1、概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计7.3 7.3 抽样分布及其上分位数抽样分布及其上分位数 为了进一步研究未知参数的统计为了进一步研究未知参数的统计推断问题，本节介绍几个重要的抽样推断问题，本节介绍几个重要的抽样分布及其定理分布及其定理.概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计一一 抽样分布抽样分布 统计量是随机变量，它的分布称为统计量是随机变量，它的分布称为“抽样分布抽样分布”.”.研究统计量的性质和评价一个统计推断研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，取决于其抽样分布的性质的优良性，取决于其抽样分布的性质.抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布渐近分布渐近分布概概
2、 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计22111,()1nnniiniiXXSXXnn =1 1 分别表示样本均值和样本方差分别表示样本均值和样本方差.时，也称时，也称 是来自总体是来自总体的样本，仍用的样本，仍用 如果如果 是来自总体是来自总体X的样本，当的样本，当12,nXXX2(,)XN 12,nXXX2(,)N 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计统计上的三大分布统计上的三大分布2()n 记为记为定义定义3.1:3.1:如果随机变量如果随机变量 有概率密度有概率密度 分布分布(卡方分布卡方分布)1、2 12221(),02(2)nunp uueun 称称 服从自由度为服从
3、自由度为n的的 分布分布.2来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分10(),0 xxedx ()概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计分布的密度函数图形自由度依次分布的密度函数图形自由度依次为为n=1,3,5,7=1,3,5,72()n n=1n=3n=5n=7概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计分布的性质分布的性质2 定理定理3.1:3.1:如果如果 是来自总体是来自总体N(0,1)的样本的样本,则平方和则平方和12,nXXX222212()nnXXXn 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计22(2)(1)(1)nSn2nXS和分别为样本均值和样
4、本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有2(1).nXS和独立定理定理3.2:3.2:如果如果 是来自总体是来自总体N(0,1)的样本，的样本，12,nXXX概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计推论推论3.3:3.3:如果如果 ，则，则22(),()nm2(2)()nm当和独立时，有 (1)(),Var()2Enn这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.2概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计12,(0,1)nX XXN证证明明：(1 1设设是是来来自自总总体体的的)样样本本，则则2422Var()()()3 12,1,2,iiiXE XE Xin 2211()()(
5、).nniiiiEEXE Xn 所所以以2211Var()Var()Var()2.nniiiiXXn 22E()0,E()Var()(E()1iiiiXXXX 2222123.1()nXXXn 根根据据定定理理，有有 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计12,(0,1)n mX XXN 设设是是来来自自总总证证明明：(2 2体体)的的样样本本2222221212()()nmnnnn mXXXXXX 令令 则则 与与.同同分分布布nm .因因此此结结论论成成立立则有则有2nm （n n+m m）概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 定理定理 3.422221(1)1(2)()
6、(1)njnjnSXXn 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2nXS和和 分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有2(1).nXS和和独独 立立概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 t 分布又称学生氏分布又称学生氏(student)分布分布.记做记做Tt(n).定义定义3.2:3.2:如果随机变量如果随机变量T具有概率密度具有概率密度称称T服从自由度为服从自由度为 n的的 t 分布分布.2、t 分布分布12212()1,(,)2nnnup uunnn 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计形状形状:中间高中间高,两边低
7、两边低,左右对称左右对称.当当n充分大时充分大时，t 分布近似分布近似N (0,1)分布分布.但对于较小的但对于较小的n，t分布与分布与N(0,1)分布相差很大分布相差很大.t分布的图形分布的图形(红色的是标准正态分布红色的是标准正态分布)n=1n=20-3-2-11230.10.20.30.4概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 t(2)与与N(0,1)概率密度曲线的对比概率密度曲线的对比 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 t(20)与与N(0,1)概率密度曲线的对比概率密度曲线的对比 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 22,1lime()2unnnpu
8、u 特特别别,当,当时时 有有 33,()(0,1).33,()nt nNnx 当当时时分分布布的的密密度度和和的的密密度度几几乎乎没没有有差差别别 而而且且当当时时对对标标准准正正态态密密度度函函数数有有sup()()0.0041nxpxx 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计t分布的性质分布的性质()Zt nn 定理定理3.5:3.5:如果如果ZN(0,1),且且Z与与 相互独立，则有相互独立，则有2(),n 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 定理定理 3.6 3.6 如果如果X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2nXS和和 分别为
9、样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有(1)nXt nSn 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计222(1)(0,1),(1)./nXnSZNnn 且它们独立且它们独立.则由则由定理定理3.53.5得到得到22(1)(1)/(1)nXZnSnnn 证明：由定理证明：由定理3.4(1)/nXt nSn 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 具有自由度为具有自由度为n的的t分布的随机变量分布的随机变量T的数学期望和方差为的数学期望和方差为:E(T)=0;Var(T)=n/(n-2),对对n 2 t分布的性质分布的性质概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计1
10、2222()1,0.22nnn mn mnnpuuuynmmm 3、F(n,m)分布分布定义定义3.3 如果随机变量如果随机变量F有概率密度有概率密度称称F服从自由度为服从自由度为(n,m)的的F分布分布，记做记做 FF(n,m).其中其中n称为第一自由度称为第一自由度，m称为第二自由度称为第二自由度.概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计图形：图形：m=10m=7m=3m=1F(6,m)的密度图形，的密度图形，m=1,3,7,10概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计F分布的性质分布的性质22(),(),nm :如如果果定定理理3 3.和和7 7独独立立，则则(,)nFF n
11、 mm 1(,)mF m nFn概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计1212,.设是来自总体的样本，是来自总体 的样本如果总体和总体独立，则来自这两个总体的样本也相互独立 于是nmXXXXY YYYXY1212,nmXXXYYY，是相互独立的随机变量.概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计21212122,(,),(,).,2nmX XXNY YYNn m :设设是是来来自自总总体体的的样样本本，是是来来自自总总体体的的样样本本又又设设这这两两个个总总体体相相互互独独立立定定理理3 3.8 8，则则当当时时22(1,1)XYSSF nm2211221111(),111(),1
12、nnXinniiimmYimmiiiSXXXXnnSYYYYmm 其其中中 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计由由定定证证明明：理理3 3.4 4222222(1)(1)(1),(1)XYnSmSnm 而而且且 和和 独独立立，根根据据定定理理3 3.7 7得得到到22/(1)(1,1)/(1)XYSnF nmSm 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计21212122,(,),(,).nmX XXNY YYN :设设是是来来自自总总体体的的样样本本，是是来来自自总总体体的的样样本本又又设设这这两两个个总总体体相相互互补补充充定定理理独独立立，则则12()(2)11nmWX
13、Yt nmSnm 2222(1)(1),2XYWWWnSmSSSSnm 其其中中 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计2212(,)nmXYNnm 由由已已知知可可得得证证：明明12()()(0,1)11nmXYZNnm 所所以以2222122212(1)(1)(1),(1),XYnSmSnm 且且 与与 相相互互独独立立.212(2)nm 则则概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计2WWSS 其其中中 12123.5()()()/(2)1/1/nmWXYZnmSnm 由由定定理理得得 (2)t nm 222(1)(1)2XYWnSmSSnm 记记 123.4Z 由由定定理理
14、得得，独独立立.概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例例1 设设X 与与Y 相互独立相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与与 Y1,Y2,Y16 分别是分别是取自取自 X 与与 Y 的的简单随机样本简单随机样本,求统计量求统计量1292221216XXXYYY 所服从的分布所服从的分布解解129(0,9 16)XXXN 1291()(0,1)34XXXN 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计1(0,1),1,2,163iYNi 216211(16)3iiY 12921611341316iiXXXY (16)t1292221216XXXYYY 从
15、而从而概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例例2 2 设总体设总体(0,1)XN的样本的样本,22123456()()YXXXXXX 126,XXX为总体为总体 X试确定常数试确定常数c 使使cY 服从服从2分布分布.解解123456(0,3),(0,3)XXXNXXXN 12345611,(0,1)33XXXXXXN 221234561133XXXXXX 故故因此因此13c 21(2)3Y 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计二二 抽样分布的上分位数抽样分布的上分位数概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计(0,1).设设正正数数()P Zz (0,1),ZNz1
16、1.，有有唯唯一一的的使使得得2()nPn 22()(),nnn2 2.，有有唯唯一一的的使使得得()nP Ttn ()(),nTt ntn3 3.，有有唯唯一一的的使使得得,(,)n mP FFn m ,(,)(,),n mFF n mFn m4 4.，有有唯唯一一的的使使得得概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计22,()()(,)(0,1)()()(,).zntnFn mNnt nF n m 称称，和和 分分别别为为，和和 分分布布的的定定义义3 3.4 4:上上分分位位数数214,()()(,).CCzntnFn m 对对于于某某些些固固定定的的，可可以以查查书书后后的的表表得
17、得到到，和和 上上分分位位数数是是 的的减减函函数数.概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计(0,1).N正态分布的上 分位数1-概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计2().n分布的上 分位数1-概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计0.0250.051.961.645zz ，例例：解解：()(1.96)P ZzP Z 1(1.96)1(1.96)P Z10.9750.0250.0251.96z 因因此此概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 根根据据定定义义3 3.4 4可可以以得得到到例例3 3如如下下结结论论()11()P ZzP Zz 221(1()(
18、)nnPnnP 1()1)nnPnP TTtnt ,(,1(,)()1nmmnP FF nP FFmmn 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计/2/2(),()1,P ZzP Zz /2/2(),()1nnP TtnP Ttn 证证明明：/2/2/2()()()P ZzP ZzP Zz /2/2 /2/2()1()1,P ZzP Zz (0,1),()nZNTt n 例例 对对4 4，有有概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计2,(),(,)nn mn FF n m 例例 对对5 5，有有22/21/2()()nnPnPn ,/2,1/2(,)(,)n mn mP FFn m
19、P FFn m 221/2/2()()1,nPnn 1/2,/2(,)(,)1n mP Fn mFFn m 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 1,1,F n mFn mFm nFn m 对对的的上上 分分位位数数，有有 例例6：6：(,)FF n m对对，则则根根据据定定理理证证明明：3.7得3.7得到到1/(,)FF m n(,)FF m n于于是是对对1 1/得得到到1(,)PFm nF 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计又又由由于于 11,Fm nFn m 因因此此 1(,)P FFn m 1(1)111(,)PFFn m 11(,)P FFn m 0.950.0511(12,9)0.357(9,12)2.80FF例例：概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计1()()tntn C262().tntnz 分分布布的的上上 分分位位点点可可由由3 33 39 9页页附附表表查查得得，在在时时,可可用用正正态态近近似似 由标准正态分布和由标准正态分布和t分布的密度函数图形分布的密度函数图形的对称性及分位数的定义有：的对称性及分位数的定义有：1zz 感谢观赏
