1、2.1 数列的概念与简单表示法2023-1-21童谣 2023-1-22甲乙两位赌王打赌，约定如下：甲乙两位赌王打赌，约定如下：（1）赌王甲第一天给赌王乙）赌王甲第一天给赌王乙1元钱，第二天给元钱，第二天给3元，第三天给五元，第四天给元，第三天给五元，第四天给7元，按照这个元，按照这个规律付下去。规律付下去。（2）赌王乙第一天给赌王甲）赌王乙第一天给赌王甲1分钱，第二天给分钱，第二天给2分，第三天给分，第三天给4分，第四天给分，第四天给8分，按照这个分，按照这个规律付下去。规律付下去。问题：你能写出付款规律吗？问题：你能写出付款规律吗？1，3，5，7，9，（1）单位：元）单位：元 1，2，22
2、，23，24 （2）单位：分）单位：分 两位赌王的付款数按顺序依次排列如下两位赌王的付款数按顺序依次排列如下2023-1-23 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数字画点或用小石子来表示数字.由于这些数可以用三角形点阵表示，故称其为三角形数.1，3，6，102023-1-24因为这些数能够表示成正方形，故称为正方形数.1，4，9，162023-1-25 1,1,2,3,5,8,13,2023-1-261 1、均是一列数，均是一列数，2 2、有一定次序有一定次序.观察上面
3、观察上面4 4个例子它们有什么共同特点？个例子它们有什么共同特点？特点：特点：（1）1，3，6，10，（2）1，2，4，8，16，（4）2，4，8，16，32，（3）1740，1823，1906，1989，2023-1-27按照按照一定的次序一定的次序排列的一列数叫做排列的一列数叫做数列数列。数列的定义数列的定义数列中的每一个数叫做这个数列的数列中的每一个数叫做这个数列的项项。各项依次叫做这个数列的各项依次叫做这个数列的第第1 1项（首项）项（首项），第第2 2项项，第第n n项项，2023-1-28（1）2023-1-29 注注 意意 数列与数集是两个不同的概念数列与数集是两个不同的概念.数
4、集数集 中的元素具有中的元素具有无序性无序性和和互异性互异性，而，而 数列中的数是数列中的数是按一定的次序排列按一定的次序排列的的.并且数列中可以有相同的数并且数列中可以有相同的数.2023-1-210 项数有限的数列叫做有穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列项数无限的数列叫做无穷数列.数列的分类数列的分类1、根据数列项数是否有限分类：2、根据数列各项的变化趋势分类递增数列、递减数列、递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列摆动数列、常数数列.2023-1-211 从第从第2 2项起，每一项都大于它的项起，每一项都大于它的 前一项的数列；前一项的数列；从第从第2 2项起
5、，每一项都小于它的项起，每一项都小于它的 前一项的数列；前一项的数列；从第从第2 2项起，有些项大于它的前项起，有些项大于它的前 一项，有些项小于它的前一项的数列；一项，有些项小于它的前一项的数列；各项都相等的数列各项都相等的数列.递增数列：递增数列：递减数列：递减数列：摆动数列：摆动数列：常数列：常数列：2023-1-212其中右下标其中右下标n n表示项的位置序号表示项的位置序号数列的一般形式可以写成：数列的一般形式可以写成：2，4，8,16，32 a4a1a2a3a5上面的数列又可简记为上面的数列又可简记为,321naaaana2023-1-213 注注 意意 an与与an是两个不同的概
6、念是两个不同的概念.an表示数列表示数列a1，a2，a3，而而an表表示的是数列示的是数列an的第的第n项项.之间有何区别？与nnaa 2023-1-214 如何用数学式子表示递增数列、递减数列如何用数学式子表示递增数列、递减数列 和常数列？和常数列？递增数列：递增数列：递减数列：递减数列：常数列：常数列：*1,nnaa nN*1,nnaa nN),3,2,1(ncan2023-1-215问题23631,2,2,2,2.数数列列数列中的每一个项都对应着一个序号，反过来，每个数列中的每一个项都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个项。序号也都对应着一个项。2023-1-216 对于数列中
7、的每个序号对于数列中的每个序号n,都有唯一都有唯一的一个数（项）的一个数（项）an与之对应与之对应.项数项数n 1 2 3 4 64 项项an 1 2 22 23 263 （自变量）（自变量）（函数值）（函数值）可以认为：可以认为：)(nfan 数列与函数数列与函数2023-1-21736 3,2,221,2,2 数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数）12nna2023-1-218之间的函数关系式与通项公式就是nan 数列的项数数列的项数n n与项与项a an n之间的关系如果可以之间的关系如果可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。列
8、的通项公式。数列通项公式数列通项公式如：如：数列数列 2,4,6,如：如：数列数列,514131211nan2nan12023-1-219观察下列数列观察下列数列,写出它们的通项公式：写出它们的通项公式：;2,2,2,2,1)1(6332,51,41,31,21,1)2(,10,9,8,7,6,5,4)3(2023-1-2201.并不是所有的数列都有通项并不是所有的数列都有通项;2.数列的通项可以有不同的形式数列的通项可以有不同的形式;3.数列的通项实际上就是相应函数数列的通项实际上就是相应函数 的解析式的解析式an=f(n),但这是一类特但这是一类特 殊的函数殊的函数.注注 意意 2023-
9、1-221 例例 写出数列的一个通项公式，使写出数列的一个通项公式，使它的前它的前4项分别是下列各数：项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项解：此数列的前四项1，3，5，7都都是序号的是序号的2倍减去倍减去1，所以通项公式，所以通项公式是：是：12nan2023-1-222（2）;515,414,313,2122222 解：解：此数列的前四项的分母都此数列的前四项的分母都是序号加是序号加1，分子都是分母的平方减，分子都是分母的平方减去去1，所以通项公式是：，所以通项公式是：121112nnnnnan2023-1-223（3）.541,431,321,211 解：解：此数列的
10、前此数列的前4项的值都等于序项的值都等于序号与序号加上号与序号加上1的积的倒数，所以通项公的积的倒数，所以通项公式是：式是：11nnan2023-1-224 解：解：此数列的绝对值都等于此数列的绝对值都等于1，且，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：式是：nna1（4）-1，1，-1,1，-1,1，-12023-1-225（5）.541,431,321,211 解：解：此数列的前此数列的前4项的绝对值都等项的绝对值都等于序号与序号加上于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：项为负，偶数项为正，所以通项公式
11、是：11nnann2023-1-226 写出下面数列的一个通项公式，使它的前写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 4项分别是下列各数：项分别是下列各数：；，）（；，）（0202241312111 nann1)1(11)1(1nna变式练习：课本31页 42023-1-227例例2、图中的三角形称为谢宾斯基（图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三）三角形，在下图角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。公式，并在直角坐标系
12、中画出它的图象。2023-1-228an30272421181512963o 1 2 3 4 5 n13nna数列用图象表示时，是一群孤立的点数列用图象表示时，是一群孤立的点2023-1-229练习：课本33页 52023-1-23014根据下列根据下列5个图形及相应点的个数的个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第变化规律，试猜测第n个图中有多少个点个图中有多少个点1n(n1)n2n1.2023-1-231答案答案4,7,10,152023-1-232问题：如果一个数列an的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，an =2 an-1+1（nN，n1）你能写出这个数列的前三
13、项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1(n1)称为递推公式递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。数列的第数列的第n项项an与它前面相邻一项与它前面相邻一项an-1（或相邻几项）所满足的关系式叫（或相邻几项）所满足的关系式叫递推公式递推公式；给出数列的前几项（初始值）和递推公式给出数列的前几项（初始值）和递推公式的数列叫的数列叫递推数列递推数列。2023-1-233例3 设数列an满足 写出这个数列的前五项。练习：课本31页 22023-1-2341已知已知an1an30，则数列，则数列an是是()A递增数列递增数列 B递减数递减数列列C常数项常数项 D不能确不能确定定答案答案A2023-1-235答案答案B2023-1-2368已知数列已知数列an满足：满足：a1a21，an2an1an，(nN*)，则使，则使an100的的n的最小的最小值是值是_答案答案122023-1-2372数列数列1,3,6,10,15，的递推公式是的递推公式是()Aan1ann，nN*Banan1n，nN*，n2Can1an(n1)，nN*，n2Danan1(n1)，nN*，n2答案答案B2023-1-2382023-1-2392023-1-240以上各式累加得，以上各式累加得，ana12023-1-241
