1、4.1 微分中值定理第四章第四章 中值定理中值定理 与导数的应用与导数的应用4.2 洛必达法则4.3 函数单调性的判别4.4 函数的极值与最值4.5 曲线的凸性、拐点与渐近线4.6 函数作图14.3 函数单调性的判别函数单调性的判别 4.5 曲线的凸性、拐点曲线的凸性、拐点1.函函数数单单调调性性2.函函数数的的凹凹凸凸性性与与拐拐点点2xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0()fx abBA 从几何图形上看，沿从几何图形上看，沿x轴正方向，单调函数的曲线轴正方向，单调函数的曲线总是总是上升上升（下降下降）的。）的。若曲线在某区间内每点处的若曲线在某区间内每点处的切线斜率切线
2、斜率都为都为正正(负负)，即切线的倾角全为即切线的倾角全为锐角锐角(钝角钝角)，曲线就是，曲线就是上升上升(下降下降)的的.启示启示 能否利用导数的符号来判定单调性能否利用导数的符号来判定单调性？1.函函数数单单调调性性3()(,),yf xaabb 单单调调设设函函数数是是上上的的连连续续函函数数，并并且且在在增增加加(,)(xa bxx xx ，则则对对任任意意一一点点和和自自变变量量在在 的的增增量量内内可可导导(,)()()a byf xxf xx ，对对应应的的函函数数的的增增量量为为，当当0000,0yyxyx 时时，当当时时，故故恒恒成成立立，由由极极限限的的保保号号性性，有有0
3、m.()li0 xyf xx .()0fxf x 若若是是的的，同同样样可可知知 单单调调减减少少(),()f xa b可可导导函函数数在在上上单单调调增增加加注注减减少少 ()0(0)fx (,)xa b 4反反之之，有有如如下下定定理理：(),(,)yf xa ba b 设设函函数数在在上上定定理理连连续续，在在内内可可导导，(2)(,),(),0(a bffxxa b 如如果果在在内内单单则则函函数数在在上上调调减减少少。(1)(,),(),0(a bffxxa b 如如果果在在内内单单则则函函数数在在上上调调增增加加；,1 a b如如果果把把定定理理中中的的换换成成其其他他各各种种区区
4、间间，注注结结论论仍仍成成立立。()(,)2 fxa b 如如果果在在内内除除处处导导数数等等于于零零，有有限限个个点点注注其其余余各各点点(),()f xa b均均为为正正(或或负负)时时,那那么么在在上上仍仍是是单单调调增增加加 减减少少 的的。5313yxx例例 讨讨论论函函数数的的单单调调性性。233yx ，解解3 3 yxx 函函数数的的定定义义域域为为（-，+）0y 在在（-，-1 1）和和（1 1，+）内内，函函数数单单调调增增加加0y 在在（-1 1，1 1）内内，函函数数单单调调减减少少 1x 得得驻驻点点 函数的单调性是一个函数的单调性是一个区间上区间上的性质，要用导数在的
5、性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而这一区间上的符号来判定，而不能用一点处不能用一点处的导数符的导数符号来判别一个区间上的单调性。号来判别一个区间上的单调性。单调区间的单调区间的分界点分界点为为驻点驻点6232yx 讨讨论论函函数数的的例例单单调调性性。1323yx 解解32 yx 函函数数 的的定定义义域域为为（-，+）0,y 在在（-，0 0）内内，在在 0 0,+)函函数数单单调调增增加加0,y 在在（0 0，+）内内，在在（-,0 0 函函数数单单调调减减少少323x(0)x 0 x 当当时时，导导数数不不存存在在yxo32xy 单调区间的单调区间的分界点分界点为为导数不存在导数
6、不存在的点的点.7(1)()f x确确定定函函数数的的定定义义域域；(2)()(0yyf x 求求出出单单调调区区间间所所有有可可能能的的包包括括的的界界点点及及分分点点)的的点点，并并根根据据分分界界点点把把定定义义域域分分成成若若干干不不存存在在开开区区间间；(3)y 判判断断一一阶阶导导数数在在每每个个开开区区间间的的，根根符符号号据据定定理理确确定定函函()f x数数的的单单调调性性。注注 导数导数=0的点（驻点）和的点（驻点）和不可导点不可导点，可能是单调区间，可能是单调区间 的的分界点分界点。单单调调区区间间的的求求法法83(1)3yxx 确确定定函函数数的的例例单单调调区区间间。
7、解解 332112)(1)3yxxx 0 x （不不可可导导）令令0,y 得驻点得驻点1,4x xy y(,0)14不不存存在在001(0,)41(,)4 033144 故故3(1)yxx的的单调减单调减区间为区间为1(,4 ；单调增单调增区间为区间为1,).4 324133xx 31)(1)yxx 函函数数 的的定定义义域域为为（-，+）3)列表判别列表判别如果函数在某驻点如果函数在某驻点(不可导点不可导点)两边导两边导数数同号同号,则则不不改变函数的单调性改变函数的单调性.14515.(4)P 90 ln(1).14xxxxx 证证明明：当当例例时时，01.xxex证证明明：当当时时，练练
8、习习证证 令令()ln(1),f xxx ,()f x 则则在在0,+)0,+)上上连连续续，且且在在(0,+)(0,+)上上可可导导1()11fxx 1xx 0()0,),f x 因因此此在在 上上单单调调递递减减即即()(0)ln100f xf 因此因此ln(1)xx 0 x 当当时时，ln(1)xx ln(1)1xxx 同同理理可可证证14516.(3)P 10利用单调性证明不等式的步骤：利用单调性证明不等式的步骤：将要证的不等式作将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使恒等变形（通常是移项）使 一端为一端为0另一端即为所作的辅助函数另一端即为所作的辅助函数f(x)求求)(xf 验证验
9、证f(x)在指定区间上的单调性在指定区间上的单调性 与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证11 前面我们介绍了函数的单调性，这对于了解函数前面我们介绍了函数的单调性，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示如右图所示L1，L2，L3 虽然都是从虽然都是从A点单调上升到点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却点，但它们的弯曲方向却不一样。不一样。L1 是是“凸凸”弧弧,L2是是“凹凹”弧
10、弧,L3既有既有凸凸弧弧,也有也有凹凹弧，弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。2.函函数数的的凹凹凸凸性性与与拐拐点点1212)(,f xIIx x设设在在区区间间 上上连连续续，如如果果对对于于 上上任任意意两两点点定定义义，恒恒有有1212()()(),22xxf xf xf()f xI则则称称在在 上上的的图图形形是是的的(向向上上)凹凹凹凹弧弧)；如如果果恒恒有有1212()()(),22xxf xf xf()f xI则则称称在在 上上的的图图形形是是的的(向向上上)凸凸凸凸弧弧)。1xxOy122xx 2x12()2xxf 1()f x2(
11、)f x12()()2f xf x 1xxOy122xx 2x12()2xxf 1()f x2()f x12()()2f xf x 如何判断凹凸性？如何判断凹凸性？13axOybxOyabtan()fx 由由上上述述两两图图可可见见，向向(凸凸)的的曲曲斜斜率率线线上上凹凹，其其()xfx 随随着着 的的增增大大而而中中 为为切切线线的的倾倾角角，(减减小小)，即即函函数数增增大大()()fxfx 为为(减减)的的。而而的的单单调调性性可可由由的的正正负负单单调调增增来来判判定定，由由此此可可得得曲曲线线凹凹凸凸的的判判别别法法。14(),(,)f xa ba b设设函函数数在在上上定定理理连
12、连续续，在在内内 二二阶阶可可导导，()(2),0fxa b 则则曲曲向向线线在在上上是是上上凸凸的的。()(1),0fxa b 则则曲曲向向线线在在上上是是上上凹凹的的；凹凸判定法凹凸判定法:+(,)a b则则若若在在内内15235yxyx 判判定定曲曲线线和和例例的的凹凹凸凸性性。解解2,yx 20y 故曲线故曲线2yx 在在),(上是向上凹的上是向上凹的.xyo23,yx 6yx 0 x 当当时时，;0 y,0时x,0 y0 x 当当时时，0;y 故曲线故曲线3yx 在在0(,)上是向上凸的上是向上凸的.0+(,)在在上是向上凹的上是向上凹的.yox3xy(,),函函数数的的定定义义域域
13、为为2yx 16 连连续续曲曲线线上上改改变变凸凸性性的的点点称称为为该该定定义义曲曲线线的的拐拐点点。()fx 由由拐拐点点的的定定义义可可知知，拐拐点点左左右右两两侧侧邻邻近近的的二二阶阶导导数数必必()fx 定定异异号号，所所以以，只只要要找找到到符符号号发发生生寻寻找找拐拐点点变变化化的的分分()(,)f xa b界界点点即即可可。如如果果在在内内具具有有二二阶阶连连续续导导数数，那那么么在在()0()ffxx 这这样样的的分分界界点点处处必必然然有有。此此外外，的的二二阶阶导导数数不不()fx 的的点点，也也有有可可能能是是的的符符号号发发生生变变存存在在化化的的分分界界点点。注注
14、f(x)=0和和二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点，可能是，可能是拐点拐点。17:()()Cyf xxI曲曲线线的的凹凹凸凸性性及及拐拐点点的的求求法法：(1)求求定定义义域域；()()02fxfx 求求出出方方程程的的根根和和不不存存在在的的点点；(3)这这些些点点把把函函数数的的定定义义域域分分成成若若干干个个小小区区间间，确确定定二二阶阶导导数数在在各各个个小小区区间间内内的的符符号号，并并据据此此判判定定曲曲线线的的凹凹凸凸性性与与拐拐点点。182xye 例例5 5 求求曲曲线线的的拐拐点点。解解 22)2,xyxe 22224,xxyex e xy y12 12(,)1122(,)
15、012e 凹凹凸凸1 02xy 当当时时，3)列表判别列表判别12012e 12(,)凹凹故该曲线在故该曲线在12(,),12(,)向上凹，在向上凹，在向上凸向上凸,点点 及及1212(,)e 均为拐点均为拐点.1122(,)1212(,)e 1)(,),函函数数的的定定义义域域为为192l6n(1)yx 判判定定曲曲线线的的例例凹凹凸凸性性和和拐拐点点。解解 1)(,)函函数数的的定定义义域域为为 222),1xyx xy y1 1(,)11(,)02ln 凸凸凹凹 1 0 xy 当当时时，3)列表判别列表判别102ln1(,)凸凸故该曲线在故该曲线在1(,)1(,)及及向上凸，在向上凸，在
16、向上凹向上凹,点点 及及12(,ln)均为拐点均为拐点.1 1(,)12(,ln)+22222(1)xx +22222(1)4(1)xxyx 14624.(3)P 20内容小结内容小结 1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递增上单调递增Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递减上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别()0,(,)fxxa b ()(,)曲曲凹凹线线在在内内向向上上yf xa b()0,(,)fxxa b +()(,)曲曲凸凸线线在在内内向向上上yf xa b 拐点拐点 连续曲线上凹凸分界点连续曲线上凹凸分界点21思考与练习 1,0上上,0)(xf则则,)1(,)0(ff)0()1(ff或或)1()0(ff的大小顺序是的大小顺序是()0()1()0()1()(ffffA)0()0()1()1()(ffffB)0()1()0()1()(ffffC)0()1()0()1()(ffffD提示提示:利用利用)(xf 单调增加单调增加,)10()()0()1(fff及及B1.设在设在22
