1、calculus第五章第五章 多元函数的微分学多元函数的微分学5.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念5.2 多元函数的偏导数多元函数的偏导数5.3 多元函数的全微分多元函数的全微分5.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则多元复合函数及隐藏函数求导法则5.5 多元函数的极限多元函数的极限5.6 多元函数微分法在经济上的应用多元函数微分法在经济上的应用calculus5.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、平面点集一、平面点集例例1:例例2:yxo2yx定义定义PyxyxE满足条件),(),(yxyxRXOY,),(2平面上所有点的集合xyyxE21),(calculusx-rrr 例
2、例3:y-roryxyxE222),(calculus二、邻域二、邻域220000000(,)()(),0(,)(,)x yxxyyPxyUpp2点集称为点的邻域。记为。称为邻域的中心，为邻域的半径0P 0P 2200000(,)|0()()0(,)x yxxyyPxy点集，称为点的空心邻域calculusEEAAEAE设 有 点 集和 属 于的 一 点，如 果 存 在 点 的 一 个邻 域，此 邻 域 内 的 点 都 属 于，则 称为 点 集的内 点内点内点:EEBBEBE设有点集和不属于的一点，如果存在点 的一个邻域，此邻域内的点都不属于，则称为点集的外点外点外点:ECCEECEECEEE
3、设有点集和一点，可以属于也可以不属于如果点的任何一个邻域内既有属于的点又有不属于的点，则称为点集的界点。点集的界点的全体称为点集的边界界点界点:calculusE 边界点边界点 外点外点内点内点 ABCcalculusE.1P2PEE如 果 点 集的 每 一 点 都 是 内 点，则 称 点 集为 开 集开集开集:12,EPPEE若 对 于 开 集中 的 任 意 两 点都 有中 的 折 线 连 接 起 来，则 称为 开 区 域开区域开区域:calculus注意：开集不一定是开区域注意：开集不一定是开区域3(,)0 Exyy x例如：1P2P3E 是开集，但不是开w区域。（hy?）yxooooca
4、lculus45226(,)0(,)01,02(,)14ExyxyExyxyExyxy例 如：是 开 区 域是 区 域是 闭 区 域开 区 域 连 同 它 的 边 界 的 集 合 称 为 闭 区 域闭区域闭区域:开 区 域，闭 区 域 或 开 区 域 连 同 它 的 部 分边 界 的 集 合 称 为 区 域区域区域:calculus若区域E可以包含在以原点为中心的一个圆内，则称它是一个有界区域,否则，就称为无界区域。45226(,)0(,)01,02(,)14Ex yxyEx yxyEx yxy例 如：是 无 界 区 域，是 有 界 区 域,是 有 界 区 域.有界区域与无界区域有界区域与无界
5、区域calculus二、空间解析几何简介二、空间解析几何简介1.空间直角坐标系空间直角坐标系O-XYZ(右手法则右手法则)Pooxyz坐标轴坐标轴:oxoyoz坐标原点坐标原点:坐标平面坐标平面:xoyyozzox卦限卦限:八个卦限八个卦限0Pzyx空间内的点空间内的点P)z,y,x(),x(00),y,(00)z,(00),(000),y,x(0)z,y,(0)z,x(0calculus2(,)P x y z、空间任一点的坐标问题：空间任一点的坐标如何确定呢？123PP、空间任意两点的距离11112222121222221212222212121(),()()()()PxyzPxyzP PP
6、 PP PP AA BB Pxxyyzz设 有 空 间 两 点,过 点各 作 三 个 平 面 分 别 垂 直 于 三 个 坐 标 轴，三 个 平面 围 成 一 个 长 方 体。是 它 的 一 条 对 角 线。如 图:22212212121()()()P PxxyyzzcalculusO2xxxz1xABC1P2P1y2ycalculus4、空间曲面与曲面方程、空间曲面与曲面方程(1)0,0A xB yC zDA B CDA B C平 面 方 程 的 一 般 形 式其 中均 为 常 数不 全 为1(,0,0),(0,0),(0,0,)xyzabcabcxyz（2）平 面 方 程 的 截 距 式且
7、为 此 平 面 分 别 与轴轴，轴 的 交 点calculus(3)特殊平面的方程特殊平面的方程0 xoyz 平面：；xoyzc平行于平面的平面0yozx 平面：；0 xozy 平面：；yozxa平行于平面的平面xozyb平行于平面的平面calculus(4)球面方程球面方程0000(),P xyzR求球心为点,半径为 的球面方程oxyz(),P x y z解：设,为球面上任意一点 则0P PR222000()()()xxyyzzR即2222000()()()xxyyzzR球面方程为calculus000222200,0 xyzxyzR当球心为原点，即,球面方程为222zRxy且为 上 半 球
8、 面222zRxy 且为下半球面问题：如何认识空间任一张曲面的图形呢？（有兴趣的同学可阅读相关资料）calculus(5)柱面方程柱面方程MCLLCMLLC如图：设有动直线 沿一给定的曲线移动，移动时始终与给定的直线平行，这样由直线 的轨迹所行成的曲面称为柱面。动直线 称为柱面的母线，定曲线称为柱面的准线。(,)0zF x y 母线平行于 轴的柱面方程为：calculus222xyR圆 柱 面：22221yxba双 曲 柱 面：calculus(,)0(,)0 xoyF x yoxyzF x y注意：在平面上表示一条曲线,在空间坐标系中表示一个母线平行于z轴的柱面。(,)0(,)0Fy zF
9、x z同 理：母 线 平 行 于 x轴 的 柱 面 方 程：母 线 平 行 于 y轴 的 柱 面 方 程：220(0)xpyp抛物柱面：calculus2222xyaz圆锥面方程calculus2222221xyzabcoxyz椭球面方程calculus2222xyzab椭圆抛物面方程calculus2222yxzba-505-10010-4-2024-505-10010双曲抛物面方程calculus三、多元函数的极限与连续三、多元函数的极限与连续1、多元函数的定义、多元函数的定义,()x yzfx yD f其中称为自变量，也称因变量，称为对应法则，的取值区域称为函数的定义域，记为三要素：定义
10、域，对应法则，值域同理可定义三元函数及n元函数,(,)(,)x yx yzxyzf x y当变量任意取定一对有序数组时，第三个变量z依某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，则称变量 为变量 与 的二元函数。记为定义定义1calculus(,)(,)(,)zf x yf x yx y如果不考虑实际应用，二元函数的定义域是指使函数有意义的点组成的平面区域定义域的求法2201yxxxy22ln()1xzyxxy求函数的定义域例例1:220010yxxxy由解解:22()(,)10Dfx yxyyxx定 义 域 为：且且calculusyyyyyxooooo ooyx221xy000oO o0ooca
11、lculus对应关系的求法32(,)23f u vuuvv12,uvxy令则321 21122(,)()2()()3()fx yxxyy321412xxyy3212(,)23,(,)fx yxxyyfxy设求例例2:32(,)23f x yxxyy解解:calculus二元函数的几何意义()yf xxoy一元函数表示上的一条曲线(,)()zfx yoxyzDfxoy二 元 函 数对 应 空 间 坐 标 系中 的一 张 曲 面，其 定 义 域恰 好 是 该 曲 面 在平 面 上 的 投 影22zRxyR例如：表示以原点为球心，为半径的上半球面calculus22zxy例如:表示旋转抛物面calc
12、ulus2.二元函数的极限00000000,02(,)(,)(,)(,)(,),(,)(,)(zf x yP xyPP x yPPPf x yAAzf x yxxyyf x yAf x yAxx yy00 xxyy定义：设函数在点的某一邻域内有定义，(在点 是否有定义不予考虑)，是该邻域内异于的任一点，如果 以任何方式趋近于时，函数的对应值都趋近于同一个确定的常数，则称 是函数当时的极限（又称二重极限），记作lim或)calculus例例1.22000 xyxyxyf xyxy，不同时为（，）222222000 0000 00 011PxxyPxyPxx mxmxmxmxmxm当点 沿 轴（此
13、时，）趋近于原点（，）时，f（x，y）0，故有f（x，y）=f（x，0）0 （x0，y=0）当点 沿y轴（此时，）趋近于原点（，）时，f（x，y）0，故也有f（x，y）=f（0，y）0 （x=0，y0）然而当点 沿直线y=m 趋近于原点（，）时，有f（x，y）=（x（）（）0limxoyf xy0，y=mx0）此时f（x，y）趋近于一个与m有关的常数，它随m不同而不同，故（，）不存在。calculus二元函数的连续性二元函数的连续性)y,x(f)y,x(flim)y,x()y,x(0000 若若则称函数则称函数),(yxf在点在点),(00yx处处连续连续若函数若函数),(yxfz 在区域内每
14、一点都连续，在区域内每一点都连续，则称函数则称函数),(yxf在内在内连续，连续，或称或称),(yxf是内的连续函数是内的连续函数若函数若函数),(yxf在点在点),(00yx处不连续，处不连续，则称点则称点),(00yx为为),(yxf的的间断点间断点例如，例如，,11sin22yxz间断点为：间断点为：1|),(22 yxyx定义定义3calculus在有界闭区域上二元连续函数具有性质：在有界闭区域上二元连续函数具有性质：性质性质（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值性质性质（介值
15、定理）（介值定理）在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最小值之间的任何数值小值之间的任何数值二元初等函数二元初等函数在其定义区域内连续在其定义区域内连续结论结论二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数calculus.232121xyyxlim).(),()y,x(211例例4xyxylim).(),()y,x(42200 )xy(xyxylim),()y,x(4200 42100 xylim)
16、,()y,x(.41 calculus5.2 多元函数的偏导数多元函数的偏导数设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx某邻域内有定义，某邻域内有定义，当固定当固定,0yy 而而x在在0 x处有增量处有增量x时，函数的增量时，函数的增量x)y,x(f)y,xx(flimx 00000 存在，存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数),(yxf在点在点),(00yx处对处对x的偏导数的偏导数.记作记作:,xzyyxx00 ,xfyyxx00 ,zyyxxx00 或或).y,x(fx00 若极限若极限xzlimxx 00000(,)(,)xzf xx yf xy定义定义1calculus
17、即即)y,x(fx00 x)y,x(f)y,xx(flimx 00000 )y,x(fx00 0000),(),(lim0 xxyxfyxfxxcalculus),(yxf在点在点),(00yx处对处对的偏导数定义为的偏导数定义为:类似类似,函数函数y)y,x(fy00 y)y,x(f)yy,x(flimy 00000 也记作也记作,00yyxxyz,yfyyxx00 ,zyyxxy00 ).y,x(fy00)y,x(fy00 00000yy)y,x(f)y,x(flimyy )y,x(fy00)y,x(f0是一元函数是一元函数在点在点0y处的导数处的导数,)y,x(fx00),(0yxf是一
18、元函数是一元函数在点在点0 x处的导数处的导数,结论结论calculus)y,x(fx x)y,x(f)y,xx(flimx 0)y,x(fy y)y,x(f)yy,x(flimy 0视视 y 为常量，为常量，对对 x 求导求导.视视 x 为常为常量，量，对对 y 求导求导.若函数若函数),(yxf在区域在区域D内每一点内每一点),(yx处对处对x的偏导数都存在的偏导数都存在,偏导数就是偏导数就是yx,的函数的函数,称为函数称为函数),(yxf对对x的偏导的偏导(函函)数数.记作记作,xz,xf,zx)y,x(fx 类似定义函数类似定义函数),(yxf对对的偏导数的偏导数.y记作记作:,yz,
19、yf,zy)y,x(fy calculus说明说明对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时,只需视其它变量为常量只需视其它变量为常量,求导即可求导即可.根据一元函数的求导根据一元函数的求导公式和求导法则公式和求导法则,同理可定义多元函数的偏导数同理可定义多元函数的偏导数calculus0 xxyzSo0y二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:)y,x(fx00),(0yxf是一元函数是一元函数在点在点0 x处的导数处的导数,由一元函数导数的几何意义知由一元函数导数的几何意义知)y,x(fx00 在几何上表示空间曲线在几何上表示空间曲线 0yy)y
20、,x(fz在点在点),(0000zyxM处的切线对处的切线对x轴的斜率轴的斜率.类似类似,)y,x(fy00 在几何上表示空间曲线在几何上表示空间曲线 0 xx)y,x(fz在点在点),(0000zyxM处的切线对处的切线对轴的斜率轴的斜率.ycalculus二、偏导数的计算例例1.求求yxz2sin2的偏导数的偏导数.解解xz ,ysinx22 yz ycosx222 例例2.求求223yxyxz处的偏导数处的偏导数.在点在点)2,1(解解xz ,yx32 yz .yx23 21 yxyz.7 21 yxxz,8 calculus例例3.求求)x,x(xzy10 的偏导数的偏导数.解解xz
21、,yxy 1 yz .xlnxy 例例4.求求222zyxr 的偏导数的偏导数.解解xr 22222zyxx ,rx yr ,ry zr .rz22222zyxy 22222zyxzcalculus例例5.已知已知yxyxyxfarcsin)1(),(求求:)1,2(xf 解解:xxfyxfy)1,(),(1得代入把1)1,2()1,(21)1,(xfxfxxfxx得代入把所以有calculus例例6.求函数求函数 ),()y,x(,),()y,x(,yxxy)y,x(f0000022在原点处的偏导数在原点处的偏导数.解解),(fx00 00000 x),(f),x(flimxxxxlimx0
22、0020 ,0),(fy00 00000 y),(f)y,(flimyyyylimy00020 ,0二元函数在某一点处偏导数存在二元函数在某一点处偏导数存在,但未必连续但未必连续.不存在不存在2200yxxylim),()y,x(点不连续。点不连续。在在),()y,x(f00)y,x(flim),()y,x(00calculus二、高阶偏导数二、高阶偏导数设函数设函数),(yxfz在区域在区域D 内有偏导数内有偏导数),y,x(fxzx ).y,x(fyzy 若这两个函数的偏导数存在，若这两个函数的偏导数存在，称其为函数称其为函数),(yxfz的的二阶偏导数二阶偏导数 xzx22xz ),y,
23、x(fxx yzy22yz ),y,x(fyy 22xf xxz calculus xzyyxz 2),y,x(fxy yzxxyz 2),y,x(fyx 混合偏导数混合偏导数类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数高阶偏导数.calculus,yyyx 32233xz yz xzx22xz xzyyxz 2 yzy22yz 解解,xy26,xxyyx 2392例例1.设设求它的二阶偏导数求它的二阶偏导数.,xyxyyxz13323 ,yyx19622 ,xyx1823 yzxxyz 2,yyx1
24、9622 33xz 22xzx,y26 33yz 22yzy,x18 再求再求yxz 23 22xzy,xy12 calculus22xz 例例2.验证函数验证函数22yxlnz 满足方程满足方程.yz022 证证),yxln(z2221 xz yz 22xz 22yz ,yxx22 ,yxy22 222222)yx(xx)yx(,)yx(xy22222 222222)yx(yy)yx(.)yx(yx22222 22xz 22yz 22222)yx(xy 22222)yx(yx .0 calculus证证xu 21 32222)zyx(x ,rx3 22xu 31r 22243zyxxrx 3
25、1r 523rx由自变量的对称性知由自变量的对称性知22yu 31r 523rz31r 523ry22zu 22xu 22yu 22zu 33r 52223r)zyx(.0 例例3.证明函数证明函数ru1 满足方程满足方程22xu 22yu .zu022 )zyxr(222 (拉普拉斯方程拉普拉斯方程)calculus000000(,)(,)(,),(,)(,)(,)xyyxxyyxzfx yfx yfx yxyDfxyfxy设 函 数在 区 域 D内 连 续，并 且 存 在一 阶 偏 导 数 及 二 阶 混 合 偏 导 数和如 果 在 某 点这 两 个 二 阶混 合 偏 导 数 连 续，则
26、必 有定理定理1calculus.tan222xzyzxzyxz求设解解答答calculus5.3 多元函数的全微分多元函数的全微分一、一、全微分的定义与计算全微分的定义与计算设函数设函数),(yxfz 在点在点),(yx某邻域内有定义，某邻域内有定义，分别给分别给yx,一增量一增量,yx 函数相应的全增量函数相应的全增量),(),(yxfyyxxfz若全增量可表示为若全增量可表示为:),(oyBxAz其中其中BA,仅与仅与yx,有关，与有关，与yx ,无关，无关，,)()(22yx则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.定义定义1calculusyBxA称为函数称为函
27、数),(yxfz 在点在点),(yx处的全微分处的全微分.即即yBxAdz记作记作dz)y,x(df,若函数若函数),(yxfz 在区域在区域D内各点处都可微内各点处都可微,则称函数在则称函数在D内可微内可微.calculus定理定理1若函数若函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微分处可微分.则该函数则该函数在点在点),(yx的偏导数的偏导数yzxz,必定存在必定存在,且且yyzxxzdz证证 由由),(oyBxAz特别特别,0y|,x|),(),(yxfyxxf|),(|xoxAxyxfyxxfx),(),(lim0A xz同理可证同理可证Byz类似于一元函数类似于一元函数,记记,dx
28、x,dyy或或yfxfdzyx calculus注意注意 若函数若函数 在点在点),(yxfz 存在存在),(yx处的偏导数处的偏导数函数在该点不一定可微函数在该点不一定可微.例例证明函数证明函数 000),(22yxyxxyyxf不同时为在原点的两个偏导数存在在原点的两个偏导数存在,但不可微但不可微.解解函数函数 ),(yxf在原点的全增量在原点的全增量)0,0()0,0(fyxfz22yxyxcalculus),(fx00 00000 x),(f),x(flimxxxxx000lim20,0)0,0(yf yyyy000lim20,000000 y),(f)y,(flimy函数函数 ),(
29、yxf在原点的全微分在原点的全微分0)0,0()0,0(dyfdxfdzyx而而22yxyxdzz且且2200limlimyxyxdzz不存在不存在所以由定义知函数在原点不可微所以由定义知函数在原点不可微.calculus定理定理2(充分条件充分条件)若函数若函数)y,x(fz 在点在点 的某邻域内有连续的偏导数的某邻域内有连续的偏导数)y,x(yz,xz ,则函数在该点可微则函数在该点可微.且且dyyzdxxzdz 若函数若函数dzzudyyudxxudu )z,y,x(fu 在点在点 可微可微)z,y,x(则则dzudyudxuduzyxcalculus解解yyzxxzdz xyexy y
30、xexy 2021022.e.e 250 e.例例1.求函数求函数xyez 在点在点(2,1)处当处当2.0,1.0yx时的全微分和全增量时的全微分和全增量.)1,2()2.01,1.02(ffz)1(52.02eecalculus例例2.求下列函数的全微分求下列函数的全微分:)1,0().3(,2sin).2(,).1(22xxxueyxuyyxzyzyz解解(1).dyyzdxxzdzxydx2dyyx)2(2dzzudyyudxxudu).2(dxdyzeyyz)2cos21(dzyeyzdzzudyyudxxudu).3(dxyzxyz 1xdyzxyzlnxdzyxyzlncalcu
31、lus5.4 5.4 复合函数及隐藏函数求导法则复合函数及隐藏函数求导法则一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则(1)设函数设函数),(),(yxvyxu在点在点),(yx处处 有偏导数有偏导数,在点在点),(yx处有偏导数处有偏导数,且且xz yz定理定理1而函数而函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu处可微处可微则复合函数则复合函数),(),(yxyxfzvuzxy连锁法则连锁法则xvvzxuuzyvvzyuuzxz yzxuf xvf yuf yvf calculus例例1.设设,yxv,xyu,vsinezu 求求.yz,xz 解解xz vsineu yveuco
32、s 1)cos()sin(yxyxyexy yvvzyuuz vsineu x vcoseu 1)cos()sin(yxyxxexy yz vuzxyxvvzxuuzcalculus2sin,2,xzzzey xst ytsst求例例2.设设解解:zzxzysxsyssin.2cos.2xxey teys2222sincosstettsstszzxzytxtytsin.2cos.1xxey sey22222 sincossteststsyxzstcalculus例例yzxzxyyxfz,),(22求xyvyxu,22设),(vufz 则xzyzxuuvuf),(xvvvuf),(yuuf yv
33、vf yfxfvu 2xfyfvu 2calculus),(),(mtsvmtsusztz),(vufz 则复合函数则复合函数),(),(mtsmtsfzvuzst连锁法则连锁法则svvzsuuztvvztuuzmmzmuuzmuuzcalculus若函数若函数)x(v),x(u 都在点都在点 x 处可导处可导,函数函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu处可微处可微,则复合函数则复合函数)x(),x(fz 在点在点 x 处可导处可导,且且dxdvvzdxduuzdxdz 全导数全导数推论推论1.zvuxdxdz uf vfcalculus函数函数)y,x(fz)x(y 而而则复合函数则
34、复合函数)x(,x(fz 在点在点 x 的导数的导数dxdyyzxzdxdz 全导数全导数推论推论2.zyxx以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形.说明说明dxdzxf yfcalculus例例5.cos,sintveutuvzt求求dtdz解解dtdztzdtdvvzdtduuz tev )tsin(u tcos tcos)tsint(coset zvut例例4.,ty,tsinx,ezyx32 求求dtdz解解dtdzdtdyyzdtdxxz tcoseyx 2 2232t)(eyx ).tt(cosettsin2263 zyxt
35、calculus解解:设设 ,0uf tvg tug tv则z=f t=u因此因此dzz duz dvdtu dtv dt 1lnvvvuftuug t 1lng tg tg tf tftf tf t gt例例6.,0,g tdftftftg tdt求其 中均 可 导calculus且存在一阶连续偏导数，求且存在一阶连续偏导数，求例例7设设,ufx xy xyzf,uuuxyz解：解：xmnufyfyzfxmnuxfxzfynuxyfzxuxymnz,mxy nxyz设设xfxnnuxmmuxucalculus例例8.22222,uzzzuxy vxyvxx y 设求解解:zzuzvxuxvx
36、212uyxvv2222zyxuxxvv 22yxuxvxv2112ydvyyyxxvxvdvvxv 而而22322223224xuxxuuyxxvvvvxxyx uvvv calculus于是于是22333222232224622zxyuxyx uxyx yxvvvvxy 也可以在求出一阶偏导数后也可以在求出一阶偏导数后,把代入再求二阶偏导数把代入再求二阶偏导数,u v3222222()zyxuyx yxvvxy233322262zxyx yxxy则23222443222226()()zyxyxyyxxyyxyxy则calculus例例9设设具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解解令,
37、zyxu则则wxyzvu1f 2f xyzfxyzzyxfw),(.,2zxwxwxw,xyzv xvvfxuuf2fyz 1f zxw221fyzfzzf12f y zfyz2),(11xyzzyxff),(22xyzzyxff,1uff,2vffcalculus,111uff,112vff,221uff,222vff zf1zvvfzuuf1111f 12fxy zf2zvvfzuuf2222fxy 21f zxw211f 12fxy 2f y 21(fyz)22fxy 1211)(fzxyf 222f zxy 2f y calculus一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性则则dyyz
38、dxxzdz ),(yxfz),(),(tsvytsux则仍有则仍有dyyzdxxzdz dttzdsszdz),(yxfz calculusdztsystxyezx求已知sin例例dyyzdxxzdzyeyzyexzxxcossinydyedxyexxcossin解解calculussdttdsdttxdssxdxdsdtdttydssydy)(cos)(sincossindsdtyetdssdtyeydyedxyedzxxxxdttstssedstststeydyedxyedzststxx)cos()sin()cos()sin(cossin所以所以calculus二、隐函数求导法则二、隐函
39、数求导法则0000000002():(,)(,),(,)0(,)0 xyzzF x y zxyzFFFF xyzFxyz定 理隐 函 数 存 在 定 理设 函 数满 足 下 列条 件（1）在 点的 某 一 邻 域 内 连 续，且 具 有 连 续的 偏 导 数（2），00000(,)0(,)(,),(,)F x y zxyzfx yzfxy则 方 程唯 一 地 确 定 一 个 定 义 在的 某 一 邻 域 内 的 单 值 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 二元 函 数它 满 足 条 件，并 有zyzxFFyzFFxz ,calculus),(0),(yxfzzyxF方程两边对方程两边对
40、求偏导求偏导x0 xzxzFFzxxFFzzyyFFz同理同理calculus例例1.设设04222zzyx,求求解解 法法1 法法2 两边关于两边关于x求导求导 两边关于两边关于y求导求导yzxz,42 zFz,2,yFyxzxFx2zxFFzzyxzyxF4),(222zx2yz,zyFF.2zy0422xxzz zx0422yyzz zycalculus 方法三方法三:方程两边求微分方程两边求微分dyzydxzxdz220)4(222zzyxd04222dzzdzydyxdxcalculus例例2.设设,求求及及解：解：法法1法法2 两边关于两边关于x求导求导122 yx1),(22yx
41、yxF22dxyd0),(yxF0 xyxyFFdxdyyxFFyx22yx,022yyxyxy22dxyddxdydxdyxdxd2yyxy2yyxxy322yxy 31ydxdycalculus例例3.设设,求求解解0 xyzezyxz2xyzez),(zyxFxyeyzzxyeyzzzxFFxzxyexzzzyFFyz3222)()(xyeyxxyzeezzzz)(xyeyzyz2)()()(xyexyzeyzxyeyzyzzzz)(xzy yxz2calculus例例4设有连续偏导数，设有连续偏导数，(,)uf x y z(),()yy x zz x分别由方程分别由方程00 xydue
42、yxzdxz和e所确定,求解解duff dyfdzdxxy dxz dx又由两边对求导得又由两边对求导得0 xyeyx2()0()11xyxyxyxydydyeyxdxdxdyyeyeydxxexycalculus0()zzzdzdzezxdxdxdzzzexzdxexxzx所以所以21d ufyfzfd xxxyyxzxz又由两边对求导得又由两边对求导得0zexzxcalculus5.5 多元函数的极值多元函数的极值一一.极值的概念极值的概念对于该邻域内任一点对于该邻域内任一点),(yx,若恒有不等式若恒有不等式),(),().100yxfyxf则称该函数在点则称该函数在点 P 处有处有极大
43、值极大值),(00yxf),(),().200yxfyxf则称该函数在点则称该函数在点P 处有处有极小值极小值),(00yxf),(yxfz 在点在点),(00yxP某邻域内有定义某邻域内有定义,设函数设函数定义定义1calculus极大值与极小值统称为极值极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理2(必要条件必要条件)设函数设函数在点在点处偏导数存在处偏导数存在,并取得极值并取得极值,则则证明证明:不妨设不妨设在点在点处取得极大值处取得极大值.),(yxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(yxfz),(00yx),(00yx
44、则则,特别地特别地,取取有有),(),(00yxfyxf,0yy),(),(000yxfyxfcalculus在在 x=x0 点取得极大值，由一元函数极值必要条件知点取得极大值，由一元函数极值必要条件知,同理同理,使使 同时成立的点同时成立的点,的的驻点驻点.称为函数称为函数 考虑一元函数考虑一元函数),(0yxf0),(00yxfx0),(00yxfy0),(yxfy0),(yxfx),(yxfz calculus定理定理2(充分条件充分条件),令令(1).若若,有极值有极值,(2).若若无极值无极值.(3).若若情况不定情况不定.时有极大值时有极大值时有极小值时有极小值且且设函数设函数在点
45、在点某邻域内有一阶及二阶连续某邻域内有一阶及二阶连续偏导数偏导数,且且(1)中的中的A换为换为C结论不变结论不变),(yxfz),(00yx0),(,0),(0000yxfyxfyx),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy 02 ACB00AA,02 ACB,02 ACB),(00yxf),(00yxfcalculus例例1.求函数求函数的极值的极值.解解:得驻点得驻点:在点在点处处,有极小值有极小值在点在点处处,无极值无极值.,无极值无极值.,有极大值有极大值在点在点处处在点在点处处,xyxyxyxf933),(22339632xxxf 0yy632yf 0)2,3
46、(),0,3(),2,1(),0,1(66 xxxf 0 xyf66 yfyy)0,1(6,0,12CBAACB 2,072 0A5)0,1(f)2,1(072 ACB 2)0,3(ACB 2072)2,3(6,0,12CBAACB 2,072 0A31)2,3(fcalculus 最大值、最小值最大值、最小值区域内任一点区域内任一点若恒有不等式若恒有不等式则称则称 为函数在为函数在 D内的最大值内的最大值在平面区域在平面区域内有定义内有定义,对于该对于该设函数设函数则称则称 为函数在为函数在 D内的最小值内的最小值),(yxfz D),(yx),(),().100yxfyxfDyxp),(0
47、0),(00yxfDyxp),(00),(00yxf),(),().200yxfyxf定义定义使函数取得最值的点称为最值点使函数取得最值的点称为最值点.最大值与最小值统称为最值最大值与最小值统称为最值.calculus函数函数在点在点处取得最小值处取得最小值0在点在点处取得最大值处取得最大值2.2243yxz)0,0()0,0()(222yxz如如函数函数calculus最大值、最小值的求法最大值、最小值的求法最值点只可能是以下三种类型的点：最值点只可能是以下三种类型的点：（1）边界点）边界点求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值在
48、有界闭区域在有界闭区域 上连续，则一定有最值。上连续，则一定有最值。设函数设函数（2）驻点）驻点（3）偏导数不存在的点）偏导数不存在的点根据实际问题知函数的最值只在内部点上取到，且只有唯一根据实际问题知函数的最值只在内部点上取到，且只有唯一驻点驻点(极值点极值点)，没有偏导数不存在的点，则此时可断定函数在此驻点上取到没有偏导数不存在的点，则此时可断定函数在此驻点上取到最值最值),(yxfz Dcalculus例例2.在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面，不临街的墙面造价，不临街的墙面造价2/米元b，屋顶造价，屋顶造价2/米元c设房
49、屋容积为设房屋容积为3米v，问：长、宽、高各多少，问：长、宽、高各多少 时造价最低时造价最低.aabbcxyz解解:设长、宽、高分别为设长、宽、高分别为则则造价造价造价造价2/米元a,zyx,xyzv,xyvz)0,0(,)11()(yxcxyyxvbacxyxyvyxba)(cxy)(yxbz)(yxazwcalculus解得解得答：当长、宽均为答：当长、宽均为，高为，高为时，时，造价最低。造价最低。)0,0(,)11()(yxcxyyxvbaw3)(cbavyxxyvz 0)(2cyxbavxw0)(2cxybavyw322)(bavc3)(cbav322)(bavccalculus二、条
50、件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求函数求函数在条件在条件下的极值。下的极值。拉格郎日乘数法：拉格郎日乘数法：(1).构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:(2).联立联立解得解得则点则点可能为极值点可能为极值点.(3).再讨论再讨论.(根据实际问题的实际意义可以判断根据实际问题的实际意义可以判断.),(yxfz 0),(yxg),(),(),(yxgyxfyxL(为常数为常数)0),(00yxgLgfLgfLyyyxxx,yx),(yxcalculus求函数求函数在条件在条件下的极值。下的极值。),(yxfz 0),(yxgyyxxyxyxyxgfgfggffyff0)(dxdz0
