1、第二十章 重积分1 1 重积分的概念 分别讨论下面几种情况.先考虑一个物理问题：求物体的质量，由于物体的几何形状不同，lMl()x,a bxM()baMx dx物体为一细棒(直线段):,长度为，则质量为 2)设质量分布不均匀,设是直线上端点坐标为的不点的(线)密度.那么细棒的质量为1、均匀细棒在1)若密度分布均匀设2、物体为一块平面薄板(看成平面区域)M,D1)若均匀,则质量,其中分别表示的密度和面积.D(,)x yMDn12,n 12,n i(,)iii iiM(,)iii 2)设不均匀,设薄板对应平面区域,它的(面)密度函数为求薄板的质量:把分成任意块可求面积的小块,这些小块的面积仍记为;
2、在上任取一点 那么的质量就近似等于(,)iiiiM DM11(,)nniiiiiiMM 即,因而的质量近似为 D1lim(,)niiiiM 易知,对取极限的分法越细(块数增多,每小块面积变少),近似程度越高.一维(定积分.细棒):1max0ii nx 二维若用1max0ii n？则不能保证(,)iiiiM i(,)ii i(一个平面图形的值作为小块误差很大)，不论它的面积多小都可能有其上的两点，它的距离很大,从而用一点密度可能如何刻划 的分法越来越细?DiS为了保证中的任意两点的距离任意小,引入平面集合 的直径 SS()d s称中所有两点间的距离的上确界为的直径.记为,即 1212()sup(
3、,)|,d Sr p ppS pS1maxii nd 0d D01lim(,)niiidiM 设,则便描述了 的分法越分越细.从而的直径D(),f p12,n ip1()niiif p设为一几何体，这个上定义了一个函数将此几何形体分为若干可度量的小块它们的度量仍记为此。并令在每一小块中任取一点，做和式0I()f p()f p()If P d如果 当时，的极限存在，且不依赖于分法和点的选取。在上可积，并称此极限值为在上的积分记为根据的不同形态，进一步给出上积分具体表达式几名称：则称设 为其极限的直径p几何体是可以度量的，在Rieman积分的定义,a bDD01(,)lim(,)niiiiDf x
4、 y dxdyf 是一个区间是一块可求面积的平面区域,那么,那么上述积分就是定积分.若1、2、若上的积分就称为 二重积分,在直角坐标下即D二重积分的几何解释:以 为底,以曲面(,)zf x y曲顶柱体的体积 为顶的 称为面积微元dxdy(,)Df x y d(,)Df x y dxdy记为或V(,)f x y zV(,)Vf x y z dV(,)Vf x y z dxdydz是一块可求体积的 立体，那么在上的积分称为三重积分,记为 或3、若LL(,)Lf x y z ds4、若是一条可求长的空间曲线段,那么第一类曲线积分,记为上的积分就称为SS(,)Sf x y z dS5、若 是一可求面积
5、的曲面,那么上的积分就称为第一类曲面积分,记为(,)1,f x y(DdxdyD的面积）DD12,D D12DDD12,D D()f pD()f p12,D D12()()()DDDf p df p df p d 1)被积函数2)(线性)3)(可加性)若由组成:,且除边界外不相交,在充要条件是在均可积则二重积分的基本性质且 可积的()()DDf p df p d5)6)(积分中值定理)设 是有界闭区域（因而是连通的），在0P(,)f x y上连续，则存在 ，使得 D0()()Dfp dfp D DD 4)(单调性)若与都在 可积，且在的每点fgD()()f pg p()()DDf p dg p
6、 d都有，则PD(,)f x y 定理1.函数 在有界闭区域 上连续二重积分的性质（补充）D则 在 上可积.(,)f x yD 定理2.函数 在有界闭区域 上可积(,)f x y(,)f x y则 在 上有界.D 定理3.函数 在有界闭区域 上有界，且y()f P间断点只分布在有限条光滑曲线上，则 在 上可积.10sinxxyIdxdyy x复习 1)曲边梯形的面积:()dcAf y dy2)已知截面面积的立体体积:()baVA x dx 2 重积分化累次积分 1.二重积分化累次积分00()(,)dcA xf xy dy()(,)dcA xf x y dy()baVA x dx(,)bdacd
7、xf x y dy(,)DVf x y dxdyNoImage又 从而有(,)(,)bdacDf x y dxdydxf x y dy(,)f x y,Da b,c d,a b若在矩形区域上可积,并且对()(,)dcA xf x y dy上的任何x含参变量积分 存在,则 推论1(,)(,)bdacDf x y dxdydxf x y dy(,)dbcadyf x y dx(,)f x y0,1D 0,1设 在上连续,则定理 20.1例例1.1.2()Dx xydxdy0,1D 0,1计算,其中解解:2()Dx xydxdy11200()xdxxydy13011()03x xydx13301(1
8、)3x xxdx1201(331)3xxxdx43211 3103 42xxx112 矩形区域简单区域一般区域 下面:简单区域:区域的边界与平行于某一坐标轴()xy轴或 轴至多两点,或有部分边界是平行于坐标轴的.的直线相交12(,)|,()()Dx yaxb y xyyx12(,)|,()()Dx ycyd x yxxy 用不等式表示:或定理 20.2定理定理20.220.2 (简单区域)两种情形 21()()(,)(,)dxycxyDf x y dxdydyf x y dx224Dxyd x d y(1)(2)例例2.2.D0,1,yxyxy求 ,其中是围成 解解:做出的图形 (强调)D 0
9、,1 x 0yxD0yx01xzxy122220044xDxy dxdydxxy dy16002 cos 2 sindxxt xtdt D1226004cosx dxtdt360141cos2032txdt411s in 263240tt13332平行于 轴的直线去截,则对每一,有故可表示为:,因此 对内层定积分做变量代换，则 空间区域如图20-9所示,它在D面上的投影1xy 由0,0 xyy所围成(图20-10).用平行于D轴的直线去截 0,1 x 则对每一个01yx ,有D.因此0 1,y x 可表示为01x,故体积11cos(cossin)00yyyy 1201(1)02xxxyydx1
10、301(1)(1)2xxxdx2341111(1)0238xxx724(,)DI fxy d x d y 解:例例3.3.2 sinyxt1xy0,0 xyOx y求由 围成的区域的体积 例例4.4.3yx用两种积分的不同顺序将二重积分 D化为累次积分,其中30,y yx由2xy围成.两曲线2x y 和(1,1)的交点为y.考虑先对y的积分.用平行于D轴的直线去截 0,1 x,当30yx时有1,2x当02yx 时有D.这样1D可分为两部分2D和2222:,4,4D y x y x x y x y 其中 2:01,Dyx 01y12x(,)Dfx y dxdy因此 3100(,)xdxf x y
11、dy 2210(,)xdxf x y dyx在考虑先对x积分.用平行于D轴的直线去截 0,1 y,则对每一132yxy有D,故0 1;x 又可表示为,0,x yJu vu v13120(,)(,)yyDf xyd x d y d yf xyd x 因此(,)fxy解解:例例5 5.计算积分 D这个累次积分是先对x积分,再对sin yy积分.而D 根据积分限知,将上述积分表示为二重积分时,xy x为01xD即,yxyx由曲线0,x的原函数不能用初等函数表示.因此按上述顺序进行累次积分是行不通的.为此考虑改变积分顺序.1x 和D围成.作出x的图形如图20-12.用平行于D直线去截 0,1 y,对每
12、一2yxy,有10sinxxyIdxdyy,于是有 轴的积分区域计算量（繁，简）能否积出来(,)Vf x y z dxdydz1100sinsinydyyydx210sinyyydydxy总结 1、由例4,例5 看出,将二重积分化为累次积分时,积分次序对计算是有影响的。120sin()yyy dyy2、步骤：1)作出的图形 2)(根据被积函数及积分区域)确定积分顺序.即决定对哪一个变量先积分 3)确定累次积分的积分限 (原则:利用图形,后积分的变量先定限)V(1),a b c d e f是长方体,xuvyuvOy z dd,Dx yxy ,(,)fea bc ddxdyf x y z dzV2
13、.三重积分化为累次积分(三次积分)可由质量来解释一下：对于固定 与长方体截面的质量（小薄片）所有小薄片的质量连续累加,(,)bac de fd x fx y z d y d z（2）设ze 介于平面zf和,z e f之间。对每一个O x y用平行于Z z的平面V去截立体zD的截面(,)(,)zfeVDfx y z d x d y d zd zfx y z d x d y ，则有zD一般z依赖于zD，若O xy可表示为（投影到yexeyxdd22面）zD12(,)(,)x y zx x y z(,)Vfxyzd x d y d z则2211()(,)()(,)(,)fy zx yzey zx y
14、zd zd yf xyzd x zD若:D z表示为12()()xyxxy12(,)(,)y x zyy x z 20d42xex则 (,)Vf x y z dxdydz V3）设O xy在xyD面的投影z是简单区域，且平行于xyD轴且通过V的内点的直线与:xyD的边界相交至多两点见图20-16：12()()a x by z y y z (,)Vf x y zdxdydz则 2212()(,)()(,)(,)by xz xyay xz xyd xd yf xyzd z V也可以把,S Ju v d u d v 投影到(,)b d fa c ed xd yfxyzd z面或Oxz面.得到类似的公
15、式 设 例6：计算 V其中0,0 xy由0,1zx y z )1(limd42220aaxexe围成 解解:区域3(1)Vd x d y d zIxyz 在0,0,x y 平面的投影由1xyV围成,这时区域0z的底为1zx y,顶为130(1)x yDdzIdxdyx y z .因此 111300(1)xx yodzdxdyxyz 11201102(1)xoxydxdyxyz 11201112(1)4xodxdyxy1011102(1)4xydxxy10113214xdxx2111(3)ln(1)0028xx15ln 228222()VIx y zd x d y d z 例7.求V,其中2 2
16、 22 2 21.x y zabc是椭球体,zc c 解：显然，对于每一O x y用平行于Z z面的平面:zD去截椭球体，得一椭圆面 222222221,11xyzzabcc 22222222111.zzzaba bccc 它的面积为 222.VVVIxdxdydzydxdydzzdxdydz 显然22.zccVDzd x d y d zzd zd x d y 由前面的公式有zzDd x d yD 根据二重积分的几何意义知，22221ccVzzd x d y d z z a bd zc的面积。因此24320142.15cabzz dzabcc2341 5Vyd x d y d za b c 由
17、椭球体的对称性易见22d d,xyDex y于是5x2222224.1 5VIx y zd x d y d za b ca b c 在上例的求解过程中，我们用到了以下一些技巧，使计算大大简化了。1、利用积分域的对称性和被积函数的对称性，只需计算三项积分中的一项 2、我们选择了最后对积分，即22zccVDz dxdydzz dzdxdy是因为一方面被积函数仅是的函数而不依赖于y和zDdxdy另一方面234;1 5Vxd x d y d zab c总之在求重积分时，应同时兼顾到积分域和被积函数的特点，合理地选择积分次序，尽可能简化计算。的值可利用二重积分的几何意义直接得到。引理1设是内的一个正方形
18、，左下方顶点为 ,Dfx y d x d yfu v u v J u v d u d v (,)(,),(,),(,)F u v w fx u v w y u v w z u v w边长为h，经T映为D内的一个曲边四边形，记为S，则S的面积,3 重积分的变量代换1z h(h)定理20.3设变换T:(,)Vfxyzd x d y d z把Ouv平面上由逐段光滑的闭曲线围成的区域 ,Dfx y d x d yfu v u v J u v d u d v 一一映射为Oxy平面的区域D，且V在 ,Dfx y d x d yfu v u v J u v d u d v 有二阶连续偏导数，(,)(,)(,
19、)xxuvwyyuvwzzuvw,当cos,0sin,02,xrryrzzz 而,u v 是定义在D上的连续函数，则00,uv例例1.计算:1 4,1 4,D u v 其中31:0,Dyx解解:作变换175dddd,34Dxy x yuv uvu vx y,1,10,3xyuvJuvxyuv 221:,yxTuvxy22zxy则则例例2.计算.:222ayxD其中)()(,),(21xyyxybxay xD解解:在极坐标系下sincosrzryxx)1(2ae2xedd rr原式re rard02are0221220d),(z yx故2re的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于坐标计算.注
20、注:利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上,当D 为 R2 时,22d dxyDex y12()()y zyyz2211()(,)()(,)(,)fx zy xzex zy xzd zd xf xyzd y 利用例6的结果,得Oxyx故式成立.作极坐标变换O xy则之上，由圆柱面 截出的空间立体的体积。22()dd,DVxyxy例例4.计算在旋转抛物面 之下，平面0z 222(,)()D x yxaya cos,sinxryr解解:记平面区域222()xaya212004213abcVd crabrdr4442038c o s2ada32222(
21、)Vzd x d y d zxyz2 cos223202()d daDVxyx ydrdr例例5.计算椭球体 的体积。cos,sinxarybr作广义极坐标变换:02,01,Dr 则222221d d,DxyVcx yab解解:2222221xyzabc(,)(,)xyJabrr:,02 cos,22Dra (,),(,)x yJ u vu v2.三重积分的变量代换三重积分变量代换公式公式:令令:D对应雅可比行列式为),(),(wvuzyxJ13:2,Dyxy ,c o s,s i n,Vfx y z d x d y d zfrrz r d r d d z 其中（1）柱坐标变换c o ssin
22、 0,sinc o s0,001rxyzJr zrrr z这时c o ss in,0s ins in,02c o s,0 xrryrzr 因此变量代换公式为,fxy例例6.求积分 2222(,)1,xyDx yab作柱坐标变换则解解:其中 是 与 及 围成2 21xy 3co ssin,0co ssinsin,02co s,02xrrayrzrc o s,01s i n,02,xrryrzzrzh2220 xyz(z)V222 2()(0)xyzaz a2133002222222()()hrVzzd zd xd yd zd rd rx y zr z （2）球坐标变换2,cos sinsin s
23、incos cossin sincos sinsin cossincos0sinx y zJ rrrrrrrr 220122lim1,1,nxiiyiiiixyDSffDfx yfx y dxdy 这时221,c o sxyd x d yd Sfxyfxyd x d y因此变量代换公式为例例7.求 所围区域的体积 作球坐标变换则解解:212(1)2hh (,)(,)bdacDfx y dxdydxfx y dy32cos22000sin3aVaVdxdydzddrdr4 曲面积分曲面积分曲面S的面积是D上的一个二重积分，记为 2,c o ss i n,s i ns i n,c o s s i
24、nVfx y zd x d y d z frr r r d r d d 面积元为5 重积分的物理应用重积分的物理应用 1 质心设物体占有空间域 ,),(kkk有连续密度函数则 将 分成 n 小块,),(kkk将第 k 块看作质量集中于点nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(例如,0系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,此质点在第 k 块上任取一点质心mass，centre of质量中心或称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。令各小区域
25、的最大直径zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(即得同理可得zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当z yx,dddVzyxxx则得质心坐标：,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为 zyxVddd,),(yx为若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDddMMy(A 为 D 的面积)得D 的质心坐标:则它的质心坐标为MMxxM其面密度 yM.),(z y x 对 x
26、 轴的 静力矩 对 y 轴的 静力矩 2 转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数vzyxyxd),()(22该物体位于(x,y,z)处的微元 zyxzyxyxIzddd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zIdyz y x z y xIxd d d),()(1y xx 2RzD1对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.类似可得:zyxzyxIyddd),(zyxzyxIoddd),()(22zy)(22zx)(222zyxDyxyx),(),(对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是
27、平面薄片,面密度为DxyxyxIdd),(DoyxyxIdd),(x则转动惯量的表达式是二重积分.Dyo2y2x)(22yxDyyxyxIdd),(222zyxr 3 引力，连续),(zyx G 为引力常数设物体占有空间区域,vrxzyxGFxd),(d3物体对位于原点的单位质量质点的引力利用微元法,vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3r在上积分即得各引力分量:其密度函数vdzD1yFd)(1y xx),(zyxFFFF 引力元素在三坐标轴上的投影分别为vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3,d),(3DxxyxGF对 xo
28、y 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为DyyyxGFd),(3)(22yx 内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 :若积分区域为)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf)()(,),(21yxxyxdycyxD 若积分区域为xy)(1y xx Ddc)(2yxx)(1xyy)(2xyy by)(1y xx az y xddddz ddddddsin2rr*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxz yxf积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成;习
29、题,d222DyxRcos0Rr 22cos022dRrrRr原式2033d)sin1(32R)34(313R22dx Ryx 22解:利用极坐标其中D 为周圆区域所围成的闭区域.计算二重积分z y x z y x fd d d),(222,xyyxz化为三次积分,其中由曲面0,1zy:提示提示:积分域为220d),(yxzzyxf原式220yxz 及平面12 yx11 x12dxy11dxx所围成的闭区域.z)(1y xx zD1.把积分zD22222Rz yx zRzyx2222及,ddd2zyxzzDyx1dd其中是两个球 提示提示:由于被积函数缺 x,y,原式=zzz RzRd)2(2
30、022zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRozD1)(1y xx y2R,d)(22v z y.计算积分xy22其中是由xoy 平面上曲线,200:arD所围成的闭区域.提示提示:利用柱坐标522drx原式5221 xr绕x轴旋转而成的曲面与平面100r20rrd100320d3250:ozD1y)(1y xx 5,d d)(2 22y xe y x xIy xD.计算三重积分z.计算积分,22xy其中D 由12,4 yxyxxy22所围成.提示提示:如图所示4246y5x,12DDD 内有定义且在2),(Dyxy x fDyxd)(2d)(Dy
31、x1d)(Dyxyyxyx1222d)(连续,所以46d yyyxyx422d)(24d y15115431D2DD1,1,xy x y补充题例例1.1.计算二重积分;122yx(1)D为圆域Ddyx,)(2)D由直线1解解:(1)利用对称性.x5,12DDD DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4y xe y xDy xd d22yxeyxDyxdd122围成.12R1)(1y xx y1D2Dxyxy,xy,21DD将D 分为yxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32,d d)35(Dy x y x（）积分域如图添加辅助线利用对称
32、性,得2.2.计算二重积分044222yxyx其中D 是由曲2223)2()1(yx所围成的平面域.解解:9A其形心坐标为:面积为:DyxxIdd59 23)1(5 ADyxydd32,1 yx积分区域线形心坐标DyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx351,d d)sgn()1(2y xx yIDDD,12DDD x53.3.计算二重积分,dd)22()2(22yxxyyxID122yx2xy 在第一象限部分.解解:(1)21,DD1ddDyxI两部分,则1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx10 11:yxD，1D把与D 分成21,DD作辅助线y)(1y xx 1D2
33、R1D,xy(2)提示提示:yxyxDdd)(22两部分 2DyxyxDdd)2(xy说明说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.Dyxdd2作辅助线xy将D 分成y xxyyxIDdd)22(222)12(32 xysin2,12DDD x51d),(Dyxf4.4.yyxyxfarcsinarcsind),(10dyIxyyxfsin0d),(0dx0sind),(xyyxf2d xyyxyxfarcsin2arcsind),(01dy xyy x fxIsin020d),(d如图所示交换下列二次积分的顺序:1D2D2d),(Dy x f,)0(,0)0(,)(存在设ff Cu f解解:5.5.，求)(1lim40tFtt)(tFtrr r ft F02020d)(dsind)(解解:在球坐标系下trrrf02d)(440)(limttFt3204)(4limtt t ft利用洛必达法则与导数定义,得ttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(22222220其中)0(fm ax作业 P312 2，3，5，6，8；P331 1，2，3，5，7，8；P338 1；
