1、7.Wavelets and Multiresolution Processing第7章 小波与多分辨率处理7.Wavelets and Multiresolution Processing 小波有限宽度的波；小是指其衰减性，波是指其波动性，其正负相间的震荡形式。变化的频率，有限的时延 小波与音乐频率音高，时延音长图像的小波变换图像的乐谱7.Wavelets and Multiresolution Processing小波分析是近60年来，特别是80年代中后期发展起来的一个数学分支。多分辨率理论包括：信号处理中的子带编码 数字语音识别中的正交镜像滤波 金字塔图像处理7.Wavelets and
2、 Multiresolution Processing7.1 背景相似纹理和灰度的连通区域形成物体物体如果这些物体小物体小或反差低，需要在高分辨率观察；反差低，需要在高分辨率观察；物体大物体大或反差大，仅需在低分辨率观察。反差大，仅需在低分辨率观察。但是但是,如果一张图中的物体有大有小，或反差有高如果一张图中的物体有大有小，或反差有高有低，则比较好的办法是在不同分辨率上研有低，则比较好的办法是在不同分辨率上研究它们。究它们。7.Wavelets and Multiresolution Processing7.1 Background图例：局部直方图在到处变化。可见,在一张图中做简单的统计能说明
3、什么？/无法对整张图像定义一个简单的统计模型。通常多分辨率分析是需要的。7.Wavelets and Multiresolution Processing7.Wavelets and Multiresolution Processing7.1.1 7.1.1 图像金字塔图像金字塔均值/差值图像金字塔图像金字塔，从底到第P层的总像素：=j0 xkjxxfMkjW)()(1),(,00 xkjxxfMkjW)()(1),(,0kjjkkjkjxkjWMxkjWMxf00)(),(1)(),(1)(,0其中，f(x),)()(,0 xxkjkj和是离散变量x=0,1,2,M1的函数通常j0=0,M=
4、2J,因此：x=0,1,2,M1,j=0,1,2,J1,k=0,1,2,2j1.(上限与j的当前值有关）近似系数细节系数7.Wavelets and Multiresolution Processing例7.8 计算f(x)=1,4,3,0的1维DWTM=4,J=2,j0=0采用Haar比例尺和小波函数，并假设f(x)的4个样本分布在这些基函数的支撑上。2200002211111111414H1)1*01*31*41*1(21)()(41)0,0(310,0 xxxfW4)1(*0)1(*31*41*1 21)()(41)0,0(30,xkjxxfW25.10*00*3)2(*42*1 21)
5、0,1(W25.1)2(*02*30*40*1 21)1,1(W这样，DWT得到2,1.521.5 1,4,7.Wavelets and Multiresolution ProcessingkjjkkjkjxkjWMxkjWMxf00)(),(1)(),(1)(,02,1.521.5 1,4,从重建原函数：j=0,1)()1,1()()0,1()()0,0()()0,0(41)(1,10,10,00,0 xWxWxWxWxf10*25.1)2(*25.11*41*1 21)0(f40*25.1)2(*25.11*41*1 21)1(f问题7.1632*25.10*25.1)1(*41*1 21
6、)2(f0)2(*25.10*25.1)1(*41*1 21)3(f7.Wavelets and Multiresolution Processing7.3.3 连续小波变换（CWT)略7.Wavelets and Multiresolution Processing7.4 The Fast Wavelet Transform(FWT)7.Wavelets and Multiresolution Processing7.5 2维小波变换维小波变换)()(),(yxyx)()(),()()(),()()(),(yxyxyxyxyxyxDVHyx)2,2(2),(2/,nymxyxjjjnmj)2
7、,2(2),(2/,nymxyxjjijnmjii=H,V,D7.Wavelets and Multiresolution Processing大小为M*N的函数f(x,y)的DWT1010,),(),(1),(0MxNynmjyxyxfMNnmjW1010),(),(1),(,0MxNyiiyxyxfMNnmjWnmji=H,V,D其中，j0是任意初始尺度，),(0nmjW是对f(x,y)在该尺度上的近似。),(0nmjWi是为尺度j=j0的f(x,y)添加方向细节。正向7.Wavelets and Multiresolution Processing反向：mnnmjyxnmjWMNyxf)
8、,(),(1),(,00 DVHijjmninmjiyxnmjWMN,0),(),(1可用数字滤波器和下采样实现。7.Wavelets and Multiresolution Processing2DDWT的频域系数4分树7.Wavelets and Multiresolution Processing沿行方向检测，得垂直边缘沿列方向检测，得水平边缘nm合成滤波器族分析滤波器族2DFWT求内积线性叠加7.Wavelets and Multiresolution Processing例7.12 3尺度的FWT7.Wavelets and Multiresolution Processing第4阶
9、一维对称小波对称小波Symlets=Symmetrical Wavelets分解滤波器合成滤波器一维的小波和尺度7.Wavelets and Multiresolution ProcessingFig.7.24(Cont),(yxH检测水平细节的2维小波xy7.Wavelets and Multiresolution Processing不同小波基的小波变换7.Wavelets and Multiresolution ProcessingDaubechies orthonormal 8tap filters7.Wavelets and Multiresolution Processing8pa
10、ds Symlets7.Wavelets and Multiresolution Processing双正交CohenDaubechiesFeauveau 17/11 wavelets7.Wavelets and Multiresolution Processing小波在图像处理中的应用步骤：1.计算一幅图像的2维小波变换2.改动变换频谱3.计算反变换由于DWT的尺度和小波尺度和小波向量被用作低通和高通低通和高通滤波器，大部分付氏变换域的滤波技术都有对应的小波域滤波技术。7.Wavelets and Multiresolution Processing例7.13 小波基边缘检测7.Wavele
11、ts and Multiresolution ProcessingMultiscale edge detection7.Wavelets and Multiresolution Processing例7.14 基于小波的噪声消除a.原图b.2尺度的低通c.最高分辨率细节的高通d.c与a的差异,包含大部分原图噪声和一些边缘。e.2尺度的细节全部丢弃，仅用低分辨的近似f.e与a的差异,边缘信息增加。7.Wavelets and Multiresolution Processing7.Wavelets and Multiresolution Processing消除图像噪声的通用小波基程序：选择小波
12、（比如Haar,Symlet,)和分解的级数P.计算该噪声图像的FWT。对各级细节（小波）系数阈值化。硬阈值化：对系数的幅值低于阈值者置零。（系数不连续）软阈值化：硬阈值化后将剩下的系数拉伸到零。基于JP级的原始近似系数和从J1到JP的改动的细节系数，进行小波重建。7.Wavelets and Multiresolution Processing7.6 Wavelet Packets 小波包7.Wavelets and Multiresolution Processing与傅立叶变换比较 傅立叶变换的基函数处在频率域，不在时空域中。因此，它们将频率分离出来了，但是没有将特定频率的出现分离出来。傅立叶变换中的微小频率变化将会导致整个时域发生变化。小波同时处于频域（通过膨胀）和时域同时处于频域（通过膨胀）和时域(通通过平移）中过平移）中，可以在不同的尺度和分辨率下分析数据，其能力比简单的余弦要强得多。比如对尖峰或阶跃函数的建模。7.Wavelets and Multiresolution ProcessingProblem 7 7.2,7.6,7.7,7.9,7.10a,b 7.11,7.13,(7.16)
