1、定定积积分分问问题题举举例例一一.,)(上上非非负负连连续续在在设设baxfy 0.,ybxax求求由由直直线线所所围围成成的的图图形形的的面面积积及及曲曲线线)(xfy 曲曲边边梯梯形形的的面面积积.1)(xfyx0aby 定积分概念与性质定积分概念与性质把把区区间间分分成成个个小小区区间间个个小小区区间间长长度度为为第第 iyxixab1ix个个分分点点在在区区间间中中任任意意插插入入若若干干分割分割),2,1(,1nixxxiii,12110nnxxxxxxbxxxxan210)(if 1ixixi,iAi个个小小曲曲边边梯梯形形的的面面积积近近似似代代替替第第),3,2,1()(nix
2、fAiii,i 点点在在每每个个小小区区间间上上任任取取一一),2,1(,1nixxiii 取近似取近似)(if 1ixixi iixfi)(个个小小矩矩形形的的面面积积用用第第即即求和求和niiiniiAxf11)(求求小小矩矩形形面面积积和和取极限取极限当当区区间间长长度度中中最最大大值值iniixfA)(lim10 2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程上上的的非非负负连连续续函函数数，,21TT时时0max1inix 动动，设设某某物物体体作作变变速速直直线线运运经过的经过的求物体在这段时间内所求物体在这段时间内所S路路程程是是时时间间间间隔隔已已知知速速度度)(tV（1 1）分
3、割分割 内内任任意意插插入入若若干干个个分分点点在在时时间间间间隔隔,21TT1iiittt别别为为每每个个小小时时间间段段的的长长度度分分变变量量，若若V02)(12TTVS则则路路程程为为个个小小时时间间段段分分成成把把nTT,21,12110nntttttt22101TttttTn常常量量，若若V01则则可可通通过过下下面面的的步步骤骤（2）取近似取近似1iiitt 在在每每个个小小时时间间段段上上任任取取各各点点的的速速度度),2,1()(nitVsiii 上上来来近近似似代代替替时时的的速速度度以以,)(1iiiittV 小小时时间间段段的的路路程程为为则则第第个个 i分割，取近似，
4、求和，取极限分割，取近似，求和，取极限)()(lim110iniiniitmxatVS (3)(3)求和求和（4）取极限取极限得得路路程程的的近近似似值值路路程程相相加加，将将每每个个小小时时间间段段所所走走的的),3,2,1()(11nitVSSiniinii 二二.定积分的定义定积分的定义个个小小区区间间分分成成把把区区间间nba,为为各各个个小小区区间间的的长长度度依依次次b b 上上有有界界，,设设函函数数f f(x x)在在 a a1122011,nnnxxxxxxxxx,12110nnxxxxxxban1n210 xxxxx分分点点b b 中中任任意意插插入入若若干干个个在在 a
5、a,1.1.定义定义),(1iiixx 的的)与与小小区区间间长长度度作作函函数数值值f f(i ii ixiiixx 上上任任取取一一点点在在每每个个小小区区间间,1n n),1 1,2 2,3 3,(i i)乘乘积积f f(i ii ixiniixfS)(1 并并作作和和怎怎样样分分法法，如如果果不不论论对对,ba怎怎样样取取法法，上上点点也也不不论论小小区区间间iiixx,1,max21nxxx 记记积积分分号号，积积分分变变量量x,)(被被积积函函数数xf其其中中,积积分分上上限限a积积分分下下限限b,)(被被积积表表达达式式dxxfiniibaxfIdxxf)(lim)(10 即即d
6、xxfba)(记记作作上上的的定定积积分分在在区区间间为为函函数数则则称称,)(baxfI积积分分区区间间b b a a,的的极极限限I I0 0时时，和和S S总总趋趋于于确确定定若若当当曲边梯形的面积曲边梯形的面积badxxfA)(变速运动的路程变速运动的路程21)(TTdttVS定理定理1.1.设设f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上上有界有界,且有有限且有有限个第一类间断点个第一类间断点,则则f(x)f(x)在在a,ba,b上上可积可积.注注(1)(1)定积分是一个数值定积分是一个数值与被积函数有关。与被积函数有关。bababadyyfdttfdxxf)()()(2)(2)定积分
7、的值与区间的分法无关定积分的值与区间的分法无关,2.2.定积分存在的充分条件定积分存在的充分条件(3)(3)定积分的值只与区间长度有关，定积分的值只与区间长度有关，i 与与 的取法无关的取法无关在在几几何何上上表表示示为为badxxf)(代代数数和和所所围围平平面面图图形形的的面面积积的的bccabadxxfdxxfdxxfA)()()(3.定积分的几何意义定积分的几何意义ab00 x)(xfyc),(xfy 由由曲曲线线轴轴与与直直线线xbxax,例例1 1 利用定积分的定义计算利用定积分的定义计算102dxx,1,0)(2连连续续在在解解：xxf,10等等分分把把区区间间nbannixfA
8、ii1)()(220 取取近近似似ninxii 取取,1即即相相等等则则每每个个小小区区间间的的长长度度均均可积可积)(xf)321(12223nn6)12)(1(13nnnn求求和和03nniAninii1)(211316)12)(1(1lim3nnnnn31102dxx即即iniixf)(lim10 取取极极限限04三三.定积分的性质定积分的性质babadxxfkdxxkf)()(10bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(20banbabadxxfdxxfdxxf)()()(21推推广广badxxfxfxf)()()(221bccabadxxfdxxfdxxf)()()(
9、30对于对于c c在区间在区间 a,ba,b之内或之外之内或之外,结论同样成立结论同样成立上的最大值与最小值，上的最大值与最小值，在在分别是分别是设设,)(.70baxfmM)(40abkkdxbababadxxgdxxf)()(则则babadxxfdxxf)()(60,若若5 50 0g(x)f(x)()()(abMdxxfabmba则则上上连连续续，在在闭闭区区间间设设函函数数,)(baxf连连续续，在在闭闭区区间间证证明明：,)(baxf,mM与与最最小小值值一一定定存存在在最最大大值值07由由)()()(abMdxxfabmbaMdxxfabmba)(1:令令badxxfabf)(1)
10、(定定积积分分中中值值定定理理08baabfdxxfba )()(，至至少少存存在在一一个个点点 使使下下列列等等式式成成立立上上则则在在,ba)()(abfdxxfba即ab)(fy几何解释：几何解释：在在a,ba,b上至少存在一点上至少存在一点,使使曲边梯形的面积曲边梯形的面积等等于以于以 为高的一个矩形面积为高的一个矩形面积 )(f0sincos)(2xxxxxf22sin2124dxxx 即即的的取取值值范范围围估估计计例例24sin dxxxxxxfsin)(解解：设设单单调调减减少少上上在在)(,0)(,xfxfba 2)2(,22)4(fmfM最最小小值值最最大大值值故故xab)
11、(tfy 定积分与原函数的关系定积分与原函数的关系一一.变上限的定积分及其导数变上限的定积分及其导数的的函函数数是是xdttfxxa,)()(上上连连续续，在在区区间间设设函函数数,)(baxf分分，现现在在考考察察变变上上限限的的定定积积取取,bax上上连连续续，在在设设定定理理,)(1baxf,)()(baxdttfxxa 则则函函数数在在上上可可导导xaxxadttfdttf)()()()(fxx因因此此)()(lim)(lim0 xffxxxx )()()(xfdttfdxdxxa 且且),()(之之间间与与介介于于xxxxf )()(xfx 即即),(),(baxxbax若若证证明明
12、：)()()(xxxx 则则xxxdttf)(xtdtdxd0sin1 求求例例xtdtdxdxsinsin0解解：)0(sin220 xdttdxdx求求例例xxxxsin)(sin222解解：原原式式21023xdtextxcoslim.求求例例)(lim2cos102xdtextx解解：原原式式1cos0212)sin(lim2exxexx定理表明定理表明:(1)(1)连续函数一定存在原函数连续函数一定存在原函数(2)(2)把定积分与原函数之间把定积分与原函数之间建立起联系建立起联系xadttfx)()(,)(上上连连续续在在区区间间如如果果函函数数baxf上上的的一一个个原原函函数数在
13、在就就是是,)(baxf则则函函数数.2定定理理二二.牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式baaFbFdxxf)()()(则则)()(xfxF是是连连续续函函数数如如果果函函数数,上上的的一一个个原原函函数数在在区区间间ba.3定定理理)()()()(aFbFxFdxxfba即即:证证明明,)()(xadttfx 设设,)()()(的的一一个个原原函函数数都都是是与与因因为为xfxxF cxxF)()(,所所以以aadttfa0()(caF)(badttfb)()()()()(aFdxxfbFba得得)()()(aFbFdxxfba,时时当当ax 时时当当bx 31)01(3131)1(1031
14、02xdxx2lnln)2(1212xxdxxysin0 0cossin0 xxdxs计计算算下下列列定定积积分分例例:解解轴轴上上与与在在计计算算正正弦弦曲曲线线xxy,0sin)3(积积所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面20cos)(cos 第四节第四节 定积分的换元积分法与分布积分法定积分的换元积分法与分布积分法一一.定积分的换元积分法定积分的换元积分法定定理理：上上是是单单值值的的在在区区间间）函函数数（,)(2 tx;且且有有连连续续的的导导数数上上连连续续；在在区区间间）函函数数（,)(1baxf设设）上上变变化化时时，（或或在在区区间间）当当（,3 tba)(,)(且且变变
15、化化，的的值值在在,)(batx dtttfdxxfba)()()(则则有有注意注意:换元的同时一定要换限换元的同时一定要换限)0(1022adxxaa计计算算例例tdtadxtaxcos,sin则则设设解解;0,0tx时时当当2 tax时时当当dtta2022cos24a dtta)cos(202212dxxaa022于于是是2022122)sin(tta205sincos2 xdxx计计算算例例xdxdtxtsin,cos则则设设解解0,2;10txtx时时当当时时当当 6165011055tdttdttxdxxsincos520 于于是是dxxx 053sinsin3 计计算算例例dxx
16、x 053sinsin:解解dxxx cossin03;0cos2,0 xx时时，当当 dxxx cossin03 故故有有54)52(52)sin52sin52(22525 xxxdxxxdxxcossincossin23203 0cos,2xx时时当当 dxxx 023cossin401.4xdx计计算算例例,:2tx令令解解;0,0tx时时当当所所以以)3ln2(2证证明明例例:5上上连连续续且且为为偶偶函函数数，在在若若,)()1(baxf则则aaadxxfdxxf0)(2)(2040121dtttxdx20)1ln(2)111(220ttdtttdtdx2则则;2,4tx时时当当,)
17、()2(上上连连续续且且为为奇奇函函数数在在若若baxf则则0)(aadxxf00)()(aadxxfdxxf0)(adxxf对对积积分分则则得得作作代代换换,tx:证证aadxxf)(因因为为aaaadxxfdttfdttfdxxf0000)()()()(0)(aadxxf从从而而aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(adxxfxf0)()(,)()1(为为偶偶函函数数若若xf则则)(2)()(xfxfxfaaadxxfdxxf0)(2)(从从而而),()(,)()2(xfxfxf即即为为奇奇函函数数若若则则0)()(xfxf),()(xfxf即即于于是是上上连连续续，在在若若例例
18、1,0)(6xf:证证明明2020)(cos)(sin)1(dxxfdxxf,)(sin2)(sin)2(00 dxxfdxxxf由由此此计计算算dxxxx 02cos1sin,2)1(:dtdxtx则则设设证证 且且0,2;2,0txtx时时当当时时当当 dttfdxxf)2sin()(sin0220 ,)2(dtdxtx则则设设.0,0txtx时时当当时时当当 且且2020)(cos)(cos dxxfdttf00)(sin)()(sin dttftdxxxf 0)(sin)(dttft于是于是xdxxfdxxf 00)(sin)(sin 00)(sin)(sindtttfdttf 00)
19、(sin2)(sindxxfdxxxf所所以以4)44(22 利利用用上上述述结结论论，即即得得dxxxdxxxx 0202cos1sin2cos1sin 0)sarctan(co2x 02cos1cos2xxd二二.定积分的分布积分法定积分的分布积分法),(),(xvxu则有则有vuvuuv)(,上上的的定定积积分分分分别别求求这这等等式式两两端端在在badxvuvudxuvbaba)(上上具具有有连连续续导导数数在在区区间间设设函函数数,)(),(baxvxu分公式分公式这就是定积分的分布积这就是定积分的分布积得得babaudvvdu,移移项项babavduuvudvbabadxvuvdx
20、uuvba计计算算下下列列定定积积分分例例 0sin1xdxx）（解：解：,xu设设),cos(sinxdxdxdv则则 0sinx 0)cos(cos0dxxxx20sin)3(xdxJnn11ln111exedxxxxxeexdxxnxxnn22201cossin)1(sincos0 exdx1ln)2(00)cos(sinxxdxdxx201)cos(sin xxdn21nnJnnJxdxxdxnn2020cossin 2sin2000 xdxJ,1sin201 xdxJnnnJnJndxxxn)1()1()sin1(sin)1(20222 为为奇奇数数nJnnnnnn13)4(2(2)
21、5)(3)(1(为为偶偶数数nJnnnnnn024)4(2(13)5)(3)(1(2)68)(48)(28(8)78)(58)(38)(18(sin208 dxx158)25(5)35)(15(cos205dxx 例例如如2384105 定积分应用定积分应用定积分的微元分析法定积分的微元分析法用定积分表示的量用定积分表示的量U U必须具备三个特征必须具备三个特征 :一一 .能用定积分表示的量所必须具备的特征能用定积分表示的量所必须具备的特征iUiixf)(3)(3)部分量部分量 的近似值可表示为的近似值可表示为二二 .微元分析法微元分析法则则U U相应地分成许多部分量相应地分成许多部分量;用定
22、积分表示量用定积分表示量U U的基本步骤的基本步骤:(1)(1)U U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间 a,ba,b有关的量有关的量;(2)(2)U U 对于区间对于区间 a,ba,b具有可加性具有可加性.即如果把区即如果把区 a,b a,b 分成许多部分区间分成许多部分区间,(1)(1)根据问题的具体情况根据问题的具体情况,选取一个变量选取一个变量(2)(2)在区间在区间 a,ba,b内任取一个小区间内任取一个小区间 ,dxxx求出相应于这个小区间的部分量求出相应于这个小区间的部分量 的近似值的近似值.U在在 处的值处的值 与与 的乘积的乘积,x)(xfdx就把就把 称为量称为
23、量U U的微元且记作的微元且记作 ,dxxf)(du即即dxxfdu)(如果如果 能近似地表示为能近似地表示为 a,ba,b上的一个连续函数上的一个连续函数U例如例如x为积分变量为积分变量,并确定其变化区间并确定其变化区间 a,b;a,b;(3)3)以所求量以所求量U U的微元的微元 为被积表达式为被积表达式,dxxf)(badxxfU)(在区间在区间 a,ba,b上作定积分上作定积分,得得 平面图形的面积平面图形的面积一一 直角坐标情形直角坐标情形1.1.曲边梯形曲边梯形当当f(x)在在 a,ba,b上连续时上连续时,由曲线由曲线y=f(x)和和x=a,=a,x=b=b及及x轴轴所围成的曲边
24、梯形面积就是所围成的曲边梯形面积就是ab0cxy)(xfy badxxfA|)(|bccadxxfdxxfA)()(2.一般图形一般图形以及两条直线以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为之间的图形的面积微元为)(),(21xfxf如果函数如果函数 在在a,b上连续上连续,),()(21baxxfxf且且 dxxfxfdA)()(12)(),(21xfyxfy则介于两条曲线则介于两条曲线 注意注意:根据具体的图形特点根据具体的图形特点,也也可以选择作为积分变量或者可以选择作为积分变量或者利用图形的对称性简化计算利用图形的对称性简化计算.例例1 求椭圆的面积求椭圆的面积(如图如图).解解
25、 由对称性由对称性,椭圆的面积椭圆的面积14AA 其中其中1A为椭圆在第一象限部分为椭圆在第一象限部分.xyo12222byaxyx)(1xfy)(2xfy aboxx+dx则图形的面积为则图形的面积为dxxfxfAba)()(12则则aadxxaabydxAA02201444abaxaxaxaba 0222|)arcsin22(4例例2 求由求由22,xyxy所围图形面积所围图形面积.解解 两抛物线的交点为两抛物线的交点为(0,0)及及(1,1).取取x为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为0,1.由前面讨论可知由前面讨论可知:31|)332()(10310223xxdxxxA(1,
26、1)oyx例例3 求由求由4,22xyxy所围图形面积所围图形面积.解解 两曲线的交点为两曲线的交点为(2,-2)及及(8,4).根据此图形特点根据此图形特点,可以选择可以选择y作为积分变作为积分变量量,其变化区间为其变化区间为-2,4.yx(2,-2)(8,4)图形的面积微元为图形的面积微元为:dyyydA)214(2从而可得图形面积从而可得图形面积18|)642()214(4232242yyydyyyA二二.极坐标情形极坐标情形1.曲边扇形曲边扇形其中其中r()在在 ,上连续上连续,且且r()0.相应于相应于,+d 的面积微元为的面积微元为 drdA2)(21则图形面积为则图形面积为 dr
27、A2)(21o r=r()设图形由曲线设图形由曲线r=r()及射线及射线=,=所围成所围成.取取 为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为 ,2.一般图形一般图形及射线及射线=,=所围图形的面积微元为所围图形的面积微元为 drrdA)()(212122则面积为则面积为 drrA)()(212122o)(1rr)(2rr 相应于相应于 从从 0到到2 的一段弧与极轴的一段弧与极轴所围图形的面积所围图形的面积.解解 如图如图,可视为可视为=0,=2 及及r=a 围成的曲边扇形围成的曲边扇形.则其面积为则其面积为32203220234|)3(22)(aadaAo)(),(21 rrrr 由曲线
28、由曲线 例例4 求阿基米德螺线求阿基米德螺线r=a(a0)上上NoM1A2A例例5 求求r=1与与r=1+coscos 所围公共面积所围公共面积.解解 如图如图,曲线交点为曲线交点为)23,1(),2,1(NM由对称性由对称性245)4183(2)(221 AAA则则 221)cos1(21dA 22)coscos21(21d 22|)sin41sin223(183 而而42 A三三.参数方程情形参数方程情形 当曲边梯形的曲边为参数方当曲边梯形的曲边为参数方x=x=(t),y=(t),y=(t)(t),且且()=a,)=a,()=b,)=b,在在 ,上上(t)(t)有连续导数有连续导数,(t)
29、(t)连续连续,则则曲边梯形面积面积为曲边梯形面积面积为dtttdxxfAba )()()(在例在例1中中,若采用椭圆的参数方程若采用椭圆的参数方程)20(.sin,cos ttbytax则则02)cos(sin4 tatdbA022sin4 tdtab0222cos14 dttab20|)2sin412(4 ttabab 立体的体积立体的体积一一.平行截面面积已知的立体体积平行截面面积已知的立体体积点点x且垂直于且垂直于x 轴的截面面积轴的截面面积.如图如图,体积微元为体积微元为dV=A(x)dx,则体积为则体积为badxxAV)(例例1 如图如图,从圆柱体上截下一块楔形体从圆柱体上截下一块
30、楔形体,abx求其体积求其体积.取取x为积分变量为积分变量,其变化范围为其变化范围为a,b.设立体介于设立体介于x=a,x=b之间之间,A(x)表示过表示过,tan)(21)(22 xRxA则则RRdxxRV tan)(2122 tan32|tan)31(21332RxxRRR边长分别为边长分别为y和和ytan .因此因此如图如图,过过x的截面是直角三角形的截面是直角三角形,解解-RRyxoxyxyoRh高为高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.底边长为底边长为2y,高为高为h.因此因此,)(22xRhyhxA则则202222cos2 hRdhRRRdxxRhV22过过x的截面是等腰三角形的
31、截面是等腰三角形,解解 如图如图,例例2 求以圆为底求以圆为底,平行且等于底圆直径的线段为顶平行且等于底圆直径的线段为顶,badxxfV2)(称为旋转体称为旋转体.则如前所述则如前所述,可求得截面面积可求得截面面积,)()(22xfyxA二二.旋转体的体积旋转体的体积则则 平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体设旋转体由图设旋转体由图1的曲边梯形绕的曲边梯形绕x轴形成轴形成.yxaby=f(x)ox图图1 同理同理,如旋转体由图如旋转体由图2的曲边梯的曲边梯形绕形绕y轴形成轴形成.dcdyyV2)(ycoxdx=(y)例例3 求如图直角三角形绕
32、求如图直角三角形绕x轴轴旋转而成的圆锥体的体积旋转而成的圆锥体的体积.解解 可求得过点可求得过点O及及P(h,r)的直线方程为的直线方程为xhry 由公式得由公式得3|3)(2023220hrhxrdxxhrVhh yoxP(h,r)则体积为则体积为图图2图图3例例4 求星形线求星形线)0(sincos33ataytax绕绕x轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积解解 由对称性及公式由对称性及公式adxyV022 aaxy02262)sin(cos3sin2 dtttata20273)sin1(sin6 dttta310532a 例例5 求圆心在求圆心在(b,0),半径为半径为a(ba)的圆
33、绕的圆绕y轴旋转而成的环状轴旋转而成的环状体的体积体的体积.yxoba解解 圆的方程为圆的方程为222)(aybx,则所求体积可视为则所求体积可视为2222,yabxyabx曲边梯形绕曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差轴旋转而成的旋转体的体积之差.aaaadyyabdyyabV222222)()(adyyab0228 baayayayba2202222|)arcsin22(8 分别与直线分别与直线y=-a,y=a及及y轴所围成的轴所围成的则则例例 证明：由平面图形证明：由平面图形 )(0 xfy,0bxa绕绕 轴旋转所成的旋转体的体积为轴旋转所成的旋转体的体积为ybadxxxfV)(2
34、柱壳法柱壳法就是把旋转体看成是以就是把旋转体看成是以y 轴为中心轴的轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的，一系列圆柱形薄壳组成的，即为圆柱薄壳即为圆柱薄壳当当dx很小时，此小柱体的高看作很小时，此小柱体的高看作f（x），），以此柱壳的体积作为体积元素，以此柱壳的体积作为体积元素，bayx)(xfy 在在区间区间 上上,dxxx)(2xfdxxdV babadxxxfdVV)(2 柱壳体的体积元素为柱壳体的体积元素为 平面曲线的弧长平面曲线的弧长光滑曲线可应用定积分求弧长光滑曲线可应用定积分求弧长.若函数若函数y=f(x)的导函数在区间的导函数在区间a,b上连续上连续,则称曲线则称曲线y=f(x)
35、为区间为区间a,b上的光滑曲线上的光滑曲线,一一.直角坐标情形直角坐标情形设光滑曲线方程设光滑曲线方程:)(),(bxaxfy可用相应的切线段近似代替可用相应的切线段近似代替.即即dxydydxs2221)()(则弧长微元则弧长微元(弧微分弧微分)dxyds21故弧长为故弧长为dxysba21oyxdyabdxy=f(x)取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.a,b内任意小区间内任意小区间x,x+d x的一段弧长的一段弧长 例例1 求曲线求曲线2332xy 相应于相应于x从从a到到b的一段弧长的一段弧长.解解 dxyds21babaxdxxs|)1(32123)1()1(32
36、2323abdxxdxx1)(1221例例2 求求dttyxcos2 的全弧长的全弧长.解解 y=y(x)的定义域为的定义域为dxxdxxyscos1)(122222 2,2 ,故弧长为故弧长为:4|2sin242cos222020 xdxx二二.参数方程情形参数方程情形设光滑曲线方程设光滑曲线方程:)(,)()(ttytx弧长微元弧长微元dtttdydxds)()()()(2222 则如前所述则如前所述,dttts)()(22 例例4 求星形线求星形线)20(sincos33 ttaytax的弧长的弧长.解解 由对称性及公式由对称性及公式dttts)()(42220 202sincos34
37、dtttaatatdtta6|sin6sincos1220220 202222)cossin3()sin(cos34 dtttatta例例4 求阿基米德螺线求阿基米德螺线r=a(a0)上上相应于相应于 从从0到到2 的一段弧长的一段弧长.解解 dadrrs202221)()()412ln(412222 a三三.极坐标情形极坐标情形设曲线方程设曲线方程:r=r()().化为参数方程化为参数方程:)(,sin)(cos)(tryrx则则 drrdttts)()()()(2222定积分的物理应用定积分的物理应用一一.变力沿直线作功变力沿直线作功若物体在常力若物体在常力F作用下沿作用下沿F方向移动方向
38、移动s距离距离,.由由x=a移到移到x=b,可用微元法解决做功问题可用微元法解决做功问题.dW=F(x)dx则则badxxFW)(F(x)abx x+dx则则W=Fs 若物体在变力若物体在变力F(x)作用下沿力的方向作用下沿力的方向 取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.相应于任意小区间相应于任意小区间x,x+dx的功的微元的功的微元 例例1 设设9.8牛顿的力能使弹簧伸长牛顿的力能使弹簧伸长1厘米厘米,解解从而从而由公式由公式1.001.0029.4|490980)(xxdxdxxFWba(焦耳焦耳)例例2 形如圆锥台的形如圆锥台的水桶水桶内盛满了水内盛满了水(如图如图),
39、解解 设想将水分成许多薄层设想将水分成许多薄层,问将全部水吸出需作多少功问将全部水吸出需作多少功?(水比重为水比重为9800牛顿牛顿/立方米立方米)0yx13(3,2)xx+dx求伸长求伸长10厘米需作多少功厘米需作多少功?所以所以k=980.F=9.8牛顿牛顿,而而x=0.01米时米时,已知已知 F=kx,F=980 x.吸出各层水所作的功的总和即为所求吸出各层水所作的功的总和即为所求.取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为xdxxdW2)13(9800 则则302)13(9800 xdxxW)(124950|)219236(980030234Jxxx 例例3 一桶水重一桶水重10
40、kg,由一条线密度由一条线密度0.1kg/m的的0yx13(3,2)xx+dx因此功的微元因此功的微元吸出这层水的位移近似于吸出这层水的位移近似于x.的薄层水近似于圆柱的薄层水近似于圆柱,0,2.相应于任意小区间相应于任意小区间x,x+dx绳子系着绳子系着,将它从将它从20m深的井里提上来需作多少功深的井里提上来需作多少功?解解 将水桶从井里提上来所作的功为将水桶从井里提上来所作的功为)(1960208.9101JW 将绳子从井里提上来所作的功将绳子从井里提上来所作的功,)(1968.91012002JdxxW则所作的总功为则所作的总功为)(2156196196021JWWWxo20 xx+d
41、x即变力沿直线作的功为即变力沿直线作的功为二二.静液压力静液压力 设有一面积为设有一面积为A的平板的平板,水平放置在液体下深水平放置在液体下深度度h处处,则平板一侧所受压力为则平板一侧所受压力为 N=h A.(为液体为液体比重比重)则平板一侧所受压力须用微元法解决则平板一侧所受压力须用微元法解决.取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.oxyabxx+dxy=f(x)近似于水近似于水深深x处处水平放置的水平放置的长方形窄条所受的压力长方形窄条所受的压力.相应于相应于x,x+dx的窄条所受到的压力的窄条所受到的压力 如果平板垂直放置在液体下如果平板垂直放置在液体下,以如图曲边梯形
42、为例以如图曲边梯形为例:则压力微元为则压力微元为dN=xydx=xf(x)dx因此整个平板所受压力为因此整个平板所受压力为badxxxfN)(例例4 一个横放的半径为一个横放的半径为R的圆的圆柱形油桶内有半桶油柱形油桶内有半桶油(比重比重),求一个求一个端面所受的压力端面所受的压力.解解 由对称性由对称性12NN 从而转化为上述曲边梯形情形从而转化为上述曲边梯形情形,即即RdxxRxNN022122 30232232)(32RxRR oxyabxx+dxy=f(x)xy1No例例5 求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力.解解 由对称性由对称性12NN 也可转
43、化为曲边梯形情形也可转化为曲边梯形情形,曲边为曲边为22xy则压力为则压力为201)(22dxxxfNN)(52267|)6(980022032Nxx三三.引力引力由万有引力定律由万有引力定律,两质点之间的引力为两质点之间的引力为221rmmGF 若要计算细棒对质点的引力若要计算细棒对质点的引力,须用微元法解决须用微元法解决.2o2xy(2,1)1N20)22(2dxxx 例例6 设有质量为设有质量为M,长度为长度为l的均匀细杆的均匀细杆,任意小段任意小段x,x+dx近似于质点近似于质点,且质量且质量为为则引力微元为则引力微元为22)()(axlMdxmGaxdxlMmGdFdxlMoxx+d
44、xxal另有一质量为另有一质量为m的质点位于同一直线上的质点位于同一直线上,且到杆的近段距离为且到杆的近段距离为a,求杆对求杆对质点的引力质点的引力.取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为0,l,则引力为则引力为dxaxlGmMFl20)(1oxx+dxxal四四.连续函数的平均值连续函数的平均值n个数的平均值为个数的平均值为nynyyyyniin 121而连续函数而连续函数f(x)在区间在区间a,b上的平均值上的平均值,需要用定积分计算需要用定积分计算.)(|)11(0laaGmMxlGmMl将将a,bn等分等分,在每个小区间上依次任取在每个小区间上依次任取,21n 则则nfnfffyyniinn 121)()()()(由定积分定义可知由定积分定义可知nfyniin 1)(limabxfniiin 1)(lim)()(limabnabfniin 1 badxxfab)(1例例1 求从求从0秒到秒到T秒这段时间内秒这段时间内自由落体的平均速度自由落体的平均速度.解解 .2|201002gTTgtgtdtTvTT注意注意:积分中值定理中的积分中值定理中的f()就是就是f(x)在区间在区间a,b上的平均值上的平均值.
