1、上次内容回顾上次内容回顾Best Response点球博弈点球博弈合作博弈合作博弈纳什均衡（一致预测性、纳什均衡（一致预测性、selfenforcing）纳什定理纳什定理划线法划线法箭头法箭头法1 纳什均衡是一种策略组合，当所有参与人都公开自己的策略后，每个人都满意自己的选择；如果偏离纳什均衡，没有人会得到更好的收益。2投资博弈投资博弈参与人：全体同学策略：不投资、投资10元收益：不投资，收益为0元；如果90%以上，各投资人收益为15元；如果低于90%，各投资人收益为-10元。此博弈的NE是什么？3NE（1）都投资（2）都不投资4位置模型（社会学）位置模型（社会学）参与人：说广东话的，100
2、000人 说上海话的，100 000人策略：选A镇和B镇，各容纳10万人收益：如下页图。56同时选择，如果超出限额，随机分配（如，15万人选A，则选A的人有2/3机会满足愿望。）。给定初始位置，类型带状分布，博弈几次结束后，呈隔离状态。7NEq隔离状态q完全混合q全部选一个，然后随机分配89按竞争程度划分的市场类型：按竞争程度划分的市场类型：A 完全竞争市场完全竞争市场 B 寡头竞争市场寡头竞争市场 C 独家垄断市场独家垄断市场 卡特尔卡特尔古诺模型（古诺模型（Cournot Model of Duopoly）10市场类型不同，厂商的行为特征不同。市场类型不同，厂商的行为特征不同。A与与C型，
3、厂商的决策都是个体优化决型，厂商的决策都是个体优化决策。策。B型，寡头垄断竞争的本质是博弈。他型，寡头垄断竞争的本质是博弈。他们的行为既影响自身，又影响对方。尽们的行为既影响自身，又影响对方。尽管两寡头由于垄断能给他们带来一些共管两寡头由于垄断能给他们带来一些共同的利益，但是他们的根本利益并不是同的利益，但是他们的根本利益并不是完全一致的。完全一致的。11古诺模型古诺模型q这里考虑连续形式的古诺模型v两个企业，分别表示为企业1、企业2v每个企业的策略是选择产量（用qi表示）v收益是利润（用i表示），是两个企业产量的函数，生产成本与产量有关，用Ci(qi)表示，市场出清价格为P=P(q1+q2)
4、v第i个企业的利润函数为：i=qi P(q1+q2)Ci(qi),i=1,212q（q1*,q2*）是均衡产量意味着：q1*argmax1(q1,q2*)q2*argmax2(q1*,q2)v根据上面两个式子可以得出反应函数(reaction function)：q1*=R1(q2)q2*=R2(q1)v两个反应函数的交叉点就是纳什均衡（q1*,q2*），见图古诺模型古诺模型13q2q1古诺模型的纳什均衡NE古诺模型古诺模型R2R114古诺模型古诺模型q实际验证v假定每个企业具有相同的不变单位成本，即C1(q1)=q1c,C2(q2)=q2c，v价格出清函数取线性形式：P=a-(q1+q2)。
5、根据q1*argmax1(q1,q2*)=q1P(q1+q2*)C1(q1)q2*argmax2(q1*,q2)=q2P(q1*+q2)C2(q2)通过求一阶导数，得150)(0)(2212212111cqqqaqcqqqaqv于是可得到反应函数为：)(21)()(21)(112*2221*1cqaqRqcqaqRq古诺模型古诺模型16v从而求出)(21)()(21)(112*2221*1cqaqRqcqaqRq古诺模型古诺模型)(31*2*1caqq17古诺模型古诺模型)(31*2*1caqqv进而可以得出每个企业的纳什均衡产量下的利润，为2*2*)(911ca v可以同垄断企业的最优决策类
6、比18古诺模型古诺模型v垄断条件下的最优产量，可同过计算Q*argmax=Q*(a-Q*-c)求出最优的产量值)(32)(21*2*1caqqcaQv垄断条件下的最优利润为22)(92)(41cacam最优纳什均衡总产量最优纳什均衡利润总和19古诺模型古诺模型q古诺模型的启示v寡头竞争的总产量大于垄断竞争产量的原因在于每个企业在选择自己的最优产量时，只考虑对本企业利润的影响，而忽视对另一个企业的外部负效应。这是一个典型的囚徒困境v从另一个层面我们也了解到为什么国外有反垄断法，为什么有微软分拆事件。20豪太林豪太林(Hotelling)价格竞争模型价格竞争模型q古诺模型中，产品是同质的（homo
7、genous)；q豪泰林模型中，引入了产品的差异性；v产品的差异性可以有很多体现形式：如品牌、外观、功能、空间差别（如房地产）v豪泰林模型中，产品的差异通过空间差别来体现v豪泰林模型的主要假设是产品的差异完全是由空间位置的不同而造成的21豪太林豪太林(Hotelling)价格竞争模型价格竞争模型q模型描述v假定有一个长度为1的线性城市，消费者均匀地分布在0,1区间上。假定有两个商店，分别位于城市的两端，商店1在x=0处，商店2在x=1处，出售完全相同的产品v每个商店提供单位产品的成本为c，消费者购买商品的旅行成本与离商店的距离成正比，单位距离的成本为tv假定消费者有单位需求：要么消费1单位，要
8、么消费0个单位（如住房消费）。消费者从消费中得到的消费者剩余为s。22q纳什均衡分析v假定两个商店同时选择自己的销售价格。假定消费者剩余s相对于购买总成本（价格加旅行费用）足够大从而所有消费者都购买一个单位的产品v令pi为商店i的价格，Di(p1,p2)为需求函数，i=1,2豪太林豪太林(Hotelling)价格竞争模型价格竞争模型23豪太林豪太林(Hotelling)价格竞争模型价格竞争模型v如果住在x的消费者在两个商店之间是无差异的，那么，所有住在x左边的将都在商店1购买，而住在x右边的将在商店2购买，需求比例分别是D1=x,D2=1-x。这里的x满足：p1+tx=p2+t(1-x)v解上
9、面两个式子，可得出需求函数为24ttppxppDttppxppD21),(2),(2121212211)(21),()(),()(21),()(),(21221222121212111211tppcptppDcppptppcptppDcppp豪太林豪太林(Hotelling)价格竞争模型价格竞争模型v利润函数分别为25tcpp*212*21t豪太林豪太林(Hotelling)价格竞争模型价格竞争模型v通过一阶导数法，可以求出两个企业的最优价格，为v均衡价格下，每个企业的最优利润为26v可以进一步设想，若两个商店为了争夺顾客源，可以自由选择商店位置，那么可以计算，纳什均衡位置在0,1区间的中点0
10、.5处，即最终两个商店汇聚一点；v这在一定程度上可以说明，为什么商店通常都聚集在一处的原因。v此时可以算出均衡价格和利润分别是0,2121cpp豪太林豪太林(Hotelling)价格竞争模型价格竞争模型27q前面介绍的纳什均衡分析方法前面介绍的纳什均衡分析方法q对于相当多一类博弈问题无能为力。对于相当多一类博弈问题无能为力。q石头剪子布博弈，不存在已经定义的各种均石头剪子布博弈，不存在已经定义的各种均衡衡混合策略的提出混合策略的提出2829混合策略的提出混合策略的提出q利用生活经验不难知道，分别以利用生活经验不难知道，分别以1/3的概率出的概率出招是最佳决策招是最佳决策q这就引出了用概率来确定
11、采用何种策略的方这就引出了用概率来确定采用何种策略的方法，这就是混合策略法，这就是混合策略(mixed strategies)概念概念的由来的由来q在此之前所说的策略，实质上是以概率在此之前所说的策略，实质上是以概率1选取选取某个确定的策略或行动，我们称之为纯策略某个确定的策略或行动，我们称之为纯策略(pure strategies)qA mixed strategy Pi is a randomization over is pure strategies.3031混合策略的提出混合策略的提出q混合策略的定义：在博弈混合策略的定义：在博弈G=N,Si,ui,iN中，假设参与人中，假设参与人i
12、的纯策略构成的策略集合为的纯策略构成的策略集合为Si=si1,sik，若参与人，若参与人i以概率分布以概率分布pi=(pi1,pik)在其在其k个可选策略中随机选择个可选策略中随机选择“策略策略”，称这样的选择方式为混合策略。，称这样的选择方式为混合策略。这里，这里，0pij 1,对于对于j=1,k都成立，且有都成立，且有,pi1+pik=1q纯策略可看成特殊的混合策略纯策略可看成特殊的混合策略q上述定义是在有限博弈前提下进行的上述定义是在有限博弈前提下进行的32混合策略意义下的相关表述混合策略意义下的相关表述q混合策略意义下策略组合的表述混合策略意义下策略组合的表述vx1X1,xnXn，其中
13、，其中Xi,i=1,n表示参与人表示参与人i所有纯策略生成的概率空间，所有纯策略生成的概率空间，xi为参与人为参与人i的一个具体混合策略的一个具体混合策略v猜硬币博弈的一个混合策略就可记为猜硬币博弈的一个混合策略就可记为（1/2,1/2）,(1/2,1/2)33混合策略混合策略q若允许每个参与人选择混合策略，则博若允许每个参与人选择混合策略，则博弈结果就是一个关于纯策略组合得来一弈结果就是一个关于纯策略组合得来一个风险结果个风险结果q为研究参与人行为，需要知道各参与人为研究参与人行为，需要知道各参与人对这些风险结果的偏好关系对这些风险结果的偏好关系q博弈论假定每个参与人的偏好关系，可博弈论假定
14、每个参与人的偏好关系，可用期望收益函数表示。用期望收益函数表示。34VNM效用函数效用函数VNM效用函数理论是20世纪50年代,冯诺依曼和摩根斯坦(Von Neumann and Morgenstern)在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人(rational actor)选择进行分析的框架。35VNM效用函数效用函数q如果某个随机变量X以概率Pi取值xi，i=1,2,n，而某人在确定地得到xi时的效用为u(xi)，那么，该随机变量给他的效用便是：U(X)=P1u(x1)+P2u(x2)+.+Pnu(xn)表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数
15、，又叫做冯诺依曼摩根斯坦效用函数（VNM函数）。36混合策略混合策略q于是可以定义基于混合策略意义下的博于是可以定义基于混合策略意义下的博弈策略式表述弈策略式表述q定义定义 基于基于(v-N-M效用的效用的)策略式博弈由策略式博弈由v参与人集合参与人集合v每个参与人有一个（纯）策略集合每个参与人有一个（纯）策略集合v对于每一个参与人来说，由所有参与人纯对于每一个参与人来说，由所有参与人纯策略组合构成的风险结果空间，存在一个策略组合构成的风险结果空间，存在一个v-N-M效用效用qThe expected payoff of the mixed strategy Pi is a weighted
16、average of the expected payoffs of each of the pure strategies in the mix.3738混合策略意义下的纳什均衡混合策略意义下的纳什均衡q定义，对于博弈定义，对于博弈G=N,Si,ui,iN，基于基于v-N-M效用的混合策略组合效用的混合策略组合*是一是一个纳什均衡，若对于每一个个纳什均衡，若对于每一个i,以及以及i的任的任意一个混合策略意一个混合策略i，*对应的期望支付对应的期望支付至少和至少和(i，*-i)的期望支付一样大的期望支付一样大39混合策略意义下的纳什均衡混合策略意义下的纳什均衡q换句话说，称混合策略组合换句话说
17、，称混合策略组合*是一个纳是一个纳什均衡，如果没有一个参与人通过偏离什均衡，如果没有一个参与人通过偏离策略策略*i 实现支付的增加实现支付的增加Mixed Strategy NEqA mixed strategy(P1*,P2*,PN*),is a mixed strategy Nash Equilibrium if,for each Player i-that players mixed strategy Pi*is a best response for Player i to the strategies everyone else is picking P-i*4041一个定理一个定理
18、q对于对于N-人静态博弈问题，设混合策略纳什均人静态博弈问题，设混合策略纳什均衡对应的策略组合为衡对应的策略组合为(Xi,X i)。q对于任意的对于任意的i,若最优混合策略为若最优混合策略为Xi=x1,xl，00(不失一般性，假设前不失一般性，假设前l个分量严格大于个分量严格大于0)，记分量，记分量xk(k=1,l)对应的纯策略对应的纯策略sk,q则对于参与人则对于参与人i而言，而言，sk与其他参与人的最优与其他参与人的最优混合策略组合混合策略组合X i 形成的局势的收益值形成的局势的收益值,等于等于纳什均衡混合策略组合纳什均衡混合策略组合(Xi,X i)的收益值。的收益值。即即ui(sk,X
19、 i)=ui(Xi,X i)成立成立，k=1,l42定理证明定理证明q由于由于(Xi,X i)是纳什均衡，因此下式成是纳什均衡，因此下式成立立ui(sk,Xi)ui(Xi,Xi),k=1,lq在上式中，不失一般性，假设在上式中，不失一般性，假设ui(s1,Xi),ui(sl,Xi)中，数值最小的为中，数值最小的为ui(s1,Xi)，43一个定理一个定理q假设假设ui(s1,Xi)ui(Xi,X i)这与这与(Xi,X i)是纳什均衡的前提矛盾是纳什均衡的前提矛盾v因此，因此，ui(s1,Xi)=ui(sl,Xi)44一个定理一个定理v因此，ui(s1,Xi)=ui(sl,Xi)v又又 ui(s
20、k,Xi)ui(Xi,Xi),k=1,l（(Xi,Xi)是纳什是纳什均衡）均衡）ui(s1,Xi)=min ui(sk,Xi),k=1,l 由本张投影的三个表达式，立即得出由本张投影的三个表达式，立即得出ui(Xi,Xi)=ui(sk,Xi),k=1,lv该定理一言以蔽之该定理一言以蔽之45一个算例一个算例q简单博弈，简单博弈，先用划线先用划线法确定参与人法确定参与人1 1、2 2针对针对对手各纯策略下的最优对手各纯策略下的最优纯策略反应。纯策略反应。v显然没有纯策略意义显然没有纯策略意义下的纳什均衡。下的纳什均衡。参参 与与 人人 2参参与与人人1CDA2,35,2B3,11,5v是否存在混
21、合策略意是否存在混合策略意义下的纳什均衡？义下的纳什均衡？46一个算例一个算例q 设参与人设参与人1分别以分别以pA、pB概率选择纯策略概率选择纯策略A和和Bq 根据前面介绍的关于混合根据前面介绍的关于混合策略纳什均衡定理策略纳什均衡定理q 参与人参与人1以混合策略以混合策略(pA、pB)与参与人与参与人2的纯策略的纯策略C,D进行博弈时，相应支付进行博弈时，相应支付值相等（为什么？）值相等（为什么？）参参 与与 人人 2参参与与人人1CDA2,35,2B3,11,5图图1-12 1-12 二人博弈二人博弈47一个算例一个算例v于是有于是有参参 与与 人人 2参参与与人人1CDA2,35,2B
22、3,11,5图图1-12 1-12 二人博弈二人博弈5213BABAppppv又根据又根据1BAppv可以求出可以求出2.0,8.0BApp48一个算例一个算例v同理可求出参与人同理可求出参与人2的最优混合策略的最优混合策略参参 与与 人人 2参参与与人人1CDA2,35,2B3,11,5图图1-12 1-12 二人博弈二人博弈2.0,8.0DCppv在这样的混合策略组在这样的混合策略组合下，参与人合下，参与人1相应相应的期望支付值为的期望支付值为49q 一对夫妻要决定去看时装表演还是看一对夫妻要决定去看时装表演还是看足球赛。有关纯策略及相应支付情况如足球赛。有关纯策略及相应支付情况如图图1-
23、131-13所示。所示。图图1-13 1-13 性别战博弈性别战博弈Battle of Sexes 丈丈 夫夫妻妻子子时装时装足球足球时装时装2,10,0足球足球0,01,350Battle of Sexesq纯策略均衡可通过纯策略均衡可通过划线法计算得出，划线法计算得出，为为(时装，时装时装，时装)，（，（足球，足球），支足球，足球），支付值分别为（付值分别为（2,1）,(1,3)q该博弈还有一个混该博弈还有一个混合策略均衡合策略均衡 丈丈 夫夫妻妻子子时装时装足球足球时装时装2,10,0足球足球0,01,3图图1-13 1-13 性别战性别战51Battle of Sexesq设设pw（C
24、）和）和pw(F)分别是妻子选择时分别是妻子选择时装表演和足球的概装表演和足球的概率，率，ph(C)和和ph(F)是是丈夫选择时装表演丈夫选择时装表演和足球赛的概率。和足球赛的概率。经计算，可得经计算，可得 丈丈 夫夫妻妻子子时装时装足球足球时装时装2,10,0足球足球0,01,33/2)(,3/1)(25.0)(,75.0)(FpCpFpCphhww52Battle of Sexesv当采用上面混合策略当采用上面混合策略时，可以算出丈夫和时，可以算出丈夫和妻子的收益期望，分妻子的收益期望，分别为别为 丈 夫妻子时装足球时装2,10,0足球0,01,3图图1-13 1-13 性别战性别战v可以
25、看出，该结果明可以看出，该结果明显不如夫妻双方能交显不如夫妻双方能交流协商流协商75.067.0ehewuu53性别战变体性别战变体1：制式问题：制式问题q电器和电子设备往电器和电子设备往往有不同的原理或往有不同的原理或相关技术标准，通相关技术标准，通常称为制式常称为制式q图图1-41-4就是一个就是一个2 2厂厂商的制式博弈模型商的制式博弈模型q该模型存在两个纯该模型存在两个纯策略均衡，以及一策略均衡，以及一个混合策略均衡个混合策略均衡 厂商2厂商1制式1制式2制式11,30,0制式20,02,2图图1-14 1-14 制式问题制式问题54性别战变体性别战变体1：制式问题：制式问题q纯策略均
26、衡为纯策略均衡为v（制式（制式1 1，制式，制式1 1）、）、（制式（制式2 2、制式、制式2 2）q混合策略均衡为混合策略均衡为v(0.4,0.6),(0.67,0.33)v相应支付值分别为相应支付值分别为0.664和和1.296 厂商2厂商1制式1制式2制式11,30,0制式20,02,2图图1-14 1-14 制式问题制式问题55性别战变体性别战变体2：市场机会博弈：市场机会博弈 q 两个厂商同时发现一个两个厂商同时发现一个市场机会，但这个市场市场机会，但这个市场容量并不大。如果只有容量并不大。如果只有一个厂商进入该市场，一个厂商进入该市场，能赚到能赚到100个单位的利个单位的利润，但如
27、果两个厂商同润，但如果两个厂商同时进入该市场，则他们时进入该市场，则他们不仅赚不到钱，而且要不仅赚不到钱，而且要各亏损各亏损50单位。如果这单位。如果这两个厂商事先没有沟通两个厂商事先没有沟通和协商。和协商。厂商厂商2厂厂商商1进入进入观望观望进入进入-50,-50100,0观望观望0,1000,056性别战变体性别战变体2：市场机会博弈：市场机会博弈 q 本博弈有（进入，不进本博弈有（进入，不进入）、（不进入，进入入）、（不进入，进入）两个纯策略均衡，其）两个纯策略均衡，其中前一个均衡对厂商中前一个均衡对厂商1有利，第二个均衡对厂有利，第二个均衡对厂商商2有利有利q 此外，还有一个混合策此外
28、，还有一个混合策略均衡，为略均衡，为q(2/3,1/3),(2/3,1/3)q 期望支付均为期望支付均为0。厂商厂商2厂厂商商1进入进入观望观望进入进入-50,-50100,0观望观望0,1000,0图图1-15 1-15 市场机会市场机会57性别战变体性别战变体2：市场机会博弈：市场机会博弈 q可以把混合策略可以把混合策略(2/3,1/3),(2/3,1/3)解释为：解释为：q约有约有2/3比例的厂商比例的厂商选择进入，选择进入，1/3比例比例的厂商选择不进入的厂商选择不进入 厂商厂商2厂厂商商1进入进入观望观望进入进入-50,-50100,0观望观望0,1000,0图图1-15 1-15
29、市场机会市场机会582 22 2双矩阵博弈的图解法双矩阵博弈的图解法q双矩阵的含义双矩阵的含义q以以Battle of SexesBattle of Sexes为例，介绍为例，介绍2 22 2双双矩阵博弈模型的图解法矩阵博弈模型的图解法q为便于说明，将为便于说明，将Battle of SexesBattle of Sexes模型模型再次复制与此再次复制与此59q 一对夫妻要决定去看时一对夫妻要决定去看时装表演还是看足球赛。装表演还是看足球赛。有关纯策略及相应支付有关纯策略及相应支付情况如图情况如图1-16所示所示q 设妻子的混合策略为设妻子的混合策略为(r,1-r)，丈夫的策略为，丈夫的策略为
30、(q,1-q)。这里的。这里的r,q分别分别表示妻子或丈夫观看时表示妻子或丈夫观看时装表演的概率装表演的概率q 为便于分析，将混合策为便于分析，将混合策略列于右上角略列于右上角 丈丈 夫夫妻妻子子时装时装足球足球时装时装2,10,0足球足球0,01,3图图1-16 1-16 性别战性别战(r,1-r),(q,1-q)2 22 2双矩阵博弈的图解法双矩阵博弈的图解法60q若丈夫以若丈夫以q的概率选的概率选择去看时装表演（择去看时装表演（以以1-q的概率去看足的概率去看足球），则妻子选择球），则妻子选择时装和观看足球的时装和观看足球的期望收益分别为期望收益分别为 丈丈 夫夫妻妻子子时装时装足球足球
31、时装时装2,10,0足球足球0,01,3图图1-16 1-16 性别战性别战(r,1-r),(q,1-q)1(1221qq2 22 2双矩阵博弈的图解法双矩阵博弈的图解法61q 比较比较1与与2可知可知v当当q1/3时，则选择时，则选择看时装表演看时装表演 丈丈 夫夫妻妻子子时装时装足球足球时装时装2,10,0足球足球0,01,3图图1-16 1-16 性别战性别战(r,1-r),(q,1-q)2 22 2双矩阵博弈的图解法双矩阵博弈的图解法62q 上述情况反映了妻子针上述情况反映了妻子针对丈夫不同策略下的最对丈夫不同策略下的最佳反应，称为（妻子的佳反应，称为（妻子的）反应函数）反应函数.rq
32、0 1/3 1图图1-17 1-17 妻子的反应函数妻子的反应函数1r=R1(q)q 可用图可用图1-171-17表示妻子的表示妻子的反应函数反应函数2 22 2双矩阵博弈的图解法双矩阵博弈的图解法63q 同理，可绘出丈夫的反同理，可绘出丈夫的反应函数，见图应函数，见图1-181-18rq0 1/3 1图图1-17 1-17 妻子的反应函数妻子的反应函数1r=R1(q)rq0 1/3 1图图1-18 1-18 丈夫的反应函数丈夫的反应函数1q=R2(r)3/42 22 2双矩阵博弈的图解法双矩阵博弈的图解法64rq0 1/3 1图图1-17 1-17 妻子的反应函数妻子的反应函数1rq0 1/
33、3 1图图1-18 1-18 丈夫的反应函数丈夫的反应函数1r=R1(q)q=R2(r)3/42 22 2双矩阵博弈的图解法双矩阵博弈的图解法q将这两张图合并，得到图1-1965rq0 1/3 1图图1-19 1-19 性别战的图解法性别战的图解法1qr=R1(q)q=R2(r)3/4q按照纳什均衡的定义，图上的三个交点既是参与人1的最优反应函数上的点，同时也是参与人2最优反应函数上的点2 22 2双矩阵博弈的图解法双矩阵博弈的图解法66rq0 1/3 1图图1-19 1-19 性别战的图解法性别战的图解法1qr=R1(q)q=R2(r)3/4q 这三个点的坐标为(0,0),(1/3,3/4),（1,1）。对应）。对应的三个策略分别是：（足球，足球）；妻子、丈的三个策略分别是：（足球，足球）；妻子、丈夫分别以夫分别以1/3、3/4的概率选择时装；（时装，时装的概率选择时装；（时装，时装）。）。2 22 2双矩阵博弈的图解法双矩阵博弈的图解法676869纳什均衡纳什均衡求解：图解法求解：图解法(练习练习)BA左右上3,21,3下1,10,0参参 与与 人人 2参参与与人人1CDA2,35,2B3,11,5
