1、数学史：从象牙塔到小学课堂江苏启东市教育局教研室 蔡宏圣博客：1话题的背景在很多小学老师的视界中，数学教育缺失了一只眼睛。例数学史的运用在当下的课堂是种时尚。时尚中的缺憾：爱国主义 标签 学生感受 例2“三角形的认识”中的教学意外34思 辨数学史的运用是为了数学史的教学还是为了数学的教学？数学史的运用是外在于课堂教学要素还是内化于课堂教学要素？5数学史内化于课堂要素教师、学生、教学内容是不可缺失的课堂教学三个基本要素。之于教师，数学史是调适数学观念的重要基础之于学生，数学史是把握思维历程的独特视角之于教学内容，数学史是厘清数学本质的厚实背景6对数学的理解不同教学方式也不同78数学本质对于数学教
2、学的影响英国著名数学教育家斯根普说，“我先前总认为数学教师都是在教同样的学科，只是一些人比另一些人教得好而已。但我现在认为在数学这同一个名词下所教的事实上是两个不同的学科。”9现场调查说起数学，你脑海中浮现下面哪些词？抽象 严谨 生活常识 直观 具体 枯燥 符号 形式化 逻辑 证明 计算 有趣 猜测 错误 准确 10数学教师的数学观数学教师更倾向于把数学看成一个与逻辑有关的、有严谨体系的、关于图形和数量的精确运算的一门学科。（香港学者 黄毅英）教师的数学观源自自身的数学学习经历和教学经验。11抽象和严谨是数学的本来面目吗？十进制与十指坐标与蜘蛛克拉与种子正负数与颜色各种符号的意义（自然和方便为
3、上）等号 字母12等号的产生和方程有关。15世纪就有人用水平的破折号“”表示等号。公元1557年，英国御医、牛津大学数学教授雷科德首先将一条破折号上平行地添加一条，放两条平行线，同样长的一对双生子“=”表示相等，任何两件东西，不可能比它们更相等了。13米 metre m千米 kilometre km分米 decimetre dm厘米 centimetre cm毫米 millimetre mm吨 ton t克 gram g千克 kilogram kg14抽象和严谨是公理化的要求数学的抽象、严谨只是一门数学分支成熟立说时的“外衣”。数学在其诞生之初，充满着浓郁的生活常识的痕迹，认识过程充满了曲折、
4、猜测、直观，乃至错误和不可思议。一个数学知识最原始的部分，既不神秘也不一个数学知识最原始的部分，既不神秘也不严谨，没有一点形式逻辑的印记，认识的提严谨，没有一点形式逻辑的印记，认识的提升恰恰带有浓重的按照生活事理逻辑自然衍升恰恰带有浓重的按照生活事理逻辑自然衍生的痕迹。生的痕迹。15数学两重性对数学教学的启示数学内容的形式性和数学发现的经验性 一个数学教师应该在在数学的具体源头和抽象形式之间来回穿行，关注儿童们生活经验的现实，寻找数学知识的逻辑源头，领悟其间的数学过程和思想方法，由此，组织的数学教学可以顺应着生活事理的逻辑走向，孩子们的学习可以像呼吸一样自然和朴素。16案例：乘法的初步认识17
5、总结一一个认真研读数学史的教师，就可以自我调适建立在经验层面上零散的、片面的数学观念，虽然形成的先进数学观念也不系统，但在某一方面能更切合数学发展的本来面目。数学史起码提供了这样的视数学史起码提供了这样的视角，让我们看到了数学的深刻和抽象实际上孕育在角，让我们看到了数学的深刻和抽象实际上孕育在具体和直观中，具体和直观中，也许在课堂中我们看不到显性的、事实性的数学史实，但却能影响着一个教师的数学教育思想-努力用浅显的情境去凸显数学思想的努力用浅显的情境去凸显数学思想的深刻内涵，使得数学教育具体中见深邃，浅显中见深刻内涵，使得数学教育具体中见深邃，浅显中见厚重，使得教学能焕发出思想的光芒、经典的力
6、量。厚重，使得教学能焕发出思想的光芒、经典的力量。18读懂儿童是教育促进发展的前提就数学学习来说，读懂儿童不是泛化意义上追求对儿童的理解，而应突出地表现为细腻地、科学地对儿童在数学学习中思维活动做深入的了解和分析，大致把握儿童在数学学习中可能出现的困难。匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”19案例：认识负数中国是最早认识和使用负数的国家。据早在2000多年前的九章算术记载，那时的人就有了“粮食入仓为正，出仓为负；收入的钱为正，付出的钱为负”的思想。1700多年前，我国数学家刘徽在注解九章算术
7、时，更明确地提出了正负数的概念，并用不同颜色的算筹来表示它们。这些认识中国比印度要早600多年，比西方国家要提前1500多年。20基于数学史实的追问现在看似理所当然的事情，在最初认识负数的时候，有哪些困难？难，难在哪里？使用负数到接纳负数，那是两个不同的认识阶段。那接纳负数，意味着在理性认识上要建构起哪些认识？生活中相反意义的量，一个用正数表示，一个就用负数表示，怎样让孩子们认识到0在其中的重要作用？在历史上，数学家们在认识的提升中遇到了什么困难？他们的困难对于儿童的数学学习有无借鉴意义？21“荒谬”的负数在数学史上，把负数称为“荒谬的数”、“虚假的数”的人不在少数，其中不乏当时的大数学家。（
8、不能指物为数）德国数学家斯蒂菲尔在整数算术中称从零中减去一个大于零的数，得到的数“小于一无所有”，是“荒谬的数”。1表示一件物体，2表示两件物体，0表示什么都没有，“什么都没有”就到了尽头了，而负数比零还要小，比“什么都没有”还要少，这怎么可能呢？22“认识负数”教学的重构重构“0”的意义，和已有认识的实现融通，才赋予了负数的理性意义。23总结二人类完成了一次认识的跨越之后，回顾头来看往往认为那是理所当然的事情，因此，作为教师要准确把握学生在初次学习中的学习障碍就有难度，而历史上数学家们在当初认识提升的过程中，留下的困惑和挫折却为我们了解此问题提供了独特的不可替代的视角。关注数学历史中人类认识
9、的挫折和失败，据关注数学历史中人类认识的挫折和失败，据此琢磨人类认识提升所经历的阶段，其中走此琢磨人类认识提升所经历的阶段，其中走过的弯路、碰到的认知障碍等等，为准确把过的弯路、碰到的认知障碍等等，为准确把握学生学习的思维历程提供了一种可能握学生学习的思维历程提供了一种可能。24数学本质之于数学教学的意义在哲学层面上，有这样的数学教育规律：问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么。如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。研究所教内容的数学本质，是数学教学的永恒话题。25数学史是厘清数学本质的厚实背景课堂中我们所接触到的数学知识体系，是经过精心组织的公理化的结果，已经
10、和其历史过程割裂开来。但一个数学概念，作为人类千百年思维抽象的结晶，仅仅看它的最终形式化表述，普通人就很难深入把握其确切的本质意义。英国数学家阿蒂亚爵士说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最原始的定义，以及最初的一些结果。最重要的信息却常常包括在容易的部分，甚至在几个简单且深刻的观察之上！26案例：用字母表示数例如，“用字母表示数”在教材配套的教师用书中，对其重要作用表述为这是人类认识的一次飞跃，但教师实际上很难理解其真正的意义。反而有教师认为，用字母表示数是因为不知道这个数是多少。27让历史告诉我们（1）初等代数的中心内容是解方程。最早的代
11、数问题：已知“堆”（音：何）与七分之一“堆”相加得19，求“堆”的值。人类在解方程中的探索是按照两条线索展开的。28让历史告诉我们（2）阿拉伯数学家阿尔花拉子米和他的还原和对消的科学。把一个正方形面积加上其一边长度之十倍等于39时，此正方形必是什么（用现代符号表示即为x210 x=39）?花氏的解答为：把所加边长的倍数除以2，得5。把该数自乘，得乘积25。把此数与39相加，得64。取此数的平方根得8，从该数中减去边长倍数之半，剩下3。此即所求正方形的边长，因而所求正方形面积等于9。29让历史告诉我们（3）古埃及人用“堆”来表示特定的未知数；古中国，曾经用天、地、人、物四个汉字来表示四个未知数；
12、花拉子米本人在用完整的文字来叙述方程解法的同时，也没有妨碍他把未知量称为“东西”或（植物的）“根”。古希腊丢蕃图是最早使用简略记号的代数学家。在他的著作里，将未知数称为“题中的数”，并用希腊字“数”的第一个音节的缩写来表示。30让历史告诉我们（4）一个个音节的缩写，使得每一个缩写其本身都具有先入为主的意义，因而就只能表示一个个特定的数量，只不过有所简略而已。因此，一个个方程都各具独自的特点，意大利数学家卡当的巨著大法中记录的方程种类有66中之多。17世纪，法国数学家韦达寻找能求解各种方程的通用方法。31让历史告诉我们（5）韦达在分析方法引导的名著中这样写道：在这里，我们用一种技巧来帮助我们区别
13、已给的量和所求的或未知的量，这就是用一种有永久性质的、易于理解的符号体系例如，用A或其他母音字母表示未知量，用B、C、G或其他子音字母表示已知量。32让历史告诉我们（6）重要里程碑意义：超越了各类数量的具体特点，从一般意义上用字母来表示它们，滤去了原先代数活动中的具体意义，省略了数学关系的实际情境，去掉了实际语言带来的差别。这样，就把原先各具特点的方程归结成了通用的形式，使得代数变得能适应所有场合的普遍情况，极大地扩展了代数的应用范围。33读 史 明 智用字母表示数意味着：缩写符号 未知量已知量 特定变化人类认识提升的三个阶段：文辞代数 缩写代数符号代数。34总结三抽象的数学概念只有放在历史背
14、景中，和抽象活动的历史过程结合起来，才能变简练为丰富、变艰涩为生动，才能较完整地呈现出其经验性和演绎性二重统一的本质，进而才能更容易被后来的学习者调动起全部的经验积累来支撑其建构概念的全部含义。我们要在数学知识的学校形态、科学形态和原始形要在数学知识的学校形态、科学形态和原始形态之间来回穿梭，从更宽广的视野研读教材，思索态之间来回穿梭，从更宽广的视野研读教材，思索领悟知识的数学本质、思想内核，把握人类认识提领悟知识的数学本质、思想内核，把握人类认识提升的大致过程。升的大致过程。只有这样，才能为学生对数学获得更好的理解提供生长点。35从数学史到数学教育小学数学中引入数学史不是为了数学史的教学，而
15、是为了数学的教学。从这个意义上说，数学史对于数学教学来说，还只是重新应用和思维加工的材料。一个教师知道了一段数学史实，他设计的教学能有多大的创新性和发展性，取决于他在研读数学史中的再创造程度。36策略一（1）基于数学教学，即数学史的研读要确立为了数学教学的价值取向。为了教学的数学史研读，是为了站在历史的高度，厘清知识的来龙去脉、数学思想的演进走向，更好地把握住所教数学知识的知性本质，以求得我们的数学教育能注入深刻和厚重。所以，为了教学的数学史研读，是立为了教学的数学史研读，是立足于现实中的足于现实中的“人人”而去关注历史中的而去关注历史中的“人人”和和“事事”。37策略一（2）不能只关注史实，
16、而要通过历史上不同数学事件的比较，提炼数学思想发展的规律，不断优化自己的数学观念；要透过某知识历史演进的脉络，提炼出人类认识逐步提升的顺序；要善于抓住历史的表象，立足于认识论的角度多些追问；透过历史上人类认识曾经走过的弯路、数学家们的挫折和困惑，提炼出人类认识某知识的障碍；要立足于“给孩子们正确的数学观念和良好的学习情感”的视角，捕捉有教育意义的历史故事和历史事件。38策略一（3）研读所依据的材料不是原始的数学史料和文物，而是各种版次的数学史著作；研读方法上要围绕同一个事件，研读不同版本的数学史，从不同的数学史著作中丰富此数学事件的内涵，更要参考数学史上数学家的传记等资料；在缺乏资料的情况下，
17、不妨运用“逻辑推演”的方式对某知识发展的历史过程作出解释。一方面可以站在现代数学的高度，对古人数学思考和方法的走向进行数理分析，以合情推理来把残缺的历史资料统合起来；另一方面，可以依据数学发生发展的规律，对某知识的形成作出解释。复原 39策略一（4）40策略二（1）宽于数学史实，即数学史的考察要和其它数学教育理论结合在一起。数学史所揭示的数学思想发展历程，其最终可以归结为数学家们的思维发生、发展的过程，因而，数学发展的本质和数学教育心理等其他数学教育理论所揭示的认知发展规律是相通的。41策略二（2）从历史上看，算术、代数、几何、三角和微积分都不是通过操作形式化的符号而产生的，任何一门学科最初都
18、是通过直观的方法建立起来的，数学家大都也是直观地思考问题，然后才用演绎的形式，用文字、数学符号和形式逻辑来表述他的论点。42策略二（3）数学教育心理学“表征”43策略三（1）从历史中汲取的教学素材和启示，只不过提供了数学教学的另一种可能，能否成为现实的课堂，还应该切合教学的现实状况课程标准的实际要求、这一内容的教科书编写要义、学生可能的接受水平等，即在数学史和教学现实状况间应该达成一种平衡，以顺应课堂教学的特点。44策略三（2）课堂教学中运用数学史，不是完全再现历史历程，而是再现数学发展进程中的经典瞬间，让学生接受数学思想的洗礼。为此，荷兰著名数学教育家弗莱登塔尔说：“孩子应该重复人类的学习过
19、程，但并非按照它的实际发生过程，而是假定人们在过去就知道更多的我们现在所知道的东西，那情况会怎么发生。”因此，这其中重要的是符号化而不是重要的是符号化而不是符号本身，是语言描述而不是语言本身，是符号本身，是语言描述而不是语言本身，是定义化而不是定义本身，定义化而不是定义本身，如此等等。45策略三（3）数学史也只有和教学现实融合在一起，才能明晰课堂教学的整体思路，不然教学就会迷失在浩瀚的数学史料中，失去应有的教学目标。46结束语尽管数学史不是解决一切数学教育问题的灵丹妙药，但它对于数学教育的促进作用已成大家共识。数学史就其本质而言是人类数学思想的发展史，而数学教育的高境界是数学思想的感悟和熏陶，因而，数学教育无疑能从数学史中汲取更丰富的养分，数学史也完全能够促使数学教育变得更加丰富。47 谢 谢 倾 听48
