5,12P解：由已知可得：解：由已知可得：2P15,8aa、已知角 的终边上一点aR且a0，sin,cos,tan求角 的的值.-15,8,xa ya解：由于22158170raaa a所以 1017,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 20-17,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 32sin,cos,tan.yx、已知角 的终边在直线上，求角 的的值 1解：当角 的终
15、边在第一象限时，221,2125在角 的终边上取点，则r=22 5152sin,cos,tan255155 2当角 的终边在第三象限时，221,2125r 在角 的终边上取点，则22 5152sin,cos,tan255155 1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）（弧度制）探探究究sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R+-+-+-+-例例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时，
16、角角 为第三象限角为第三象限角.0tan 0sin 证明：证明：因为式因为式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；0sin 又因为式又因为式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限.0tan 因为式都成立，所以角因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.如果两个角的终边相同，那么这两个角的如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数
17、值有何关系？同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求求 角的三角函数值角的三角函数值.360020到或到？几个特殊角的三角函数值2 32 2 000000001111 1 不不存存在在不存在不存在03 4 6 2222112323332123例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：解：250cos)672tan(4sin
18、（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因为）因为 =，而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号516cos)34sin()817tan(（3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值：（1）（2）49cos)611tan(解：（解：（1）224cos)24cos(49cos练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值319tan)431tan(31336
19、tan6tan)26tan()611tan(（2）117119cossintan363练习：求值117119cossintan363解：cos4sin12tan 6363cossintan3631131322 1.内容总结：内容总结：三角函数的概念三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.诱导公式一诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想划归的思想，数形结合的思想.归纳 总结2.方法总结：方法总结：3.体现的数学思想：体现的数学思想：作业：作业：课本第20页 习题1.2 A组 1、2、6、7、第9题的（1）（3）题.
