1、第六章第六章 定积分定积分 6.1 定积分的概念定积分的概念 6.2 定积分的性质定积分的性质 6.3 定积分的计算定积分的计算 6.4 广义积分广义积分 6.5 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用6.1 6.1 定积分的概念定积分的概念 求由曲线求由曲线 xfy，直线，直线x=x=a,xa,x=b=b和和x x轴所围成的轴所围成的（一）引例（一）引例引例引例1 1 几何学中求曲边梯形的面积几何学中求曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积A:A:bxxxxxxanii1210nniixxxxxxxx,112110ba,把区间把区间分成分成n n个小区间：个小区间：nixi,2,1 设
2、第设第i i个区间长度为个区间长度为过每个分点作垂直于过每个分点作垂直于x x轴的直线段，把曲边梯形分成轴的直线段，把曲边梯形分成n n个个小曲边梯形小曲边梯形;1 1、分割、分割ba,1n内任意插入内任意插入个分点：个分点：在区间在区间 nixfAiii,2,1,xfy iif,)(if ix nixfii,2,1,作垂直于作垂直于x x轴的直线与曲线轴的直线与曲线相交于点相交于点以以为高，为高，为宽构成的矩形面积为为宽构成的矩形面积为:2 2、近似代替、近似代替iixx,1i内任取一点内任取一点在第在第i i个小区间个小区间ix当当0 0时，小曲边梯形的面积可以近似地看成小矩形时，小曲边梯
3、形的面积可以近似地看成小矩形的面积，即的面积，即 iininxfA1lim iinixfA1曲边梯形面积曲边梯形面积3 3、求和、求和4 4、取极限、取极限ixn当当0 0时，分点数时，分点数，则有，则有求某物体在时间间隔求某物体在时间间隔21,TT内运动的路程内运动的路程s s，引例引例2 2 物理学中求变速直线运动的路程物理学中求变速直线运动的路程其中速度其中速度v v（t t）是时间）是时间t t 的函数。的函数。212101TttttttTniinniitttttttt,112110 nitvsiii,2,1,21,TT1n在在内插入内插入个分点：个分点：21,TT 把时间间隔把时间间
4、隔分成分成n n个小时间段：个小时间段：ixni,2,1设设为第为第i i个区间长度个区间长度iitt,1 iiitvv,任取区间任取区间内的某一时刻的速度内的某一时刻的速度iitt,1n为在为在内物体匀速直线运动的路程。当内物体匀速直线运动的路程。当时，即分点越多是，第时，即分点越多是，第i i个时间段的路程个时间段的路程1 1、分割、分割2 2、近似代替、近似代替 iiniinitvsS11 iinintvS1lim3 3、求和、求和4 4、取极限、取极限bxxxxxxanii1210nxxx,max21ba,1n在区间在区间内任取内任取个分点：个分点：ba,nixxii,2,1,1把区间
5、把区间分成分成n n个小区间：个小区间：1iiixxx设设，即第，即第i i个区间的区间长度，个区间的区间长度，（二）定积分的概念（二）定积分的概念 xfba,定义定义6.1 6.1 设函数设函数在区间在区间上有定义。上有定义。（1 1）、分割）、分割,2,1,1nixxiii iif,任取任取为曲线为曲线（3 3）取极限）取极限 iininxf10lim xfba,存在，则称函数存在，则称函数在在 xfba,上可积，并将极限值称为函数上可积，并将极限值称为函数,在在 badxxf上的定积分，记作上的定积分，记作，即，即 badxxf iininxf10lim=（2 2）作和）作和 xf ni
6、tfii,2,1,iinixf1 xfba,上一点，作乘积上一点，作乘积，则，则称为函数称为函数在在上的积分和。上的积分和。xf其中其中称为被积函数被积函数，x称为积分变量积分变量，dxxf称为被积表达式被积表达式，称为积分号称为积分号 badxxf xf称作函数称作函数从从a a到到b b的定积分。的定积分。ba,称为积分区间，称为积分区间，a a称为积分下限，称为积分下限，b b 称为积分上限，称为积分上限，（三）定积分的几何意义（三）定积分的几何意义 0 xf badxxf xfy(1)当当时，定积分时，定积分表示由曲线表示由曲线直线直线x=x=a,xa,x=b=b和和x x轴所围成的曲
7、边梯形的面积（图（轴所围成的曲边梯形的面积（图（a a）0 xf badxxf xfy(2)当当时，定积分时，定积分表示由曲线表示由曲线直线直线x=x=a,xa,x=b=b和和x x轴所围成的曲边梯形的面积的负值轴所围成的曲边梯形的面积的负值（图（图（b b）xfba,badxxf 0 xf 0 xf(3)当当在在上既有负值又有正值时，定积分上既有负值又有正值时，定积分表示几部分的和表示几部分的和:时，取面积的正值，时，取面积的正值，时，取面积的负值（图（时，取面积的负值（图（c c）13 xy12 xyxy tv23,11 1、用定积分表示由曲线、用定积分表示由曲线2 2、试用定积分表示由曲
8、线、试用定积分表示由曲线与直线与直线3 3、某物体以、某物体以作直线运动，用定积分表示此物体在作直线运动，用定积分表示此物体在内所走过的路程。内所走过的路程。练习练习6.16.1与直线与直线x=2,x=6x=2,x=6和和x x轴所围成的曲边梯形的面积。轴所围成的曲边梯形的面积。所围成区域的面积。所围成区域的面积。时间段时间段6.2 6.2 定积分的性质定积分的性质 0aadxxf（1 1）ba（2 2）若）若时，有时，有 badxxf abdxxf=规定：规定：bababadxxgdxxfdxxgxf xf xgba,xgxfba,性质性质1 1 若函数若函数和和在在上可积，则上可积，则在在
9、上也可积，且上也可积，且（一）定积分的线性性质（一）定积分的线性性质 iniiibaxgfdxxgxf10lim iniiiniixgxf1010limlim babadxxgdxxf证明：证明：xfba,xcfba,babadxxfcdxxcf性质性质2 2 如果函数如果函数在在上可积，上可积，c c为常数，为常数，在在上也可积，且有上也可积，且有则函数则函数证明：证明：iniibaxcfdxxcf10lim iniixfc10lim badxxfc （二）定积分的区间可加性（二）定积分的区间可加性 xfba,bac,xfdcca,、cabcbadxxfdxxfdxxf性质性质3 3 若函数
10、若函数在在上可积，且上可积，且则函数则函数在在上也可积，且有上也可积，且有 xfdcca,、xfba,性质性质4 4 若函数若函数在在上都可积，则上都可积，则在在上也可积。上也可积。xf xgba,bax、xgxf babadxxgdxxf性质性质5 5 如果如果、在在上都可积，且对每一上都可积，且对每一都有都有，则，则（三）定积分的单调性（三）定积分的单调性 xfba,bax、0 xf 0badxxf推论推论1 1 如果函数如果函数在在上可积，且对每一上可积，且对每一都有都有，则有，则有 xfba,xfba,dxxfdxxfbaba推论推论2 2 如果函数如果函数在在上可积，则上可积，则在在
11、上也可积上也可积,则有则有 cxf cxfba,abccdxba性质性质6 6 如果函数如果函数，c c为常数，则函数为常数，则函数在在上可积，且有上可积，且有（四）定积分的中值定理（四）定积分的中值定理证明：证明：iniibaxfcdx10limabcabcxcini010limlim xfba,abMdxxfabmba性质性质7 7 如果函数如果函数在区间在区间上最大值与最小值上最大值与最小值分别是分别是MM与与mm，则有，则有 xfba,ba,badxxf abf性质性质8 8（中值定理）（中值定理）如果函数如果函数在在上连续，则在上连续，则在内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得 =
12、函数函数证明：证明：xfba,在在上有最大值上有最大值MM和最小值和最小值mm，即，即 Mxfm bababaabMMdxdxxfmdxabm又由定积分的单调性，有又由定积分的单调性，有 Mdxxfabmba1所以所以 badxxfab1由介值定理可知，对于由介值定理可知，对于mm与与MM之间的常数之间的常数ba,在在内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得 badxxfabf1 abfdxxfba即有即有 xf f,xfy fab中值定理的几何意义是：在连续曲线中值定理的几何意义是：在连续曲线上至少能找到一点上至少能找到一点，使得由曲线，使得由曲线，直线，直线x=x=a,xa,x=b=b和和
13、x x轴所围成的曲边梯形的面积等于以轴所围成的曲边梯形的面积等于以为高，为高，为宽的矩形面积（见下图）为宽的矩形面积（见下图）:dxxdxx103103与dxxxdx2020sin与dxedxexx10102与dxxxdxee111ln与112dxex312dxx331xarctgxdx（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（1 1）（2 2）（3 3）练习练习6.26.21 1、比较下列各对积分值的大小、比较下列各对积分值的大小:2 2、估计下列积分的值、估计下列积分的值6.3 6.3 定积分的计算定积分的计算（一）变上限定积分（一）变上限定积分 xfba,xabaxdttfx,定义定义6
14、.2 6.2 设函数设函数在区间在区间上可积，则称上可积，则称 为变上限定积分。为变上限定积分。xfba,xadxtfx xfx 定理定理6.1 6.1 如果如果在在上连续，则变上限定积分上连续，则变上限定积分 在区间上可导，且在区间上可导，且 xfba,xF xf badxxf aFbF定理定理6.26.2（微积分基本定理）（微积分基本定理）如果函数如果函数在在上连续，并且上连续，并且是是的一个原函数，则的一个原函数，则=（二）牛顿（二）牛顿*莱布尼兹莱布尼兹*公式公式牛顿牛顿莱布尼兹公式还可表示为莱布尼兹公式还可表示为 badxxf abxF=211dxx例例1 1 求求xx1ln解：因为
15、解：因为的一个原函数，是xx1ln所以所以 211dxx2ln1ln2ln12lnx故有故有=126421arcsin22arcsin2122arcsinx2221211dxx例例2 2求求211arcsinxx解：因为解：因为的一个原函数，是211arcsinxx 所以所以 2221211dxx故有故有10311dxx例例3 3 求求dxx311解：（解：（1 1）先求不定积分）先求不定积分dttdxtxtx2333,则设设dxx311dtttdttt11131322所以所以 =ctttdttt1ln332311132=dxx311cxxx33321ln3323所以所以 =10311dxx0
16、11ln3323313132xxx232ln32ln332310311dxx（2 2）再求定积分）再求定积分 cxxxsincos102sin2cos220sinxdxx例例4 4 求求xdxxxxxdxdxxcoscoscossin解解:20sinxdxx02sincosxxx所以所以 （三）定积分的换元积分法（三）定积分的换元积分法 xfba,tx,t btaba,定理定理6.3 6.3 如果函数如果函数在在上连续，且函数上连续，且函数在在上有连续导数，当上有连续导数，当时，有时，有,则有则有 badxxf dtttf例例5 5 求求10311dxx10311dxxdtttdxtt1021
17、02111313011ln33231113210tttdxtt232ln302ln3323dttdxtx233,则解：设解：设当当x=0 x=0时，时，t=0t=0；当；当x=1x=1时，时，t=1t=1，则有，则有 2ln2110ln11ln211021dxxx例例6 6 求求1021dxxx011ln21112110222xxdxx解：解：eeeeex1211122121dxxex例例7 7 求求2121dxxex211212111xdedxxexx解：解：dxxx023cossindxxxdxxxcossincossin2322023dxxx053sinsin例例8 8 求求dxxx05
18、3sinsindxxxx02sin1sinsin解：解：xdxxdxsinsinsinsin2322023541052522sin5202sin522525xx例例9 9 求求2ln01dxex224220122arctgtt解：解：dtttdxtx22121ln则设设，时，；当时，12ln00txtx当当2ln01dxexdttdxttt102102111212所以所以 xvxuxvxuxvxu（四）定积分的分部积分法（四）定积分的分部积分法 bababadxxvxudxxvxudxxvxu可得可得 babadxxvxuabxvxudxxvxu即即 xvxu、ba,在在则由导数的乘法法则则由
19、导数的乘法法则设函数设函数上连续且可导，上连续且可导，或或 xduxvabxvxuxdvxubaba 221022102112161321dxxdxxx0211221611121621222102xxdx23611236210arccosxdx例例10 10 求求210arccosxdx210arccos021arccosxxdxx解：解：eexdxexdxexx12122212ln21ln214141412141222222eeeexeexdxx1ln例例11 11 求求exdxx1lnexdx122ln解：解：2020sin02sinsinxxxxdexexdexdeexdxeexxcos
20、sin202202xdxeeexdexeexxxcos1cos02cos200220220cosxdxex例例12 12 求求20cosxdxex解：解：20cosxdxex1212e整理，得整理，得 xdxtxF02 xdxtxF03sin 1xtdxtexF 2021xdxtxF（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）练习练习6.36.31 1、求下列函数的导数、求下列函数的导数2 2、求下列定积分、求下列定积分 212132dxxx10dxxx2lneexxdx303dxex33121xdx20sindxx（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）3 3、利用换元积分法
21、求下列定积分、利用换元积分法求下列定积分 1145xdxdtt401130tgxdxedxxx1ln2511duuu10221dxxx203cossinxdxx2221xdx10 xxeedx2121sin1dxxx（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）（7 7）（8 8）（9 9）（1010）210arcsin xdx102dxexxedxx12ln20sinxdxex402cosdxxx302arctgxdxx10dxex1021lndxx（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）（7 7）（8 8）4 4、利用分部积分法求下列定积分、利用分部积分法
22、求下列定积分6.4 6.4 广义积分广义积分（一）无穷区间上的广义积分（一）无穷区间上的广义积分 xf,aab babdxxflim定义定义6.3 6.3 设函数设函数在在上是连续函数，对于任意的上是连续函数，对于任意的，如果极限，如果极限 xf,a adxxf存在，则称此极限为存在，则称此极限为在无穷区间在无穷区间上的广义积分，记作上的广义积分，记作 adxxf babdxxflim即即这时称广义积分这时称广义积分 adxxf收敛，收敛，若极限不存在，则称广义积分发散。若极限不存在，则称广义积分发散。xf,cdxxf cdxxf定义定义6.4 6.4 设函数设函数在在c c为任意的实数，如果
23、广义积分为任意的实数，如果广义积分 与与上是连续函数，上是连续函数，xf,dxxf都收敛，则称上述两个广义积分之和为都收敛，则称上述两个广义积分之和为在无穷区间在无穷区间内的广义积分，记作内的广义积分，记作 ，即，即 dxxf cdxxf cdxxf caadxxflim bcbdxxflim+dxxf这时称广义积分这时称广义积分收敛，否则称为发散。收敛，否则称为发散。0211dxx0lim11lim02barctgxdxxbbb2limarctgbb0211dxx例例1 1 求广义积分求广义积分 112xxf,0解：被积函数解：被积函数在在内是连续函数，内是连续函数，0211dxx2所以广义
24、积分所以广义积分 0b，有，有 所以任取一实数所以任取一实数edxxxlnbebbebxxdxdxxlnlnlimln1lim21lnlim21ln21lim22bebxbbedxxxln例例2 2 求广义积分求广义积分 xxxfln,e解：被积函数解：被积函数在在内是连续函数，内是连续函数，eb，有，有所以任取一实数所以任取一实数所以广义积分所以广义积分 edxxxln 发散。发散。（二）无界函数的广义积分（二）无界函数的广义积分 badxxf badxxf 0lim xfba,xfaxlim badxxf 0lim定义定义6.5 6.5 设函数设函数在区间在区间上连续，且上连续，且，对于任
25、取的正数，对于任取的正数，如果极限，如果极限 xfba,badxxf存在，则称此极限为存在，则称此极限为在在上的广义积分，记作上的广义积分，记作，即，即 这时称广义积分这时称广义积分 badxxf收敛；否则称为发散。收敛；否则称为发散。xfba,则称上述两个广义积分的和是则称上述两个广义积分的和是在在上的广义积分，记作上的广义积分，记作 xfba,bcac xfcxlim bccadxxfdxxf与定义定义6.8 6.8 若函数若函数在区间在区间上除点上除点外连续，且外连续，且，如果，如果广义积分广义积分 都收敛，都收敛，badxxf bccadxxfdxxf bccadxxfdxxf00li
26、mlim此时称广义积分此时称广义积分 badxxf收敛；否则称为发散。收敛；否则称为发散。2121xdx例例3 3 求广义积分求广义积分2111limxx解：因为解：因为当当211x1x所以被积函数所以被积函数时无界。时无界。2121xdx1lim11211lim1lim002120 xxdx由定义，对于任意的正数由定义，对于任意的正数，有，有所以广义积分所以广义积分2121xdx发散发散exdx12ln1例例4 4 求广义积分求广义积分ex 2ln11xx解：当解：当时，被积函数时，被积函数所以是无界函数的广义积分。对于任意的正数所以是无界函数的广义积分。对于任意的正数，有，有exdx12l
27、n1dxxxe120ln11limxdxelnln11lim1201lnarcsinlim0ex1lnarcsinlnarcsinlim0e 201arcsin练习练习6.46.40dxexedxxxln102dxxex02212dxxx1021xdx1121dxx（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）求下列广义积分求下列广义积分6.5 6.5 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用（一）平面图形的面积（一）平面图形的面积由连续曲线由连续曲线 xfy，直线，直线x=x=a,xa,x=b=b和和x x轴所轴所确定的曲边梯形的面积公式有确定的曲边梯形的面积公式有 0 xf
28、0badxxf badxxfA（1 1）当）当时，时，（见图（见图（a a），），所以有公式所以有公式 0 xf 0badxxf badxxfA（2 2）当）当时，时，（见图（见图（b b），），故有公式故有公式 ba,xf badxxfAAA21 badxxfA（3 3）在）在上，上，有正有负，（见图（有正有负，（见图（c c），），则有公式则有公式（4 4）badxxfxfA21(见图（见图（d d）)面积公式为：面积公式为：（4 4）由两条曲线）由两条曲线 xfy1 xfy2,和直线和直线x=a,x=a,X=bX=b所围成的平面区域的面积所围成的平面区域的面积xy2例例1 1 求曲线求曲
29、线，直线，直线x=0,x=3x=0,x=3和和x x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积（见图阴影部分）曲边梯形的面积（见图阴影部分）3,0 xy2上，函数上，函数都是正数，所以利用都是正数，所以利用解：因为在解：因为在公式有公式有 2ln7222ln10322ln120330 xxdxAxyxycos,sin4,4xx例例2 2 求曲线求曲线和直线和直线所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。4,4xxsincos解：如图所示，在解：如图所示，在上有：上有：故应用公式阴影部分的面积为故应用公式阴影部分的面积为 =24cos4cos4sin4sin 44cos44sinxx444444sinco
30、ssincosxdxxdxdxxxA2xy xyxy2,例例3 3 求由曲线求由曲线，直线，直线所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。解：解：第一步：求交点，找出第一步：求交点，找出x x的取值范围的取值范围 11,002yxyxxyxy 0,0,1,1（1 1）。故。故2xy xy 是曲线是曲线与直线与直线的交点的交点 （2 2）42,0022yxyxxyxy 0,0,4,2。故。故2xy xy2是曲线是曲线与直线与直线的交点。的交点。由图所示：由图所示：210122210101xxdxdxxxA321232322122xxdxxxA21AAA102dxxx2122dxxx67 （二）旋转
31、体的体积（二）旋转体的体积求由连续曲线求由连续曲线 xfy 和直线和直线x=x=a,xa,x=b=b和和x x轴所轴所围成的图形绕着围成的图形绕着x x轴旋转而得到的旋转体的体积（见图（轴旋转而得到的旋转体的体积（见图（a a）dyyVba2 yx由曲线由曲线，直线，直线y=y=a,ya,y=b=b和和y y轴所围成的轴所围成的图形绕着图形绕着y y轴旋转而得到的体积公式为轴旋转而得到的体积公式为 是积分变量为是积分变量为x x的旋转体体积公式的旋转体体积公式 dxxfVba2ba,任取任取上的一点上的一点x x（见图（见图（b b），相应地有函数），相应地有函数 xf xf与之对应。以与之对
32、应。以为半径绕为半径绕x x轴旋转一周，得到一个轴旋转一周，得到一个 xf2ba,，所以区间，所以区间上的几何体的体积为上的几何体的体积为圆面，面积为圆面，面积为xycos2,0 xx例例 求由连续曲线求由连续曲线和直线和直线和和x x轴所围成的图形绕轴所围成的图形绕x x轴旋转所成旋转体的体积。轴旋转所成旋转体的体积。dxxxdxV2020222cos1cos4022sin4422cos220222220 xxxdx解：如图，由体积公式，有解：如图，由体积公式，有42所以所求旋转体所以所求旋转体的体积为的体积为2xy xy 例例 求由曲线求由曲线与与围成的图形绕围成的图形绕y y轴旋转所得旋
33、转体的体积。轴旋转所得旋转体的体积。xyxy2解：如图所示，求交点坐标为解：如图所示，求交点坐标为解得解得00,11yxyx 0,0,1,1 故交点坐标为故交点坐标为 103520150125210410yydyydyydyydyyV1022102把把y y看成积分变量，则体积为看成积分变量，则体积为 练习练习6.56.52,1xxyxy1,xeyeyxxxxyxy,4,0,sin1 1、求下列平面曲线所围成的区域的面积。、求下列平面曲线所围成的区域的面积。（2 2）（3 3）（1 1）轴绕xyxxy,0,2,3轴绕yyxxxy,0,4,1,2 2、求下列曲线围成的图形绕指定旋转轴旋转所产生的、求下列曲线围成的图形绕指定旋转轴旋转所产生的（2 2）；（1 1）旋转体的体积。旋转体的体积。
