1、一、频率特性的定义频率响应：在正弦输入信号 的作用下，系统输出的稳态分量 。强调：1.正弦输入信号，频率为 ，幅值为 ；2.系统输出的稳态部分，频率也为 ，但幅值为 ，且和输入相比产生了相位差。()r t()y tAB频率特性：线性系统在正弦输入信号作用下稳态输出与输入的傅里叶变换之比。拉氏变换和傅里叶变换之间存在转换关系 频率特性可由传递函数转换得到：()()()YjGjRjsj()()sjGjG s 频率特性包括两部分：幅频特性：输出正弦信号与输入正弦信号的幅值之比，随频率变化。相频特性：输出正弦信号与输入正弦信号的相位差，随频率变化。()()()()YjGjAR j()()()()GjY
2、jRj 频率特性的性质1.只取决与系统的结构和参数，与外界输入 和初始条件无关；2.都是频率的函数，随输入频率的变化而变化，而与输入幅值无关;3.可以根据系统的频率特性，确定系统的性 能指标；4.大多数自动控制系统具有低通滤波特性，当 时，幅值 多趋于零；5.频率特性仅适用于线性元件或系统。)(,)(),(jwGjwGjwG)(jwG时域分析法：需要经过建模确定被控对象的传递函数；需要经过繁杂的计算获得各参数对闭环系统各瞬态特性的影响；n与时域分析法的比较：n频率特性法：n通过实验对开环对象施加不同频率的正 弦信号，即可获得系统的频率特性（幅 频特性曲线和相频特性曲线），方法简 便；n从频率特
3、性图中分析闭环系统的性能，分析参数变化对系统瞬态响应的影响。二、常用的频率特性表示方法 对数频率特性曲线，也称波特图(Bode)()20log()()LAdB()Re()Im()G jj()()()jGjGjGjen 对数幅频特性曲线:n 对数相频特性曲线n 幅相频率特性曲线，也称极坐标图、乃奎斯特图，将频率特性描述成 向量形式：或实虚部形式:【例】分析一阶惯性系统的频率特性。解：频率特性：幅频特性：相频特性：1()1G sTs1()1sjG sjT222111()111G jj Tj TT()0G jarctgTarctgT()21()()1j G jjarctg TG jG jeeT极坐标
4、表示：第2小节 幅角原理第六章 控制系统的频率特性一、Caughy幅角原理 映射的概念：连续函数 在S平面上处处解析，则：S平面上任一点可唯一地映射为F平面的一个点：S平面上的两点之间的弧线可映射为F平面的一段弧线：S平面上的一条闭合的围线可映射为F平面的一段闭合围线。条件：S平面上的弧线和围线不经过奇异点)(11sFs)()(2121sFsFssFs)(sF例：对于分式复变函数：32)(sssF1122121222224222,()22312551211,()132()()jjsjF sjjjsF ss sF sF s 取：取：弧线：幅角原理：F(s)是除有限个极点外，在S平面处处解析的有理
5、函数；如果S平面中的一个围线C域内包围了F(s)的m个零点和n个极点，但不穿越F(s)的任何极零点；当s沿着C顺时针运动一周，则C映射到F平面的围线 将沿顺时针方向绕F平面原点N次，Nmn。当N0时，将绕原点逆时针方向运动 当N0时，不绕原点。FCFCFC例：S平面中，围线C包围了3个零点和1个极点；F平面中，映射围线CF绕原点N31次。例：二、乃奎斯特围线与乃奎斯特图乃奎斯特围线 当 取值从0到 时，相当于在S平面上沿正虚轴从0到 方向取值。为了获得封闭的围线，取负频方向：同时，以 为半径，顺时针将整个S右半平面包围。sj 0 幅角原理在闭环系统中的应用：)(1)()()(1)()(0sGs
6、GsHsGsGsM闭环传递函数：时，得F(s)的零点 时，得F(s)的极点)()()()()()()(1)(1)(0000000sDsDsDsNsDsDsNsGsFc0)(0sD0)(sDc也是闭环系统的不稳定极点也是开环系统的不稳定极点关心S右半平面内的个数m关心S右半平面内的个数nF(s)的映射曲线顺时针绕原点N圈N=m-n特征方程：乃奎斯特Nyquist图：1.乃奎斯特围线包围 F(s)在S右半平面的所有m个零点和n个极点；2.在S平面的乃奎斯特围线上顺时针取值一周，代入 F(s)后获得F平面上的映射曲线乃奎斯特图。3.乃奎斯特图顺时针包围原点N圈4.n、m、N之间存在关系：N=m-n)
7、(1)(0sGsFF平面 G平面：Nyquist图围绕F平面原点 的圈数 Nyquist图围绕G平面中 点的圈数。)0,1(j)0,1(j(0,0)j0()1()F sG s n系统在S右半平面闭环特征根的个数m取决于开环传递函数 的Nyquist曲线围绕 的圈数N与 在S右半平面极点的个数n之和：m=N+n。)0,1(j)(0sG)(0sG第3小节 乃奎斯特图的绘制第六章 控制系统的频率特性一、开环对象在Nyquist围线上无奇异点Nyquist围线的特点：S平面的虚轴对应正频段和负频段，频率从 到0，再到 ；正频段和负频段关于实轴对称；坐标原点对应 ，半径无穷大的右半圆对应0nNyquis
8、t图的特点：nNyquist图关于实轴对称；n无需解析计算Nyquist图上各点的频率特 性，只需概略绘制；n保持Nyquist图的某些重要特征点1.Nyquist图正频段的起始、终止点 将 代入幅频、相频特性中计算，并在Nyquist曲线中确定相应的位置A；将 代入幅频、相频特性中计算，并在Nyquist曲线中确定相应的位置C；0nNyquist图的绘制步骤计算频率特性的实虚部形式：令 ，确定Nyquist曲线与虚轴的交点；令 ，确定Nyquist曲线与实轴的交点。2.Nyquist与实轴或虚轴的交点：()Re()Im()G jjRe()0Im()04.做出负频段 对应的Nyquist曲线。
9、5.两频段的Nyquist曲线是闭合曲线3.将各点用连续的曲线串联起来，得到正频段 对应的Nyquist曲线；0 0【例】已知开环对象 绘制其Nyquist图。解：1.计算频率特性表达式：0,)1)(1()(21210TTKsTsTKsG、001211001212()()(1)(1)(),()11s jKG jG sT jT jKG jG jtgTtgTT jT j 001211012(0)0 10 1(0)000KG jKT jT jG jtgTtgT 时，01211012()011()180KG jT jT jG jtgT tgT 时，可以看出，随着 逐渐增大，幅频和相频都是单调递减的。在
10、极坐标内确定各频率点的位置：2.计算频率特性的实虚部表达式：0122121222122121222212121()(1)(1)(1)1(1)(1)(1)()11()(1)()=1(1()KGjT jT jKT TT jTT jT jT jTjTTKT TjTTTjT Re021212(1)01TTTT 令 ，12()00TT令 ，Im0Nyquist曲线与虚轴相交Nyquist曲线与实轴的交点在 处03.绘制负频段的Nyquist图：二、开环对象在虚轴上有奇异点以原点处存在一个极点为例，改造Nyquist围线：用一个半径很小的迂回路逆时针绕过原点：迂回路绕原点逆时针运 动了jesr900900
11、,0,180jjeseKeKsKsGj)(0n 讨论迂回路各关键点的映射：(90):0,0,90:(90)jjAKKAee 即(0):0,0:0jjBKKBee(90):0,0,90:(90)jjCKKCee 即Nyquist围线逆时针小半圆 A B CNyquist曲线对应顺时针的 A B Cn频率特性：讨论增加一个积分环节后对一阶惯性环节 Nyquist图的影响0()(1)KGss Ts0210()11()()90KKGjjjTTGjtgT 00210(0)0 1(0):(0)90090KGjTCGjtgT n 时：n 时：0210()01():()90180KGjTOGjtgT Nyqu
12、ist围线上绕原点迂回路的映射：从 到 以 为半径，顺时针画一个18000C A结论：当系统的开环传递函数含积分环节时，在S平面上增加迂回路的Nyquist围线映射到G平面上的Nyquist图在无穷远从负频部分的 到正频部分的 的变化规律是：0 0积分环节数v1时，Nyquist图顺时针绕行原点积分环节数v2时，Nyquist图顺时针绕行原点积分环节数v3时，Nyquist图顺时针绕行原点180118021803第4小节 乃奎斯特稳定判据第六章 控制系统的频率特性乃奎斯特稳定判据：如果奈奎斯特围线中包围了开环传递函数的 n个极点和 m个零点,那么开环传递函数的奈奎斯特曲线将顺时针围绕(-1,j
13、0)点 N次，其中 N=mn.一般情况下，不稳定的开环传递函数经闭环反馈后，闭环传递函数可能变为稳定。因此，仅已知开环传递函数在S右半平面极点个数n的情况下，通过绘制其Nyquist曲线，根据顺时针围绕(-1,j0)点的次数N，可以得出闭环系统在S右半平面的极点个数m。即：m=N+n1NmnmS平面内，n=1G平面内，N=0闭环系统不稳定例：0NmnmS平面内，n=1G平面内，N=-1闭环系统稳定乃奎斯特稳定判据的几个推论：1.若系统开环稳定，即开环传递函数在S右半平面没有极点(n=0)，则闭环系统稳定的充要条件是 Nyquist 图不包围 (-1,j0)点(N=0)。0,n 0N 0mNn0
14、m 0Nnn 2.闭环系统稳定(m=0)的充要条件是Nyquist图逆时针包围 (-1,j0)点n圈，n是开环传递函数在S右半平面的极点个数。3.若Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点，则系统一定不稳定。适用于开环传递函数未知的情况。mn0,Nmn0,0nm又【例】设系统开环传递函数的Nyquist图如图所示，其中，m表示右半平面上开环极点的个数，v表示开环积分环节的个数，使用乃奎斯特判据判定系统的稳定性。1.v=0,无积分环节，作图N=2，n=0，m=2，闭环不稳定2.v=2,积分环节旋转360，作图N=0，n=0，m=0，闭环稳定也可以参考推论3也可以参考推论13.v=1,积分环节旋
15、转180，作图N=1，n=1，m=2，闭环不稳定也可以参考推论3第5小节 乃奎斯特稳定裕量第六章 控制系统的频率特性一、稳定裕量的基本概念幅稳定裕量幅值裕量：Nyquist曲线在负实轴的交点，与(-1,j0)点之间的放大倍数。物理意义：系统开环放大系数再放大 ，闭环系统将处于临界稳定状态。00()1,1()ggggKGjKGj0()1,1ggGjKgK0()Gj20lg620gKdBn相位穿越频率：幅值临界稳定时的频率 由 的虚部 Im=0获得。0()180ggGjgn理想的幅值裕量：相稳定裕量相位裕量：Nyquist曲线和单位圆的交点，与-180之间的角度差 。物理意义：开环相频特性再滞后
16、，闭环系统将处于临界稳定状态00()180,180()ccGjGj 0180()0,0gGj n幅值穿越频率：幅值为1时的频率 由 计算获得。n理想的相位裕量：c30600()1Gj01()ccGj【例】系统的开环传递函数为解：1.利用 计算幅值穿越频率：05()(1)Gss s22222551(1)1(1)25254.5249;5.52494.52492.1272cjjxxxxx 0()1Gj(负数，舍去)取计算幅值穿越频率和相位裕量。2.将 代入 计算此时的相角：3.计算相位裕量：0()Gjc10()909064.82154.82ccGjtg 0180()180154.8225.18cGj
17、【例】系统的开环传递函数为计算相位穿越频率和幅值裕量。解：1.利用 计算相位穿越频率：05()(1)(3)Gss ss222(1)(3)(1)(554(3)(1)(3)(1)93)()jjjjjjjjjj 0Im()0Gs20Im()0(3)031.732gGj2.将 代入 计算此时的幅值：3.计算幅值裕量：032255()1219gggggGj012121(),20lg20lg7.655gggKGjKdBg0()Gj第6小节 对数频率特性图(1)第六章 控制系统的频率特性一、对数的奇妙特点将乘除运算化为加减运算AnABABABAABnlglglglglg,lglglg000()miinjjK
18、szGssp000lg()lglglgmnijijGsKszsp00020 lg()20 lg20 lg20 lgmnijijGsKszsp将成百上千的坐标距离压缩到几个单元多个单元的表示：23lg 101,lg 102lg 10,lg 103lg 10n一个十倍频程内的频率位置分布是不均匀的03010.0lg4771.06990.08451.09542.0123456 7 8 9101lg 10lg 10lg1lgkkklg 100lg 100lg2lgkkkDecade:十倍频程十倍频程二、对数频率特性图的坐标1.幅频特性图的坐标系：横坐标：对频率取对数以 的值为横坐标分度但标注 的值lg
19、纵坐标：取 为纵坐标 单位：分贝(dB)(lg20)(wAwL2.相频特性图的坐标系横坐标：对频率取对数以 的值为横坐标分度 但标注 的值lg纵坐标：仍以角度为纵坐标单位：度()三、典型环节的波特图比例环节(),()(),2 0 lg()2 0 lg()0GsKGjKAKAK积分环节幅频特性曲线按两点一线方法绘制：经过 且斜率为:相频特性曲线始终为:90()1,()1()1,()20 lg()20 lgGssGjjeALA 0.1,20lg20;1,20lg0()90 120/dB decade2阶积分环节幅频特性曲线按两点一线方法绘制：经过 且斜率为:相频特性曲线始终为:218022()1,
20、()()1,()20 lg()40 lgG ssGjeALA 0.1,40lg40;1,40lg0()180 140/dBdecade第6小节 对数频率特性图(2)第六章 控制系统的频率特性惯性环节：2221()1(1)()1(1)()1()1()20 lg()20 lg 1()120 lg()1()()GsT sGjjTATLATTtgT 讨论：当 ，即 时，属低频段：当 ，即 时，属高频段：1T1 T2()11()20 lg10,()0TLdB 1T1 T22()1()()20 lg20 lg20 lg,1(1)20 lg120 lg0()90TTLTTTLTTT 时，当 ，即 时，有实际
21、值：1wTTw145)(32lg20)(wdBwL1 T幅频特性曲线幅频特性曲线：从横坐标上 出发的，斜率为20dB/decade的二段折线。20dB/decade相频特性曲线：相频特性曲线：横坐标上 对应0，对应-90，对应-45构成的三段折线0.1 T10 T1 T幅频特性曲线：从横坐标上 出发的，斜率为40dB/decade的二段折线。当 ，即 时，有实际值：1wTTw1()20 lg 2()90L ww 1 T40dB/decaden 2阶振荡环节随阻尼比不同而不同相频特性曲线：相频特性曲线：横坐标上 对应0，对应-180，对应-90构成的三段折线0.1 T10 T1 T纯微分环节一阶
22、微分环节二阶微分环节第6小节 对数频率特性图(3)第六章 控制系统的频率特性一、开环对象Bode图绘制步骤：a.将系统开环传递函数转换成时间常数形式，以便获得各环节的转折频率；b.根据转折频率范围制定幅频、相频特性图的横坐标范围：从最小转折频率低十倍频程 到最大转折频率高十倍频程c.分别绘制各环节的幅频特性曲线；d.分别绘制各环节的相频特性曲线；e.各幅频特性曲线按频率从小到大的顺序叠加，得开环对象幅频特性曲线；f.各相频特性曲线按频率从小到大的顺序叠加，得开环对象相频特性曲线；a.比例环节：转折频率：无b.积分环节：关键频率：1c.一阶惯性环节：转折频率：6绘制开环对象 的Bode图 015
23、()(6)Gss s0152.5()6(61)(61)Gss ss s12.5L 21Ls31(61)Ls解：1.转换成时间常数形式：2.分解成典型环节：Bode图横坐标的频率范围取0.160 1023.绘制各环节的幅频特性曲线：-206-2010无斜率dB/decade15L 21Ls31(61)Ls120lg20lg 2.58LdB环节类型转折频率4.各环节幅频特性曲线的叠加：5.绘制各环节的相频特性曲线并叠加：各环节相频：相频叠加后：绘制开环对象 的Bode图解：1.转换成时间常数形式：02250(10)()(2)(30250)sG ss sss022250 10(101)()2250(
24、21)(250302501)5(101)(21)(2506501)sGss sssss sss2.分解成典型环节：a.比例环节：转折频率：无b.一阶微分环节：转折频率：10c.积分环节：关键频率：1d.一阶惯性环节：转折频率：2e.二阶振荡环节：转折频率：15L 2(101)Ls31Ls41(21)Ls251(2506501)Lss25015.8Bode图横坐标的频率范围取0.1158 1033.绘制各环节的幅频特性曲线：-4015.8-202-201+20100无斜率dB/decade转折频率环节类型15L 2(101)Ls31Ls41(21)Ls251(2506501)Lss120lg20
25、lg514LdB4.各环节幅频特性曲线的叠加：5.绘制各环节的相频特性曲线：6.各环节的相频特性曲线叠加：第7小节 对数频率特性中的频域指标第六章 控制系统的频率特性一、Bode图中的稳态裕量回顾稳态裕量的定义：1.幅值裕量：相位穿越-180时幅值达到(-1,j0)点的放大倍数 00()120 lg20 lg()0ggggKGjKGjdB2.相位裕量：幅值穿越单位圆时，相位与-180的距离00()180,180()ccGjGj 幅值裕量：相位裕量：二、闭环频率特性及其频域指标闭环系统的频率特性为：()()()()1()()MjGjMjMeGjHj闭环幅频特性闭环相频特性闭环系统的幅频特性曲线：
26、(注意：没有采用对数坐标)低通滤波特性：从M(0)=1开始，其低频部分变化缓慢，曲线较为平缓，随着 的不断增加，特性出现谐振峰值 ，继而以较大的陡度衰减至零。pM例：已知单位反馈系统的开环传递函数闭环传递函数为：216()4Gjss216()416Mjss绘制闭环传递函数的幅频特性曲线：频域特性指标：1.谐振峰值 ：闭环系统幅频特性的最大值，反映了系统的相对稳定性。通常，越大，系统阶跃响应的超调量也越大，系统相对稳定性就比较差。理想的谐振峰值 在1.11.4之间。2.谐振频率 ：闭环系统幅频特性出现谐振峰值时所对应的频率，它在一定程度上反映了系统瞬态响应的速度。值越大，瞬态响应越快。pMpMp
27、Mpp3.带宽频率 ：当闭环系统幅频特性的幅值由其初始值 减小到 时，所对应的频率。0 的频率范围称为系统的带宽。它反映了系统对噪声的滤波特性，同时也反映了系统的响应速度。带宽越大，瞬态响应速度越快，但对高频噪声的过滤能力越差。b(0)M0.707(0)Mbc.常将 作为主要设计指标，并将幅值穿越频率安排在中频段，以获得快速响应典型二阶系统的开环频率特性与动态性能的关系 b.当 确定时，与 成反比：，系统响应越快三、频域性能指标与时域性能指标的关系%st3060ccsta.n典型二阶系统的闭环频率特性与动态性能的关系 ，越小，系统的阻尼性能越好，当 后，二阶系统不产生谐振%pMpM0.707p
28、Mstbbsta.a.b.当 确定时，与 成反比：，系统响应越快四、对数幅频特性图中反映的动态性能低频段：在第一个转折频率之前的区段一般只包含开环传递函数的比例环节和积分环节，而其他环节在此区段的对数幅值为0。()L0()()vKGjj()20 lg20 lg1,()20 lg()0,20 lg20 lg,vvcvvccLKLKLdBKKK当时当时从低频段的斜率可以反映积分环节的个数v。从幅值穿越频率 可以反映系统的开环增益。若第一转折频率之后穿越0dB线，则以低频段曲线的延长线与0dB的交点判断开环增益c中频段：开环对数幅频特性曲线在 附近的区域。特征量：幅值穿越频率、穿越斜率、中频段宽度h：分析:1.穿越斜率在中频段宽度内保持-且 ，可以保证系统的相位裕量 闭环系统稳定，且动态性能好。21hc5h 020dB/dec2.穿越斜率在中频段宽度内保持-40dB/dec 时，系统不稳定或者有较大振荡，平稳性极差。3.如果h不能保证足够的宽度，则动态性能会比较差。高频段：开环对数幅频特性曲线在中频段以后的区域 在系统抗干扰方面很重要：直接反映了系统对输入端高频信号的抑制能力。高频段分贝值越低，系统抗干扰能力越强。cn总结：低频段的开环增益可以决定系统的稳态精度；中频段的特性可以决定系统的平稳性和快速性；高频段决定了系统的抗干扰能力。
