1、真实应变真实应变=dL/L=ln(L/Lo)L1LoPSLoLSo伸长伸长1.正应力和正应变正应力和正应变 正应变正应变 ：单位长度的伸长。：单位长度的伸长。（LLo)/Lo=（名义应变）名义应变）2.1.1 基本概念基本概念正应力正应力 ：作用于单位面积：作用于单位面积上的力。上的力。P/So=（公称应力公称应力或名义应力）或名义应力）真实应力真实应力=P/S2.1 应力、应变及弹性形变应力、应变及弹性形变2.剪切应力和剪切应变剪切应力和剪切应变负荷作用在面积为负荷作用在面积为S的的ABCD面上，面上，剪切应力：剪切应力：=P/S;剪切应变：剪切应变：=U/L=tg.正应力引起材料的伸长或缩
2、短，剪应力引起材料的正应力引起材料的伸长或缩短，剪应力引起材料的畸变，并使材料发生转动。畸变，并使材料发生转动。PABCDEA B ULFxyz zx xy yy xx zz yz zy yx xz应力分量应力分量S围绕材料内部一点围绕材料内部一点P，取一体积单元取一体积单元2.1.2 任意的力在任意方向上作用于物体任意的力在任意方向上作用于物体1.应力应力说明：说明：下脚标的意义：下脚标的意义：每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标：每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标：第一个字母表示应力作用面的法线方向；第一个字母表示应力作用面的法线方向；第二个字母表示应力的作用方向
3、。第二个字母表示应力的作用方向。方向的规定方向的规定正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力为负。为负。剪应力的正负号规定：剪应力的正负号规定：正剪应力正剪应力负剪应力负剪应力应力间存在以下关系：应力间存在以下关系：根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的法向应力大小相等，方向相反；法向应力大小相等，方向相反；剪应力作用在物体上的总力矩等于零。剪应力作用在物体上的总力矩等于零。应力应力张量张量T1T2T3T4T5T6 xx yy zz yz zx xy结论：一点的应力状态有六个分量决定结论：
4、一点的应力状态有六个分量决定体积元上任意面上的法向应力与坐标轴的正方向相体积元上任意面上的法向应力与坐标轴的正方向相同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正；同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正；如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪应力指向坐标轴的正方向者为负。应力指向坐标轴的正方向者为负。2.应变应变dxdyBCAC B A(v/y)dy(v/x)dx(u/x)dx(u/y)dy xy0 XY面上的剪应变面上的剪应变 xy yx已知：已知：O点沿点沿x,y,z方向的位移分量分别为方向的位移分量分别为u,v,w应变为：应变为：u/
5、x ，用偏微分表示用偏微分表示：u/x在在O点点 处沿处沿x方向的正应变方向的正应变是：是：xx=u/x同理：同理：yy=v/y zz=w/z.uxOA xAO u（1）正应变）正应变 A点在点在x方向的位移是：方向的位移是：u+(u/x)dx，OA的长的长度增加度增加(u/x)dx.O点在点在 y方向的应变：方向的应变：v/x,A点在点在y方向的位方向的位移移v+(v/x)dx,A点在点在y方向相对方向相对O点的位移为：点的位移为：(v/x)dx,同理：同理：B点在点在x方向相对方向相对O点的位移为：点的位移为：(u/y)dy（2）剪切应变剪切应变线段线段OA及及OB之间的夹角变化之间的夹角
6、变化OA与与OA 间的夹角间的夹角 =(v/x)dx/dx=v/x OB与与OB 间的夹角间的夹角=(u/y)dy/dy=u/y线段线段OA及及OB之间的夹角减少了之间的夹角减少了 v/x+u/y，xz平面的剪应变为平面的剪应变为:xy=v/x+u/y（xy与与 yx)同理可以得出其他两个剪切应变：同理可以得出其他两个剪切应变：yz=v/z+w/y zx=w/x+u/z结论：结论：一点的应变状态可以用六个应变分量来决定，即一点的应变状态可以用六个应变分量来决定，即三个剪应变分量及三个正应变分量。三个剪应变分量及三个正应变分量。（1）各向同性体的虎克定律）各向同性体的虎克定律 xLLbcc b
7、xzxy长方体在轴向的相对伸长为：长方体在轴向的相对伸长为：x=x/E应力与应变之间为线性关系，应力与应变之间为线性关系，E-弹性弹性模量，模量，对各向同性体，弹性模量为一常数。对各向同性体，弹性模量为一常数。2.1.3 弹性形变弹性形变1.广义虎克定律（应力与应变的关系）广义虎克定律（应力与应变的关系）当当长方体伸长时，横向收缩：长方体伸长时，横向收缩：y=c/c z=b/b横向变形系数（泊松比）横向变形系数（泊松比）：=|y/x|=|z/x|则则 y=x=x/E z=x/E如果长方体在如果长方体在 x y z的正应力作用下，虎克定律表的正应力作用下，虎克定律表示为：示为：x=x/E y/E
8、 z/E=x （y z）/E y=y/E x/E y/E=y （x z）/E z=z/E x/E y/E=z （x y）/E对于剪切应变，则有如下虎克定律：对于剪切应变，则有如下虎克定律：xy=xy/G yz=yz/G zx=zx/GG-剪切模量或刚性模量。剪切模量或刚性模量。G,E,参数的关系：参数的关系：G=E/2(1+)如果如果 x=y=z，材料的体积模量材料的体积模量K-各向同等各向同等的压力与其引起的体积变化率之比。的压力与其引起的体积变化率之比。K=p/(V/V)=E/3(12 )作用力对不同方向正应变的影响作用力对不同方向正应变的影响 各种弹性常数随方向而不同，各种弹性常数随方向
9、而不同，即：即：Ex Ey Ez,xy yz zx在单向受力在单向受力 x时，在时，在y,z方向的应变为：方向的应变为：yy=yx x=yx x/Ex=（yx/Ex）x=S21 x zz=zx x=zx x/Ex=S31 xS21,S31为弹性柔顺系数。为弹性柔顺系数。1,2,3分别表示分别表示x,y,z (2)各向异性各向异性同时受三个方向的正应力，在同时受三个方向的正应力，在x,y,z方方向的应变为：向的应变为：xx=xx/Ex+S12 yy+S13 zz yy=yy/Ey+S21 yy+S23 zz zz=zz/Ez+S31 yy+S32 zz正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响
10、，通正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响，通式为：式为：xx=S11 xx+S12 yy+S13 zz+S14 yz+S15 zx+S16 xy yy=S22 yy+S21 xx+S23 zzS24 yz+S25 zx+S26 xy zz=S33 zz+S31 yy+S32 zzS34 yz+S35 zx+S36 xy yz=S41 xx+S42 yy+S43 zz+S44 yz+S45 zx+S46 xy zx=S51 xx+S52 yy+S53 zz+S54 yz+S55 zx+S56 xy xy=S61 xx+S62 yy+S63 zz+S64 yz+S65 zx+S66 xy
11、总共有总共有36个系数。个系数。根据倒顺关系有（由弹性应变能导出）：根据倒顺关系有（由弹性应变能导出）：Sij=Sji ,21/E1 12/E2，系数减少至系数减少至21个个考虑晶体的对称性，考虑晶体的对称性，例如：斜方晶系，剪应力只影响与其平行的平面的应变，例如：斜方晶系，剪应力只影响与其平行的平面的应变，不影响正应变，不影响正应变，S数为数为9个个(S11,S22,S33,S44,S55,S66,S12=S21,S23,S13)。六方晶系只有六方晶系只有5个个S(S11=S22,S33,S44,S66,S13)立方晶系为立方晶系为3个个S(S11,S44,S12)MgO的柔顺系数在的柔顺系
12、数在25oC时，时，S11=4.0310-12 Pa-1;S12=0.9410-12 Pa-1;S44=6.4710-12 Pa-1.由此可知，各向异性晶体的弹性常数不是均匀的。由此可知，各向异性晶体的弹性常数不是均匀的。2.弹性变形机理弹性变形机理虎克定律表明，对于足够小的形变，应力与应变成虎克定律表明，对于足够小的形变，应力与应变成线性关系，系数为弹性模量线性关系，系数为弹性模量E。作用力和位移成线性作用力和位移成线性关系，系数为弹性常数关系，系数为弹性常数K。rrror 12FUm在在r=ro时，原子时，原子1和和2处于平衡状处于平衡状态，其合力态，其合力F=0.当原子受到拉伸时，原子当
13、原子受到拉伸时，原子2向右向右位移，起初作用力与位移呈线位移，起初作用力与位移呈线性变化，后逐渐偏离，达到性变化，后逐渐偏离，达到r 时，时，合力最大，此后又减小。合力合力最大，此后又减小。合力有一最大值，该值相当于材料有一最大值，该值相当于材料断裂时的作用力。断裂时的作用力。断裂时的相对位移：断裂时的相对位移：r ro=把合力与相对位移的关系看作把合力与相对位移的关系看作线性关系，则弹性常数：线性关系，则弹性常数：K F/=tg(1)原子间相互作用力和弹性常数的关系原子间相互作用力和弹性常数的关系 U(ro+）=U(ro)+(dU/dr)ro +1/2(d2U/dr2)ro 2 =U(ro)
14、+1/2(d2U/dr2)ro 2 F=du(r)/dr=(d2U/dr2)ro K=(d2U/dr2)ro就是势能曲线在最小值就是势能曲线在最小值u(ro)处的曲率。处的曲率。结论：结论：K是在作用力曲线是在作用力曲线r=ro时的斜率，因此时的斜率，因此K的大的大小反映了原子间的作用力曲线在小反映了原子间的作用力曲线在r=ro处斜率的大小处斜率的大小.(2)原子间的势能与弹性常数的关系原子间的势能与弹性常数的关系结论：结论：弹性常数的大小实质上反映了原子间势能曲线弹性常数的大小实质上反映了原子间势能曲线极小值尖峭度的大小。极小值尖峭度的大小。使原子间的作用力平行于使原子间的作用力平行于x轴，
15、作用于原子上的作用力：轴，作用于原子上的作用力：F=u/r ,应力：应力：xx(u/r)/ro2 d xx(2u/r2)dr/ro2 ,相应的应变：相应的应变：d xx=dr/rod xx=C11d xx C11 (d2U/dr2)ro/ro=K/ro=E1 C-弹性刚度系数（与弹性柔顺系数弹性刚度系数（与弹性柔顺系数S成反比）成反比）结论：结论：弹性刚度系数的大小实质上也反映了原子间势弹性刚度系数的大小实质上也反映了原子间势能曲线极小值尖峭度的大小。能曲线极小值尖峭度的大小。大部分无机材料具有离子键和共价键，共价键势能曲大部分无机材料具有离子键和共价键，共价键势能曲线的谷比金属键和离子键的深
16、，即：弹性刚度系数大。线的谷比金属键和离子键的深，即：弹性刚度系数大。(3)弹性刚度系数弹性刚度系数晶体晶体C11C12C44TiC5011.3017.50MgO28.928.8015.46LiF11.14.206.30NaCl4.871.231.26NaBr3.870.970.97KCl3.980.620.62KBr3.460.580.51 NaCl型晶体的弹性刚度系数型晶体的弹性刚度系数 （1011达因达因/厘米厘米2，200C）（4）用原子间振动模型求弹性常数用原子间振动模型求弹性常数原子振动时有以下关系：原子振动时有以下关系：m1r1=m2r2,r=r1+r2=r1(1+m1/m2)外
17、力使其产生振动时，外力使其产生振动时，则：则：F=m1d2r1/dt2=m2d2r2/dt2=K(rro)得得:md2(rro)/dt2=K(rro)或或 md2/dt2=K 其中：其中：m=m1m2/(m1+m2)（折合质量）折合质量）解此方程可以得共振频率：解此方程可以得共振频率：=(K/m)1/2/2 (与晶格振与晶格振动中的长光学纵波相似，也叫极化波，能引起静电极动中的长光学纵波相似，也叫极化波，能引起静电极化化)，则，则：K=m(2)2=m(2 c/)2可以利用晶体的红外吸收波长测出弹性常数。可以利用晶体的红外吸收波长测出弹性常数。rm1m2r1r23.影响弹性模量的因素影响弹性模量
18、的因素架状结构架状结构 石英和石英玻璃的石英和石英玻璃的架状结构是三维空间网络，不同方架状结构是三维空间网络，不同方向上的键结合几乎相同向上的键结合几乎相同-几乎各几乎各向同性。向同性。单链结构单链结构 Si2O6 双链结构双链结构 Si4O11 环状结构（岛状结构）环状结构（岛状结构）Si6O18 方向不同弹性模量不一样方向不同弹性模量不一样（1）晶体结构）晶体结构架状结构架状结构 石英石英 SiO2 C11=C22=0.9,C33=1.0石英玻璃石英玻璃SiO2 C11=C22=C33=0.8单链状硅酸盐单链状硅酸盐霓辉石霓辉石 NaFeSi2O6 C11=1.9 C22=1.8 C33=
19、2.3普通辉石普通辉石(CaMgFe)SiO3 C11=1.8 C22=1.5 C33=2.2透辉石透辉石 CaMgSi2O6 C11=2.0 C22=1.8 C33=2.4双链状硅酸盐双链状硅酸盐 角闪石角闪石普通角闪石普通角闪石(CaNaK)2-3(HgFeAl)5(SiAl)8O22(OH)2 C11=1.2 C22=1.8 C33=2.8环状硅酸盐环状硅酸盐绿柱石绿柱石Be3Al2Si6O8 C11=C22=3.1 C33=0.6电气石电气石(NaCa)(LiMgAl)3(AlFeMn)6(OH)4(BO3)3Si6O18 C11=C22=2.7 C33=1.6层状硅酸盐层状硅酸盐黑云
20、母黑云母K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.9 C33=0.5白云母白云母KAl2(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.6金云母金云母KMg3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.5 1012达因达因/厘米厘米2 大部分固体，受热后渐渐开始变软，弹性常数随温度大部分固体，受热后渐渐开始变软，弹性常数随温度升高而降低。升高而降低。弹性模量与温度的定量关系：弹性模量与温度的定量关系：E=EobTexp(-To/T)或或 (EEo)/T=bexp(-To/T)Eo,b,To是经验常数，对是经验常数，对MgO
21、,Al2O3，ThO2等氧化物，等氧化物，b=2.75.6 ,To=180320温度对弹性刚度系数的影响，通常用弹性刚度系数的温温度对弹性刚度系数的影响，通常用弹性刚度系数的温度系数表示：度系数表示：Tc=(dC/dT)/C对在电子仪器中的所谓延迟线和标准频率器件十分重要，对在电子仪器中的所谓延迟线和标准频率器件十分重要，因为它们寻求零温度系数材料。因为它们寻求零温度系数材料。(2)温度温度温度补偿材料：一种异常的弹性性质材料（温度补偿材料：一种异常的弹性性质材料（Tc是正是正的），补偿一般材料的负的），补偿一般材料的负Tc值值.且压电偶合因子大。且压电偶合因子大。MgO Tc11=2.3 T
22、c44=1.0SrTiO3 Tc11=2.6 Tc44=1.1 SiO2 Tc11=0.5 Tc33=2.1 Tc44=1.6 Tc66=1.6 其中：其中：Tc10-4/oC低温石英有一个方向低温石英有一个方向Tc是正值，低温石英在是正值，低温石英在570oC通过通过四面体旋转，进行位移式相转变，变成充分膨胀的敞旷四面体旋转，进行位移式相转变，变成充分膨胀的敞旷高温型石英结构。高温型石英结构。原因：对高温石英和低温石英施加拉伸应力，前者由于原因：对高温石英和低温石英施加拉伸应力，前者由于SiOSi键是直的，仅发生拉伸，后者除拉伸外，还键是直的，仅发生拉伸，后者除拉伸外，还有键角改变，即发生转
23、动运动。随着温度的增加，其刚有键角改变，即发生转动运动。随着温度的增加，其刚度增加，温度系数为正值。度增加，温度系数为正值。说明：说明：Tc和转动相关。和转动相关。启示：温度补偿材料具有敞旷结构，内部结构单位能启示：温度补偿材料具有敞旷结构，内部结构单位能发生较大转动的物质，这种敞旷式结构具有小的配位发生较大转动的物质，这种敞旷式结构具有小的配位数。数。架状结构：方石英、长石、沸石、白榴子石等具有正架状结构：方石英、长石、沸石、白榴子石等具有正的的Tc.在二相系统中，总模量介于高模量成分和低模量成在二相系统中，总模量介于高模量成分和低模量成分间，类似于二相系统的热膨胀系数，通过假定材分间，类似
24、于二相系统的热膨胀系数，通过假定材料有许多层组成，这些层平行或垂直于作用单轴应料有许多层组成，这些层平行或垂直于作用单轴应力，找出最宽的可能界限。力，找出最宽的可能界限。第一种模型每种组分中的应变相同，即并联，第一种模型每种组分中的应变相同，即并联，Eu=V2E2+(1V2)E1（上限）上限）大部分应力由高模量的相承担。大部分应力由高模量的相承担。第二种模型每个相中的应力相同，即串联，第二种模型每个相中的应力相同，即串联，1/EL=V2/E2+(1V2)/E1 （下限）下限）气孔对弹性模量的影响（气孔的弹性模量为零）气孔对弹性模量的影响（气孔的弹性模量为零）（3）复相的弹性模量）复相的弹性模量
25、对连续基体内的密闭气孔，可用下面经验公式：对连续基体内的密闭气孔，可用下面经验公式：E=Eo(11.9P+0.9P2)适用于适用于P 50 材料材料E(Gpa)材料材料E(Gpa)氧化铝晶体氧化铝晶体380烧结烧结TiC(P=5%)310烧结氧化铝（烧结氧化铝（P=5%）366烧结烧结MgAl2O4(P=5%)238高铝瓷（高铝瓷（P=9095%）366密实密实SiC(P=5%)470烧结氧化铍（烧结氧化铍（P=5%）310烧结稳定化烧结稳定化ZrO2 P=5%150热压热压BN（P=5%）83石英玻璃石英玻璃72热压热压B4C（P=5%）290莫来石瓷莫来石瓷69石墨（石墨（P=20%）9滑石瓷滑石瓷69烧结烧结MgO（P=5%）210镁质耐火砖镁质耐火砖170烧结烧结MoSi2（P=5%）407
