1、第第5章章 静定杆件的内力静定杆件的内力【内容提要内容提要】本章简要介绍变形固体的基本假设和杆件的变形形式，重点介绍杆件在拉压、扭转以及弯曲时的内力计算和内力图的绘制。1.理解内力的概念，熟练掌握用截面法求静定杆件的内力。2.了解拉压杆的受力特点和变形特点，了解其计算简图，熟 练掌握其轴力计算和轴力图绘制。【学习目标学习目标】四川建筑职业技术学院3.了解受扭杆的受力特点和变形特点，了解其计算简图，熟练掌握其扭矩计算和扭矩图绘制。4.了解单跨梁在平面弯曲时的受力特点和变形特点，了解 其计算简图，熟练掌握其剪力和弯矩计算，剪力图和弯 矩图绘制。5.理解变形固体的基本假设。6.了解杆件的变形形式。四
2、川建筑职业技术学院51 变形固体的基本假设变形固体的基本假设一、变形固体的概念一、变形固体的概念自然界中的任何固体在外力作用下，都会发生变形。当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，把构件看作变形固变形固体。体。四川建筑职业技术学院二、变形固体的基本假设二、变形固体的基本假设 1.连续性假设 含义：认为在固体材料的整个体积内毫无空隙地充满了物 质。实际情况：固体材料是由无数的微粒或晶粒组成的，各微粒或 晶粒之间是有空隙的。理论分析：与构件性质相关的物理量可以用连续函数来表示。说明：固体材料空隙与构件的尺寸比起来极为微小，可以忽略不计。四川建筑职业技术学院2.均匀性假设 含义：构件内各点处的力学性
3、能是完全相同的。实际情况：组成构件材料的各个微粒，彼此的性质不尽相同。理论分析：从构件内任何位置取出一小部分来研究材料的性质，其结果均可代表整个构件。说明：构件的尺寸远远大于微粒尺寸，而且微粒数目极多，因此，固体材料的力学性能并不反映其微粒的性能，而是反映所有微粒力学性能的统计平均量。因而，可以认为固体的力学性能是均匀的。四川建筑职业技术学院3各向同性假设 含义：认为构件内的一点在各个方向上的力学性能是相同的。实际情况：组成构件材料的各个晶粒是各向异性的。理论分析：材料在任何一个方向的力学性能均可用于其他方向。说明：构件内所含微粒的数目极多，在构件内的排列又是极不规则的，在宏观的研究中固体的性
4、质并不显示方向的差别，因此可以认为某些材料是各向同性的。但是此假设并不适用于所有材料，例如木材、竹材和纤维增强材料等，其力学性能是各向异性的。四川建筑职业技术学院4线弹性假设变形固体在外力作用下发生的变形可分为弹性变形和塑性变形两类。在外力撤去后能消失的变形称为弹性变形弹性变形；不能消失的变形，称为塑性变形塑性变形。当所受外力不超过一定限度时，绝大多数工程材料在外力撤去后，其变形可完全消失，具有这种变形性质的变形固体称为完全弹性体完全弹性体。本课程只研究完全弹性体，并且外力与变形之间符合线性关系，即线弹性体线弹性体。四川建筑职业技术学院5小变形假设 含义：认为变形量是很微小的。理论分析：在研究
5、构件的平衡和运动规律时仍可以直接利用构件的原始尺寸来计算。在研究和计算变形时，变形的高次幂项也可忽略，从而使计算得到简化。说明：工程中大多数构件的变形都很小，远小于构件的几何尺寸。以上是有关变形固体的几个基本假设。实践表明，在这些以上是有关变形固体的几个基本假设。实践表明，在这些假设的基础上建立起来的理论都是符合工程实际要求的。假设的基础上建立起来的理论都是符合工程实际要求的。四川建筑职业技术学院52 杆件的变形形式杆件的变形形式基本变形基本变形 轴向拉伸和压缩剪切扭转 弯曲52 1基本变形基本变形四川建筑职业技术学院轴向拉伸和压缩：受力特点:直杆的两端各受到一个外力F的作用，且二者的 大小相
6、等、方向相反，作用线与杆件的轴线重合。变形特点:沿轴线方向的伸长或缩短。(a)轴向拉伸(b)轴向压缩四川建筑职业技术学院剪切：受力特点:直杆受到一对大小相等、方向相反、作用线平行 且相距很近的外力沿垂直于杆轴线方向作用。变形特点:杆件的横截面沿外力的方向发生相对错动。四川建筑职业技术学院扭转：受力特点:直杆的两端各受到一个外力偶Me的作用，且二者 的大小相等、转向相反，作用面与杆件的轴线垂直。变形特点:杆件的横截面绕轴线发生相对转动。四川建筑职业技术学院弯曲：受力特点:直杆在两端各受到一个外力偶Me的作用，且二者的 大小相等、转向相反，作用面都与包含杆轴的某一纵 向平面重合，或者是受到在纵向平
7、面内作用的垂直于 杆轴线的横向外力作用。变形特点:杆件的轴线变弯。(a)纯弯曲(b)横力弯曲四川建筑职业技术学院52 2组合变形组合变形组合变形：是由两种或两种以上基本变形组成的。常见的组合变形形式有：斜弯曲、拉（压）与弯曲的组合、偏心压缩（拉伸）等，分别如图ac所示。四川建筑职业技术学院53 拉压杆拉压杆53 1工程实例和计算简图工程实例和计算简图 工程中有很多杆件是受轴向拉压的:桁架中的杆件 四川建筑职业技术学院斜拉桥中的拉索 四川建筑职业技术学院砖柱 四川建筑职业技术学院53 2轴力和轴力图轴力和轴力图1.内力的概念因外力作用而引起的物体内部各质点间相互作用的内力的改变量，即由外力引起的
8、“附加内力”。2.求内力的基本方法截面法(1)截面法的基本思想:用假想的截面将杆件截开,截取的两个部分均平衡，取任一部分为脱离体,用静力平衡条件求出截面上内力。四川建筑职业技术学院(2)截面法的步骤:截开、取出、代替、平衡例如取左段，列平衡方程：N0N FF0 xF得：FFNFN即为轴力，它是横截面m-m上连续分布的内力的合力。四川建筑职业技术学院3.轴力和轴力图(1)轴力其作用线与杆的轴线重合。(2)轴力用 FN 表示。(3)轴力的符号规定：拉力为正压力为负NFNFFNFFNFNFFNFF四川建筑职业技术学院(4)轴力图以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，垂 直于杆轴线的坐标（按适当的比例
9、）表示相应截面上的 轴力数值，从而绘出轴力与横截面位置关系的图线。(5)通常将正的轴力画在上方，负的画在下方。例例51 拉压杆如图所示，求横截面11、22、33上的轴力，并绘制轴力图。四川建筑职业技术学院 0 xF0632DF1DFKN 求横截面11上的轴力。0 xF02N1F21NFKN(拉力)四川建筑职业技术学院求横截面22上的轴力。0 xF0322NF52NFKN(拉力)四川建筑职业技术学院求横截面33上的轴力。0 xF03N FFD13NFKN(压力)四川建筑职业技术学院FNmax=5kN 四川建筑职业技术学院55 单跨梁单跨梁55 1 工程实例和计算简图工程实例和计算简图 1.弯曲的
10、工程实例以弯曲为主要变形的杆件称为梁梁。楼板梁 公路桥梁 四川建筑职业技术学院2.平面弯曲的概念 受力特点：梁的外力都作用在梁的纵向对称面内。变形特点：梁的轴线在此对称面内弯成一条曲线。四川建筑职业技术学院3.梁的计算简图 静定梁 悬臂梁 简支梁 外伸梁 梁在两个支座之间的部分称为跨，其长度则称为跨长跨长或跨度跨度。四川建筑职业技术学院55 2剪力和弯矩剪力和弯矩 求内力截面法0yF0SA FFASFF 0OM0AxFMxFMA剪力剪力 FS弯矩弯矩 M 矩心O是横截面mm的形心 四川建筑职业技术学院符号规定：剪力：对微段内任一点的矩为顺时针方向转动时为正，反之 为负。弯矩：使微段产生上部受压
11、、下部受拉时为正，反之为负。四川建筑职业技术学院例例53 简支梁如图所示。求横截面11、22、33上的剪 力和弯矩。解解（1）求支座反力。FA=FB=10kN 四川建筑职业技术学院（2）求横截面11上的剪力和弯矩。，故 取它为研究对象。并设横截面上的剪力FS1和弯矩M1均 为正。0yFFA FS1=0 FS1=FA=10 kN得0OMM1FA1=0 得M1=FA1=10 kNm M1为)四川建筑职业技术学院（3）求横截面22上的剪力和弯矩。取左段梁为研究对象。0yFFA F1 FS2=0 得FS2=FA F1=0 0OM M2 FA4+F12=0 得 M2=FA4 F12=20 kNm（）（4
12、）求横截面33上的剪力和弯矩。取右段梁为研究对象。0yFFB+FS3=0 得 FS3=FB=10 kN（）0OMFB1 M3=0 得M3=FB1=10 kNm（）四川建筑职业技术学院从上面例题的计算过程，可以总结出内力计算的如下规律：（1）梁任一横截面上的剪力，其数值等于该截面任一边（左边或右边）梁上所有横向外力的代数和。横向外力与该截面上正号剪力的方向相反时为正，相同时为负。（2）梁任一横截面上的弯矩，其数值等于该截面任一边（左边或右边）梁上所有外力对该截面形心之矩的代数和。力矩与该截面上规定的正号弯矩的转向相反时为正，相同时为负。四川建筑职业技术学院55 3剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 1
13、.用内力方程法绘制剪力图和弯矩图（1）剪力方程和弯矩方程若沿梁的轴线建立x轴，以坐标x表示梁的横截面的位置，则梁横截面上的剪力和弯矩均可表示为坐标x的函数，即)()，(SSxMMxFF以上两式分别称为梁的和。四川建筑职业技术学院（2）内力方程法 用与梁轴线平行的x轴表示横截面的位置，以横截面上的剪力值或弯矩值为纵坐标，按适当的比例绘出剪力方程或弯矩方程的图线，这种图线称为或。此法称为，这是绘制内力图的基本方法。四川建筑职业技术学院例例54 绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图。解解（1）求支座反力。FA=FB=2ql（2）列剪力方程和弯矩方程 qxqlqxFxFA2)(S22222)(xqxqlx
14、qxFxMA（0 xl)（0 xl）在支座A、B两截面处有突变，剪力方程的适用范围用的符号表示。在支座A、B两截面处没有突变，弯矩方程的适用范围用的符号表示。四川建筑职业技术学院（3）绘剪力图和弯矩图。剪力图是一条直线。x=0，FSA=2qlx=l，FSB=2ql最大剪力发生在靠近两支座的横截面上2maxSqlF 四川建筑职业技术学院弯矩图是一条抛物线。2l82ql x=0，MA=0,MC=x=l，MB=0 x=最大弯矩发生在梁跨中点横截面上82qlMmax=四川建筑职业技术学院例例55 绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图。解解（1）求支座反力。lFblFa FA=，FB=（2）列剪力方程和弯矩
15、方程 取图中的A点为坐标原点，建立x坐标轴。因为AC、CB段的内力方程不同，所以必须分别列出。两段的内力方程分别为四川建筑职业技术学院AC段：lFbFxFA)(S（0 xa)xlFbxFxMA)(（0 xa）CB段：lFaFFxFA)(S（axl)()()(xllFaxlFxMB（axl）四川建筑职业技术学院（3）绘剪力图和弯矩图。由剪力方程知，两段梁的剪力图均为水平线。在向下的集中力F作用的C处，剪力图出现向下的突变，突变值等于集中力的大小。四川建筑职业技术学院由弯矩方程知，两段梁的弯矩图均为斜直线，但两直线的斜率不同，在C处形成向下凸的尖角。四川建筑职业技术学院lFaFmaxSlFab2l
16、4Fl由图可见，如果ab，则最大剪力发生在CB段梁的任一横截面上，其值为最大弯矩发生在集中力F作用的横截面上，其值为Mmax=,剪力图在此处改变了正、负号。如果a=b=，则Mmax=四川建筑职业技术学院例例56 绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图。解解（1）求支座反力。lMFFBAe（2）列剪力方程和弯矩方程。AC段：lMFxFAeS)(（0 xa)xlMxFxMAe)(（0 xa）CB段：lMFxFBeS)(（axl)()()(exllMxlFxMB（axl)四川建筑职业技术学院（3）绘剪力图和弯矩图 剪力图是一条直线。弯矩图是两条互相平行的斜直线，C处截面上的弯矩出现突变，突变值等于集中力偶
17、矩的大小。四川建筑职业技术学院2.用微分关系法绘制剪力图和弯矩图（1）弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系 FS(x)FS(x)+d FS(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)0yF0)()()(SSSdFxFdxxqxF)()(SxqdxxdF四川建筑职业技术学院FS(x)FS(x)+d FS(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)0oM0)()(2)()()(SxdMxMdxdxxqdxxFxM略去二阶微量，得：2)(2dxxq)()(SxFdxxdM)()(SxqdxxdF)()(SxFdxxdM)()(22xqdxxMd四川建筑职业技术学院剪力、弯矩与外
18、力间的关系载荷载荷图SF图M0)(xq0Cq0CqFoM水平直线水平直线+-oror上斜上斜直线直线上凸上凸抛物线抛物线下凸下凸抛物线抛物线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无突变无突变)F处有尖角处有尖角oM斜直线斜直线四川建筑职业技术学院（2）微分关系法 分段分段。根据梁上所受外力情况将梁分为若干段。通常选取梁上的外力不连续点（如集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载作用的起点和终点等）作为各段的起 点和终点。定形定形。根据各段梁上所受外力情况，判断各梁段的剪力图和弯矩图的形状。定点定点。根据各梁段内力图的形状，计算特殊截面上的剪力值和弯矩值（如该段内力图是斜直线，只需确定两个点；如是抛物线
19、，一般需确定三个点）。绘图绘图。逐段绘制剪力图和弯矩图。四川建筑职业技术学院例例57 绘制图所示外伸梁的剪力图和弯矩图。（1）求支座反力。FA=FB=3qa(2)由微分关系判断各段的 形状。MF,S载荷载荷图SF图M0CqCAABBD0Cq0Cq四川建筑职业技术学院（3）绘剪力图。CA段：FSC=0 FALSqa RSAF=qaFA=2qa AB段：qaqaqaFB23LSBD段：qaFBRSFSD=0 02RSSEqxqaqxFFA注：注：x=2a（4）绘弯矩图。MC=0 CA段：MA=2212qaaqaAB段：ME=FA2a 232332qaaqaMB=2212qaaqaBD段：MD=0
20、四川建筑职业技术学院四川建筑职业技术学院例例58 绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图。四川建筑职业技术学院3.用区段叠加法绘制弯矩图（1）叠加原理 由几个外力所引起的某一参数值，等于每个外力单独作用时所引起的该参数值之总和。注意注意：叠加原理只有在参数与外力成线性关系时才成立。按照叠加原理，当梁上同时作用几个荷载时，可以先分别求出每个荷载单独作用下梁的弯矩，然后进行叠加(求代数和)，即得这些荷载共同作用下的弯矩。四川建筑职业技术学院荷载 跨间均布荷载q 端部集中力偶荷载MA和MB 当端部力偶MA和MB单独作用时，梁的弯矩图（Mm图）为一直线，如图b所示。当跨间均布荷载q单独作用时，梁的弯矩图（M
21、q图）为二次抛物线，如图c所示。当端部集中力偶MA和MB和跨间均布荷载q共同作用时，利用叠加原理将图b的Mm图和图c的Mq图叠加，得到梁的弯矩图如图d所示。四川建筑职业技术学院（2）区段叠加法 即将梁分为若干段，在每个区段上利用叠加原理绘制弯矩图。步骤：1）选取梁上的外力不连续点（如集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载作用的起点和终点等）作为控制截面，求出控制截面上的弯矩值，从而确定弯矩图的控制点。2）如控制截面间无均布荷载作用时，用直线连接两控制点就绘出了该段的弯矩图。如控制截面间有均布荷载作用时，先用虚直线连接两控制点，然后以此虚直线为基线，叠加上该段在均布荷载单独作用下的相应简支梁的弯
22、矩图，从而绘出该段的弯矩图。四川建筑职业技术学院例例59 绘制图所示外伸梁弯矩图。MC=0 MA=F11m=30 kNm LDMF12mFAy1m=15 kNm RDMF12mFAy1m10 kNm=5 kNm ME=F13mFAy2m10 kNm=10 kNm MF=FBy2mF21m=30 kNm MB=0 AC为无荷载作用段，用直线把相邻两控制点相连即可。在AE段D截面处有集中力偶作用，弯矩图在D处出现突变，突变值等于集中力偶矩的大小。EF、FB段上分别作用有均布荷载、集中荷载，先用虚直线分别连接两相邻控制点，EF段在虚直线的基础上叠加上相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图，FB段在虚直线
23、的基础上叠加上相应简支梁在跨中受集中荷载作用下的弯矩图。绘出全梁的弯矩图如图所示。四川建筑职业技术学院四川建筑职业技术学院55 4斜梁的内力图斜梁的内力图 斜梁：斜梁：杆轴线倾斜的梁。例例510 绘制图所示楼梯斜梁的内力图。已知q1、q2、l、h。解解（1）换算荷载。sqxqdd20得cosdd220qxsqq沿水平方向总的均布荷载为01qqq四川建筑职业技术学院（2）求支座反力。FAx=0 qlFFByAy21（3）计算任一截面K上的内力。取如图c所示的AK段为隔离体。sin)21(sinsincos)21(coscos212121NS22qxqlqxFxFqxqlqxFxFqxqlxqxxFxMAyAyAy（4）绘制内力图。四川建筑职业技术学院
