1、第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析7-1 7-1 应力状态概述应力状态概述AF轴向拉伸杆件轴向拉伸杆件FFFpxnFp)2sin(2cos2斜截面应力：斜截面应力：问题问题1 1：同一点处同一点处不同方位截面上不同方位截面上的应力不相同；的应力不相同；横截面应力：横截面应力：梁弯曲的强度条件：梁弯曲的强度条件：.,*maxmaxmaxmaxbISFWMzszzzFFFl)(B问题问题2 2 B B点处应力该如何校核？点处应力该如何校核？BB 有必要研究有必要研究一点的应力状态。一点的应力状态。横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不
2、同点的应力各不相同，此即同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念应力的点的概念。QFMzNF应力的三个重要概念应力的三个重要概念应力的三个重要概念应力的三个重要概念 单元体平衡分析结果表明：即使同一点不同方单元体平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念应力的面的概念。yxy 研究应力状态的研究应力状态的目的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最 大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当 的强度条件。的强度条件。过
3、一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的应力及其变化规律。x y z xy yx yz zy zx xz（1 1）、主平面与主应力：）、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主平面：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。主应力：作用于主平面上的正应力。xxyyxy主应力排列规定：按代数值由大到小主应力排列规定：按代数值由大到小。321 过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力301050单位：单位：MPa3010;30;10;50321;30;0;10321a、单向应力状态
4、、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态都等于零的应力状态。b、二向应力状态、二向应力状态：有两个主应力不等于零有两个主应力不等于零 ，另一个主应力，另一个主应力 等于零的应力状态。等于零的应力状态。c、三向应力状态、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。三向主应力都不等于零的应力状态。（2)2)、应力状态的分类、应力状态的分类平面应力状态平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态：复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。二向应力状态和三向应力状态的总称。空间
5、应力状态空间应力状态：三向应力状态三向应力状态简单应力状态：简单应力状态：单向应力状态。单向应力状态。纯剪切应力状态纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力单元体上只存在剪应力无正应力。yxz x y z xy yx yz zy zx xzxyx y yx xyxyxxy yx xy应力表示应力表示单元体单元体：dzdydxBCDdx、dy、dz（微小的正六面体）（微小的正六面体）单元体某斜截面上的应力就代表了构件内单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。对应点同方位截面上的应力。PABCDB、C单向受力单向受力，0 0A纯剪切纯剪切，0 0D既有既有，又有又有FPl
6、/2l/2S 截面截面5432154321S截面截面4PlFMz 2PF5432154321S 截截面面4PlFMz 2PF1x12 2x2233FPlaS截面截面xzy4321yxzMzFQyMx43211pxWM 1 zzxWM 1 43pxWM 3 p3WMxzzxWM3yzx7-2 7-2 二二向和三向应力状态的实例向和三向应力状态的实例42DpF02 plDl0sin2plDdDplFN2pD DpD4273 二向应力状态分析二向应力状态分析 解析法解析法等价等价xxxyyxyyxyoxyozxyxyxyyx空间问题简化空间问题简化为平面问题为平面问题xyxyxyyxxyon-逆时针
7、转为正。逆时针转为正。设：斜截面面积为设：斜截面面积为A A，由分离体平衡得由分离体平衡得：;0 FndAxyxyxyyxafetnxxyxyyxafe:cos:sinefdAaedAafdA单元体各面面积单元体各面面积cos)cos(dAx(cos)sinxydAsin)sin(dAy(sin)cos0yxdA2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx由切应力互等定理和三角变换，可得：tnxxyxyyxacb:;:cos;:sinefdAaedAafdA0,(cos)sin(cos)cos(sin)cos(sin)sin0txxyyyxFdAdAdAdAdA符号规定：符号规定
8、：1)1)“”正负号同正负号同“”；2)2)“”正负号同正负号同“”；3)3)“”为斜面的外法线与为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。注意：用公式计算时代入相应的正负号。2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(讨论：讨论：yx0901)、090cos2sin222xyxyxy090sin2cos22xyxy 即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。090 即又一次证明了剪应力的互等定理。,00dd2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1
9、()2(讨论：讨论：2)、的极值的极值 主应力以及主平面方位主应力以及主平面方位002sin2cos2202xyxy 0002(sin2cos2)202xyxy 00即yxxytg220 可以确定出两个相互垂直的平面主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。主平面的方位)90;(00002sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(22maxmin()22xyxyxy主应力的大小主应力的大小讨论：讨论：2)、的极值的极值 主应力以及主平面方位主应力以及主平面方位显然,在面上0maxmin3)3)、切应力切应力 的极值及所在截面的极值及所在截面,2cos2sin2xy
10、yxxyyx22tan1最大切应力最大切应力 所在的位置所在的位置22minmax)2(xyyxxy 面内的最大切应力面内的最大切应力01dd令令)90;(011112tan2tan10)45(001由由111cos2sin222xyxyx maxmin面上的正应力:yxxy22tan0主平面的位置主平面的位置)90;(0000 xyyx22tan1最大切应力最大切应力 所在的位置所在的位置)90;(0111将将 与与 画在原单元体上。画在原单元体上。maxminmax,00145xyyxmaxminminmax0maxmin例例：如图所示单元体，求如图所示单元体，求 斜面的应力及主应力、主平
11、面。斜面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解：解：1 1、求斜面的应力、求斜面的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)(3.58)60sin()50()60cos(260402604000MPa)(3.18)60cos()50()60sin(2604000MPa30,50,60,40 xyx5040602 2、求主应力、主平面、求主应力、主平面yxxytg22022minmax)2(2xyyxyx)(7.60)(7.80)50()26040(2604022MPaMPa16040)50(2005.67)(7.60,0),(7.80321MPaMP
12、a主应力主应力：主平面位置主平面位置：31yxxx0 分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。x xy 22cos2yx2sinxcos222xx 2sin2yx2cosx2sin2x0452045x2045xmax 低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。低低 碳碳 钢钢 拉拉 伸伸 试试 验验 分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。xy 22cos2yx2sinx2sin 2sin2yx2cosx2cos045min045max0450045minmax
13、铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。铸铁铸铁 扭扭 转转 试试 验验 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析 图解法图解法xyoxyxyxyyxsin 2cos22xyxycos2sin222xyxyxycos2sin222xyxyxy(1)(2)对(1)(2)式两边平方，将两式相加，并利用22sin 2cos 21消去 和 ，得sin2cos2xyyxyx2222)2()2(xyyxyx2222)2()2(222)(Ryax这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆)0
14、,2(yx圆心：圆心：半径半径：22)2(xyyxRxyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2(2yx应力圆：应力圆：2.应力圆是个信息源(从力学观点分析）（1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体任意斜截面 上的应力。（2）平面应力状态下任意斜截面 上的应力相互制约在圆周上变化。a(x,xy)d(y,yx)c xy 2RxyyxR22)2(y yx xyADx 在-坐标系中，标定与微元A、D面上 应力对应的点a和d。连ad 交 轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面应力圆
15、上某一点的坐标值对应着单元体某一截面 上的正应力和切应力上的正应力和切应力a(x,xy)d(y,yx)c xy 2 y yx xyxH),(aaH 2转向对应转向对应二倍角对应二倍角对应 x xAD odacxyy45x245245beBE（1）对基本变形的应力分析xyBE x x 45oBE 45o 45方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。可见：45o 45o o a(0,)d(0,-)A ADbec245245 1 1 3 3 BE 3 3 1 1 BE主应力单元体主应力单元体BE BE45 45o（2）平面应力状态下求任意截面上的应力点面相对应，首先找基准。转向
16、要相同，夹角两倍整。yyxxn),(E),(xx),(yyE2（3）平面应力状态下主平面、主应力及主方向 y x y x oc2 0adA AD主平面：=0,与应力圆上和横轴交点对应的面1A1B主平面的确定（3）平面应力状态下主平面、主应力及主方向主应力的确定 x x y yA AD oc2oad1A1B1oA10cAc 2yxxyyx22)2(1oB10cBc 2yxxyyx22)2(（3）平面应力状态下主平面、主应力及主方向主应力的排序 oc2q qpad12 o13 o23（3）平面应力状态下主平面、主应力及主方向主方向的确定 xy x y yxA AD oc2 oad o(x,xy)0
17、2tan2xyxy0tan22xyxyxg负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向（4）面内最大切应力对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最大切应力”。maxmax 224212xyyx o oc c2 2 o oa ad d1A1BD例例：求求 1 1）图示单元体）图示单元体=30=300 0 斜截面上的应力斜截面上的应力 2 2）主应力、主平面（单位：）主应力、主平面（单位：MPaMPa）。）。60EFO.;003030EFOF2 2、量出所求的物理量、量出所求的物理量.2.;0;1023211DCAOAOA解：解：1 1、按比例画此单元体对应的应力圆、按比例画此单元体
18、对应的应力圆408060DC),(30301A2A02020 7-5 三向应力状态三向应力状态主单元体：六个平面都是主平面123 若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:1122333321(1)求平行于3的方向面的应力、,其上之应力与3 无关.于是由1、2作出应力圆I123112233(2)求平行于2的方向面的应力、,其上之应力与2 无关.于是由1、3作出应力圆II123112233(3)求平行于1的方向面的应力、,其上之应力与1 无关.于是由2、3作出应力圆III123123 这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。123 至于与
19、三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力n和n可由图中阴影面内某点的坐标来表示。在三向应力状态情况下：max1123 max 作用在与2平行且与1和3的方向成45角的平面上，以1，3表示min3max132o 3 3 1 1 1).1).弹性理论证明，图弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对单元体内任意截面上的应力都对应着图应着图b b的应力圆上或阴影区内的一点。的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b2).2).整个单元体内的最大切应力为整个单元体内的最大切应力为：max结论结论 max31132例7-5-1：求图示应力状态的主应力和最大剪应力。（应力单位为MPa）。
20、MPa2.422.524022030220302231解：MPa502max.132472MPa7-5-2 求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。123MPaMPaMPaMPa 50505025013max解：7-5-3 试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。(a)解:1.图a所示单元体上正应力z=20 MPa的作用面(z截面)上无切应力，因而该正应力为主应力。2.与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力z无关，故可画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。(a)从圆上得出两个主应力46 MPa和-26
21、MPa。这样就得到了包括z=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为 146 MPa，220 MPa，3-26 MPa。(b)(a)3.依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。2a034可知为a017且由x截面逆时针转动，如图c中所示。(c)(b)4.最大切应力max由应力圆上点B的纵座标知为 max36 MPa，作用在由1 作用面绕2 逆时针45 的面上(图c)。(c)(b)二、三向应力状态：二、三向应力状态：3121EEE112233121233+一、单向应力状态：一、单向应力状态：EEE 7-8 广义胡克定律广义胡克定律（广义虎克定律）（广义虎克定律）1123223133
22、121()1()1()EEE )(1zyxxE Gxyxy 三、广义胡克定律的一般形式三、广义胡克定律的一般形式:)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xzxy广义胡克定律的应用广义胡克定律的应用求平面应力状态下任意方向求平面应力状态下任意方向 的正应变：的正应变：901E 9090 xy求出求出 ,就可求得就可求得 方向的正应变方向的正应变 90,例例 槽形刚体内放置一边长为槽形刚体内放置一边长为a=10 cm 正方形钢块，试求钢块正方形钢块，试求钢块的三个主应力。的三个主应力。F=8 kN，E=200 GPa,=0.3。yF?
23、,xyyxx,80 MPaAFyMPayx24)(1zyxxE.0zxyz解：解：1)1)研究对象：研究对象：.?,0zyx2)2)由广义虎克定律：由广义虎克定律：.10yxE.80,24,0321正方形钢块正方形钢块展开上式，并略去高阶微量：展开上式，并略去高阶微量：dx21dy四、体积应变四、体积应变,dxdydzdV,)1)(1)(1(321dxdydzdV3,)1(321dVdV321qdVdVdV),(21321qE体积应变与应力分量间的关系体积应变与应力分量间的关系:mEq)21(3)(1)(1)(1213313223211EEEm3321-平均应力。平均应力。体积应变体积应变单位
24、体积的体积改变单位体积的体积改变1233(1 2)3(1 2)()mEEq3,)21(3321mEK体积虎克定律体积虎克定律:2a2311aKmq即体积应变与三个主应力之和有关,与主应力的大小比例无关.讨论:纯剪切平面应力状态的体积应变 4545123,0,021321)(qE剪应力的存在不影响体积应变.因此对于一般空间的应力状态单元体12()xyzEq x y z xy yx yz zy zx xzy yx xz z 7-9 复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度l1lFllFFOlLFU21EALFNLUvVALLF2121WU(1)单向应力状态下的比能比能变形能外力所做的功
25、应变能密度:单位体积内储存的变形能 1 1 3 3222123122331122vE (2)三向应力状态下的比能式中主应变用主应力表示,则1 1223312v 332211212121v 2 3 1 图图 a m m m图图 b 2 3 1-m-m-m图图 c312321232221221E,cbavvv,11mm3321m,22mm.33mm图图 b b 体积改变，体积改变，形状不变；形状不变；图图 c c 形状改变，体积不变。形状改变，体积不变。单元体的比能：单元体的比能：称为体积改变比能称为体积改变比能,)21(3bmaEqq 图图 c 图图 b图图 am1m2m3mmm223)(21321mmmcEq,0)3(21321mE图图 C 单元体的体积应变：单元体的体积应变：单元体的比能单元体的比能 体积改变比能体积改变比能(b)(b)形状态改变比能形状态改变比能(c)(c)dvvvv 称为形状改变比能称为形状改变比能vvdv所以图所以图 C C 单元体体积不变单元体体积不变图图 a 单元体的体积应变：单元体的体积应变：称为称为形状改变比能形状改变比能 或或 畸变能密度畸变能密度mmE212321323222161Evd22)21(3mE.)(6212321Evvb b图的体积应变比能：)21(3mmvvvdvvv 图图 c 图图 b图图 am1m2m3mmm223
