1、返回返回上页上页下页下页目录目录第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积 第六章第六章 四、小结与思考练习四、小结与思考练习一、向量的数量积一、向量的数量积二、向量的向量积二、向量的向量积三、向量的混合积三、向量的混合积*1/2/20231返回返回上页上页下页下页目录目录1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1.定义定义设向量的夹角为,称 记作数量积(点积).引例引例 设一物体在常力 F 作用下,F位移为 s,则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s1/2/20232返回返回上页上页下页下页目录目录,0时当a上的投影为在
2、ab记作记作故,0,时当同理babj rPb2.性质性质为两个非零非零向量,则有Prjabcosbbabaaj rPbaaa)1(2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba1/2/20233返回返回上页上页下页下页目录目录(1)交换律(2)结合律),(为实数abbaba)()(ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3)分配律cbcacba事实上,当0c时,显然成立;时当0cc()abbabcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacbPrj()cab3.运算律运算律1/2/20234返回返回上页上页下页下页
3、目录目录ABCabccos2222abbac证证:则cos2222abbac如图.设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,例例1 证明三角形余弦定理1/2/20235返回返回上页上页下页下页目录目录设则,10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,5.两向量夹角的余弦的坐标表示两向量夹角的余弦的坐标表示,得4.
4、数量积的坐标表示数量积的坐标表示1/2/20236返回返回上页上页下页下页目录目录)(MB,)(MA BM,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAM AMB.A解解:,1,1 0,1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故例例2（补充题）（补充题）已知三点（自学课本（自学课本 例例2）1/2/20237返回返回上页上页下页下页目录目录二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例 设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠
5、杆上的力FoPFMFM 1/2/20238返回返回上页上页下页下页目录目录定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考:右图三角形面积abba21S1.定义定义1/2/20239返回返回上页上页下页下页目录目录为非零向量,则，0sin或即0aa)1(0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03.运算律运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(证明证明:2.性质性质1/2/202310返回返回上页上页下页下页目录
6、目录)(kajaiazyx)(kbjbibzyx设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式1/2/202311返回返回上页上页下页下页目录目录kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx
7、(行列式计算见行列式计算见 课本附录课本附录)向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法1/2/202312返回返回上页上页下页下页目录目录,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(CBA角形 ABC 的面积。（补充题）（补充题）解解:如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三例例3 已知三点自学课本自学课本 例例31/2/202313返回返回上页上页下页下页目录目录解解:记368(8 03)010,ijkbaj368(8 03)010,ijkbaj368(8 03)010,ijkbaj1(8 03)73,b
8、b1(8 03)73,bb1/2/202314返回返回上页上页下页下页目录目录证明证明:由三角形面积公式ABACSABC21BCBA21CACB21AcbsinBacsinCbasin因ABACBCBACACBBbAasinsinCcsin（注意与课本证法不一样）（注意与课本证法不一样）1/2/202315返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结设1.向量运算向量运算加减加减:数乘数乘:点积点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(,),(,),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa（结果是一个标量）（结果是一个标量）叉积叉积:
9、kjixayazaxbybzbba1/2/202316返回返回上页上页下页下页目录目录2.向量关系向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba课后练习课后练习习题习题6-2 1；3；4（2）；）；6；8；91/2/202317返回返回上页上页下页下页目录目录思考与练习思考与练习1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.ba,2jibkjia,baba及2.已知向量的夹角,43ba,且.|ba 求,2|a,3|bABCD在顶点为三角形中,)2,1,1(A)0,1,1(B的和)1,3,1(C求 AC 边上的高 BD.3.答案答案答案答案答案答案1/2/202318返
10、回返回上页上页下页下页目录目录)3,1,1(,321cos1211sin,1baba1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.ba,2jibkjia,baba及答案答案1/2/202319返回返回上页上页下页下页目录目录22343cos322)2(17解：解：2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba2.已知向量的夹角,43ba,且.|ba 求,2|a,3|b1/2/202320返回返回上页上页下页下页目录目录22200)2(211ABCD3.在顶点为三角形中,)2,1,1(A)0,1,1(B的和)1,3,1(C求 AC 边上的高 BD.解：解：)3,4,0(AC,5)3(422|AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为|21ABACS21S|AC|BD 5211|BD 2|5BD 而故有1/2/202321
