1、应变状态分析1/2/20231o1.位移与应变位移与应变 o2.点的应变状态和应变张量点的应变状态和应变张量 o3.塑性变形体积不变条件塑性变形体积不变条件o4.点的应变状态与应力状态比较点的应变状态与应力状态比较 1/2/202321.位移与应变位移与应变o位移，就是位置的移动。位移，就是位置的移动。o位移分量，就是位移在坐标轴上的投影。位移分量，就是位移在坐标轴上的投影。根据连续性假设，位移分量应根据连续性假设，位移分量应是坐标的连续函数，而且一般是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数，即：都有连续的二阶偏导数，即：或此式表示物体内的位移场。1/2/20233xxzzAAEuxdx
2、uzdzECFCFdxxuuxxdxxuzdzzuxdzzuuzz1/2/20234o设变形体在设变形体在xoz面上的投影为面上的投影为ACEF，A点坐标点坐标为为（x，y，z），变形后为，变形后为A（x+ux，y+uy，z+uz），则，则ux，uy，uz为为A点的位移。点的位移。zyxfux，dzzdyydxxfduuxx，dzzfdyyfdxxfzyxfduuxx，1/2/20235o略去高次项略去高次项o同理同理dzzudyyudxxuduxxxxdzzudyyudxxuduyyyydzzudyyudxxuduzzzz1/2/20236o写成矩阵的形式写成矩阵的形式 dzdydxzuyu
3、xuzuyuxuzuyuxudududuzzzyyyxxxzyx 其中的方阵称为其中的方阵称为相对位移张量相对位移张量，其对角线元素表示相，其对角线元素表示相应坐标轴方向的线应变，其它各元素表示相对角位移。应坐标轴方向的线应变，其它各元素表示相对角位移。1/2/202371/2/202381/2/202391/2/202310相对角位移和切应变相对角位移和切应变a相对角位移；相对角位移；b切应变；切应变；c刚性转动刚性转动xzezxeozxxzozxzxyozx（a）（b）（c）1/2/2023111/2/2023121/2/202313o绝对变形绝对变形 LBHlbhhHhBbbLll压下量
4、：压下量：宽展量：宽展量：延伸量：延伸量：1/2/202314o一般相对变形一般相对变形%100%100%100321HhHeBBbeLLle1/2/202315o真应变真应变 L=l0l1l2ln1011223112001niiinnnllllllllllllllhHxxbBxxlLxxHhhdhBbbdbLlldllnlnln321换成积分形式换成积分形式1/2/202316o变形系数变形系数 LlBbhH 压下系数压下系数 延伸系数延伸系数宽展系数宽展系数1/2/202317真变形与一般相对变形的比较真变形与一般相对变形的比较 o一般相对变形不能表示变形的实际情况，而一般相对变形不能表示
5、变形的实际情况，而且变形程度越大，误差也越大。且变形程度越大，误差也越大。234lnlnln 1234LlLlLL例：例：L=10cm，l=12cm时时1823.01012lnlnLl2.0101012LLleL=10cm，l=15cm时时4054.01015lnlnLl5.0101015LLle误差：误差：23.3%误差：误差：9.7%1/2/2023181/2/202319o真应变具有可加性，一般相对变形没有。真应变具有可加性，一般相对变形没有。011lnll122lnll1lnnnnll01120121lnlnlnlnllllllllnnnn0011llle1122llle11nnnnl
6、lle0021llleeenn1/2/202320o真应变具有可比性，一般相对变形没有真应变具有可比性，一般相对变形没有 L2L0.5L2ln2lnLL%100%1002LLLe2ln5.0lnLL%50%1005.0LLLe1/2/2023213.塑性变形体积不变条件塑性变形体积不变条件1/2/202322o学生自己写1/2/2023231.质点的主应变张量质点的主应变张量 点的应变状态中，存在三个互相垂直的主方向，该方向上的线元没有切应变，只有线应变，称为主应变，分别用1、2、3表示。可以认为小应变的主方向与应力主方向重合。主应变张量表示为：1/2/2023242.应变张量的不变量应变张量
7、的不变量 应变张量的三个不变量用I1、I2、I3表示，其表示式分别为：321230III1/2/2023253.主切应变和最大切应变主切应变和最大切应变 在与主方向成45角的方向上存在主切应变，其大小为：如果123，则最大切应变表示为：1/2/2023264.主应变简图主应变简图三个主应变中绝对值最大的主应变，反映了该工序变形的特征，称为特征应变。如用主应变见图来表示应变状态，根据体积不变条件和应变特征，则塑性变形只能有三种变形类型。（1）压缩类变形，特征应变为负应变，另两个为正。（2）剪切类变形（平面变形），一个应变为0，其他两个大小相等，方向相反。（3）伸长类变形。特征应变为正，另两个应变为负应变。根据体积不变条件可知，特征应变等于其他两个应变之和，但方向相反。1/2/2023275.八面体应变和等效应变八面体应变和等效应变（1）等效应变是一个不变量。（2）在塑性变形时，其数值等于单相均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变1。1/2/202328五、小应变几何方程1/2/2023291/2/2023301/2/2023311/2/2023321/2/2023331/2/2023341/2/2023351/2/2023361/2/2023371/2/2023381/2/2023391/2/2023401/2/2023411/2/202342
