1、山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂第二节第二节 数列的极限数列的极限一、一、数列极限的定义数列极限的定义二、二、收敛数列的性质收敛数列的性质山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂一、数列极限的定义一、数列极限的定义概念的概念的引入引入R正六边形的面积A1正 形的面积126 nnA,321nAAAAS正十二边形的面积A2计算圆的面积计算圆的面积山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂1.1.数列的概念数列的概念 按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,第n项xn叫做数列的一般项.2,4,8,2n,;1,1,1,(1
2、)n 1,.;,21,81,41,21n;,)1(,34,21,21nnn 注意：(1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx(2).数列是整标函数),(nfxn.Nn山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察:当n无限增大时,nxnn1)1(1 无限接近于1.引例引例观察数列)1(11nn n 当时的变化趋势.,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,0 给定给定,)
3、1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx 1nxnnn11)1(1 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂2.2.数列数列极限的通俗定义极限的通俗定义 当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列xn的极限,或称数列xn收敛a,记为axnnlim.当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.因此,若 n 增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近常数a.山东
4、农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂3.3.数列数列极限的精确定义极限的精确定义 设xn为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数,总存在正整数N,使得当nN 时,不等式|xna|N 时,所有的点xn 都落在开区间(a-,a+),只有有限个(至多只有N个)落在这区间以外.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂证明证明例例1 证明.1)1(lim1 nnnn对于任意 0,要使|xn-1|N 时,就有 1)1(1nnn.1)1(lim1 nnnn即即山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例2 证明n2(1)limlim0.(1)nnnxn分析分析证明证明axn 0)1()1(2 nn2)1(1
5、n.11 n,0 (设设 ),1 要使,11 n或或,11 n只要只要|,nxa,0 11,N取则当nN 时,就有axn 2)1(1 n1.1n所以所以.0)1()1(lim2 nnn山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3 设|q|N 时,就有,0 ln1,lnNq取10.nnxq所以所以.0lim1 nnq山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂二、二、收敛数列的性质收敛数列的性质 定理1(极限的唯一性)如果数列xn收敛,那么它的极限唯一.证明证明:假设同时有axnnlim及bxnnlim,且 a0,存在充分大的正整数 N,使当nN时,同时有|xna|2ab 及|xnb|N 时,有因此该
6、数列发散.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂定理2(收敛数列的有界性)收敛数列xn一定有界.证证:设,limaxnn取,1,N则当Nn 时,有从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.注注 此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.aaxn)(,1axn数列山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂定理3(收敛数列的保号性).若,limaxnn0(0)a,NN则Nn 当时,有0(0)nx 证证:对 a 0,取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:若数列从某项起0(0)nx,limaxnn且
7、0(0)a 则山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂子数列的收敛性子数列的收敛性,21nixxxx注：注：例如，例如，,21knnnxxx 所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列xn中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列（或子列）.在子数列 中，一般项 是第k 项，而 在 knxknxknx nxkn.knk 原数列 中却是第 项，显然，山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理4(收敛数列与子数列间的关系）如果数列xn收敛于a，那末它任一子数列也收敛,且极限也是a.,axkn证证:设数列knx是数列nx的任一子数列.若,limaxnn则,0,N当 Nn
8、时,有axn现取正整数 K,使,NnK于是当Kk 时,有knKnN从而有由此证明.limaxknk*NKnNxKnx山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂注:若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散.故数列 发散.nx1,1122 kkxx证证：因为当：因为当 时时,k 证明 数列 是发散的.),2,1()1(1 nxnn山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂内容小结内容小结1.数列极限的数列极限的“N”定义及应定义及应用用2.2.收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性;有界性有界性;保号性保号性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限思考与练习思考与练习 如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1.找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2.找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 作业：作业：p-30 习题习题1-2 3(2)(3),4,5
