1、数列的概念数列的概念收敛数列的性质收敛数列的性质数列极限的概念数列极限的概念概念的引入概念的引入第二节第二节 数列的极限数列的极限第一章第一章 函数与极限函数与极限子列及其极限子列及其极限小结小结 思考题思考题 作业作业 1一、概念的引入一、概念的引入 极限概念是从常量到变量极限概念是从常量到变量,从有限到无限从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长极限的思想源远流长.庄子庄子(约公元前约公元前355275年年)在在天下篇天下篇“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.意思是意思是:一尺一尺长的棍子长的棍子,第一天取其一
2、半第一天取其一半,第二第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,这样永远也取不完这样永远也取不完.数列的极限数列的极限 中写道中写道:2刘刘徽徽(三世纪三世纪)的的“割圆术割圆术”中说中说:意思是意思是:设设给定半径为给定半径为1尺的圆尺的圆,从圆内接正从圆内接正6边边形开始形开始,每次把边数加倍每次把边数加倍,屡次用勾股定理屡次用勾股定理.求出求出正正12边形、边形、等等正多边形的边长等等正多边形的边长,正正24边形边形.边数越多边数越多,圆内接正多边形越与圆接近圆内接正多边形越与圆接近,最后与最后与圆周重合圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有
3、误则正多边形周长与圆周长就没有误差了差了.数列的极限数列的极限 “割之弥细割之弥细,所失弥少所失弥少.割之又割割之又割,以至不以至不可割可割,则与圆周合体则与圆周合体,而无所失矣而无所失矣.”3正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAASR数列的极限数列的极限4简记为简记为数列的极限数列的极限二、整标函数与数列二、整标函数与数列定义定义1定义在正整数集上的函数定义在正整数集上的函数()()f nnN称为称为整标函数整标函数,记为记为()nxf n()nxf n对应函数值的排列对应函数值的排列12,nx xx称为称为
4、数列数列,nxnnxx其中 称为数列的定义定义2当当n依次取依次取1,2,3,等一切正整数时等一切正整数时,通项通项(generalterm),或者或者一般项一般项.(sequence of number)5如11 11:1,2 3nn 1 2 3:,12 3 41nnnn(1)1 11(1):,22 482nnnn21:1,3,5,21,nncos:0,2,0,cos,22nnnn1(1):2,0,2,1(1),nn 数列的极限数列的极限6可看作一动点在数轴上依次取可看作一动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx数列的数列的(两种两种)几何表示法几何表示法:数列可看作自变量为正
5、整数数列可看作自变量为正整数 n的函数的函数:)(nfxn 整标函数整标函数或或下标函数下标函数(1)数列对应着数列对应着数轴上一个点列数轴上一个点列.数列的极限数列的极限7(2)在平面上在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注注 不可将这串点连成曲线不可将这串点连成曲线.onxn 1 2 3 4则数列的几何意义是则数列的几何意义是数列的极限数列的极限平面上平面上一串分离一串分离的点的点.8数列是一种特殊的函数,也有有界性和单调性定义3,nxM若 M0,使得对 n,有则称数列 nx为有界数列,否则为无界数列.如,1,n ,1nn(1).2nn有界21,ncos2
6、nn无界数列的极限数列的极限9定义41,nnxx 若对 nN,有则称数列 nx为单调增数列.如,1nn21,n1,nnxx 若对 nN,有则称数列 nx为单调减数列.如1n 数列的极限数列的极限10注意:1.凡是讲数列,都有无穷多项.,.nxCC若则称数列为常数数列2.数列是一种特殊的函数.3.数列与数集是不同的(数集中元素互不相同).数列的极限数列的极限11三、数列的极限1.引例求由抛物线2,yxxx直线=1,及 轴所围成的图形面积.(1)分割:n等分,得到n个小区间:1,0,1,1i iinnn(2)代替:小矩形面积为21inn数列的极限数列的极限12(3)求和:21201111326nn
7、iiSn nnn1133nnSS用表示与 的接近程度.211113262nSnnn问题问题当当 无限增大无限增大时时,是否是否无限接近无限接近于某一于某一确定的数值确定的数值?n如果是如果是,如何确定如何确定?nS数列的极限数列的极限13问:10.13nS?10.15,3nSn只 要就 有10.00013nS?50001,0.00013nSn只 要就 有13nS?1,231nnS只 要就 有数列的极限数列的极限14定义5数列极限的N定义nu设为 一 数 列,A如 果 存 在 常 数如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),总总存在正数存在正数N,nN使 得 当
8、时有nuA则称数列 nu收敛,极限为,A记作limnnuA或().nuAn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列就说数列发散发散(diverge).数列的极限数列的极限15注注(1)的任意性nuA衡量了与 的接近程度.,是是任任意意给给定定的的正正数数 但是一旦给出之后但是一旦给出之后,它就是确定了它就是确定了;0.可预先假定(2)N的存在性说明数列从某项开始,后面所有的项均与A接近到任意给定的程度.,有有关关与与给给定定的的 N一般地说一般地说,;N越小将越大0.NNN不是唯一的,可预先假定数列的极限数列的极限16(3)u n有没有极限有没有极限,“前面前面”的有限项不起作用的有限项不
9、起作用,主要看主要看“后面后面”的无穷多项的无穷多项.(4),若 是任意给定的正数 则22,1.3 与 的作用相同,但不同N 定义定义 采用采用逻辑符号逻辑符号将将limnnuA的的定义可缩写为定义可缩写为:数列的极限数列的极限,0 ,0 N,时时当当Nn .nuA有17x1u2u2Nu1Nu3u数列极限的几何意义数列极限的几何意义 2AAA,时时当当Nn 数列的极限数列的极限nAuA)(Nn (,)nuU AnuA即即)(Nn (,),nuAA所有的点都落在内.)(落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个N注注数列极限的定义通常是用来进行推理数列极限的定义通常是用来进行推理和
10、证明极限和证明极限,而不是用来求极限而不是用来求极限,因为这里因为这里需要预先知道极限值是多少需要预先知道极限值是多少.18例例1.1)1(lim1 nnnn证明证明,0 证证 虽然是可以任意小的正数虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题但使用定义证题时时,对于给定的对于给定的 总暂时认为它是固定的总暂时认为它是固定的,按照这按照这个个 找出使不等式成立的找出使不等式成立的N.,数列的极限数列的极限因为1 nx1)1(1 nnnn1,1n令 解不等式解不等式1n得所以所以,10,N取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn有有.1)1(lim1 nnnn即即19例例2证证0 ,0 nnqxln0,
11、lnNq取,时时则当则当Nn ,0 nq有有令令),10(不妨设不妨设数列的极限数列的极限ln,lnnq解得lim0.nnq所以lim0,01.nnqq证明其中20例3 1lim1.nnaaa设 0,1,证明数列的极限数列的极限例4 证明:!lim0.nnnn提示:!1 21nnnnn nnn总结:,.nnnnuAuA要证可以放大再证即可21定理定理1(1(极限的唯一性极限的唯一性)证证,limaxnn 设设由定义由定义,;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn|baaxbxnn .2 时时仅当仅当ba 故收敛数列极限唯一故
12、收敛数列极限唯一.)()(axbxnn ,limbxnn 又又数列的极限数列的极限才能成立才能成立.,021NN 使得使得,.nx若数列收敛 则它的极限是唯一的四、四、收敛数列的性质收敛数列的性质22定理定理2(2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性)证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则.11 axan即有即有,max,n则则对对一一切切自自然然数数 .有有界界故故nx有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件,推论推论注注收敛收敛的数列必定有界的数列必定有界.数列的极限数列的极限无界数列必定发散无界数列必定发散.不是充分条件不
13、是充分条件.,1 a1 a M记记,|,|1x|,|2x|,|Nx,Mxn 皆有皆有23例例5.)1(1是发散的是发散的数列数列证明证明 nnx证证,21 取取,0 N则则,时时即当即当Nn 区间长度为区间长度为1.,1,1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的区间内的区间内.,是有界的是有界的nx数列的极限数列的极限21 a21 aa,时时当当Nn ,21成立成立有有 axn 反证法反证法假设数列假设数列nx收敛收敛，则有则有唯一极限唯一极限a 存在存在.),21,21(aaxn但却发散但却发散.24数列的极限数列的极限定理定理3(3(
14、保号性保号性)如果如果,limaxnn 且且0 a,0 N则则,Nn 当当0 nx有有),0(a).0(nx证证0 a由定义由定义,02 a,时时当当Nn 对对,0 N,2aaxn 有有 从而从而 nx2aa 2a.0 25推论推论1 1如果如果,limaxnn 且且0 a,0 N则则,Nn 当当2nax 有推论推论2 2如果如果lim,nnxa且0,a 则0,N当nN时,有0.2nax 推论推论3 3如果如果lim,nnxa且0,a 则0,N当nN时,有.2nax 推论推论4 4如果数列如果数列 nx从某项起有从某项起有0nx),0(nx且且,limaxnn 那么那么0 a).0(a用反证法
15、用反证法问:0,lim,nnnxxa若且0?a 则数列的极限数列的极限26在在数列数列 中依次任意抽出中依次任意抽出无穷无穷多项多项:nx,21knnnxxx所构成的新数列所构成的新数列)(21 knnn其下标其下标knx这里这里 是原数列中的第是原数列中的第 项项,kn在子在子数列中是数列中是第第k项项,kknx的的nx子数列子数列.叫做数列叫做数列数列的极限数列的极限kn 注意(1);(2)kijknnnij 五、五、子列子列(subsequence)27*,axkn证证knx是是数列数列nx的的任一子数列任一子数列.若若,limaxnn 则则,0 ,N,Nn 当当 axn成立成立.现取现
16、取正整数正整数 K,使使,N 于是当于是当 k时时,有有 knN 从而有从而有由此证明由此证明 .limaxknk *NNx定理定理4 4设数列设数列数列的极限数列的极限,0 正整数正整数 K,axknKnKKnKnxKnKk 收敛数列的任一子数列收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛于同一极限.28 由此定理可知由此定理可知,但若但若已知一个子数列发散已知一个子数列发散,或有或有两个子数列两个子数列敛于敛于a.nx12 kx2kx收敛于不同的极限值收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的可断定原数列是发散的.数列的极限数列的极限一般不能断定原数列的收敛性一般不能断定原数列的收敛性;还可以证明
17、还可以证明:数列数列的奇子数列的奇子数列和偶子数列和偶子数列均收敛于同一常数均收敛于同一常数a 时时,则数列则数列nx也收也收仅从某一个子数列的收敛仅从某一个子数列的收敛(证明留给做作业证明留给做作业)29例例6试证数列试证数列 不收敛不收敛.ncos证证 因为因为 的奇子数列的奇子数列 ncos数列的极限数列的极限1,1,1,收敛于收敛于,1 而而偶子数列偶子数列 ,1,1,1 收敛于收敛于,1 ncos所以数列所以数列不收敛不收敛.30问:nxa数列不收敛于与 nx数列发散,是否一回事?nxa数列不收敛于0000,0,.nNnNxa对使得例证明数列1n发散.数列的极限数列的极限31数列数列
18、数列极限数列极限收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系.五、小结五、小结数列的极限数列的极限研究其变化规律研究其变化规律;极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;有界性有界性,唯一性唯一性,保号性保号性,32数列的极限数列的极限思考题思考题 31 axn,0 ,0 N“”恒有恒有是数列是数列nx收敛于收敛于a的的().A.充分但非必要条件充分但非必要条件B.必要但非充分条件必要但非充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件(1)C(2).(lim,lim2 nnnnaKa则则若若KA.KB 2.2.KCD.不确定不确定A,时当Nn 33
