新课标数学讲座五(续)课件.ppt_163文库

资源描述

1、数学讲座五数学讲座五(续续)主讲人主讲人:贺才兴贺才兴一、最值问题,对于解析几何中的最值问题应注意函数思想的运用,将所求对象表示成某个变量的函数,利用代数方法来解决.本讲要旨作为几何中的最值问题,往往需要考虑问题的实际意义,利用平面几何知识或图形,采取数形结合的方法求解.反之,通过建立坐标系,构造图形也可使某些不易处理的代数最值问题得到解决.二、曲线系具有某种共同性质的曲线的集合称为曲线系.1.直线系0000(1)()()0,.()xyyyxxx过定点，的直线系为为参数不含垂直轴的直线(2)00,.axbycaxbyc与直线平行的直线系为为参数(3)00,axbycbxay与直线垂直的直线

2、系为为参数.本讲要旨1.直线系121212(4)(,)0(,)0,(,)(,)0()llf x yfx yf x yfx y当直线与的方程分别为与直线系为参数12122(,)llllfx y当与相交时表示过与交点的不含的直线；12/().ll当时表示一组平行直线或虚直线二、曲线系具有某种共同性质的曲线的集合称为曲线系.本讲要旨(5)1()xyaa在两坐标轴上截距之和等于的直线系为为参数(6)(0)cossin.()r rxyr与原点距离等于的直线系为为参数二、曲线系1.直线系具有某种共同性质的曲线的集合称为曲线系.本讲要旨2.由直线生成的二次曲线系(1,2,)iiiifa xb

3、 yci设122331(1)0(1,2,3),0().ifif ff ff f若三角形三边的方程为则过三角形三个顶点的二次曲线系为、为参数1324(2)0(1,2,3,4),0().ifif ff f若四边形四条边的方程为则过四边形四个顶点的二次曲线系为为参数本讲要旨12122123312(3)000(),.ffMMf fffMM与直线、相切于两已知点、的二次曲线系为为参数其中是过、两点的直线1212(4)00(,)04,4(,)0().ffF x yF x yf f若两直线、与一条二次曲线有个交点则过这个交点的二次曲线系为为参数2.由直线生成的二次曲线系(1,2,)iiiifa xb

4、yci设本讲要旨3.圆系222222111222,.0(1,2).()0(*)iiixyD xE yFixyD xE yFxyD xE yF圆系是求圆的方程的一个重要方法也是证明四点共圆的简捷途径到两不同心的已知圆的切线长相等的点的轨迹称为此两圆的根轴共根轴的圆系称为共轴圆系共轴圆系的方程为1,.1.为任意常数此圆系中不包括第二个圆当时为根轴方程本讲要旨121212(1):()()0.DD xEEyFF根轴方程22(2)20().yxxyxF以轴为根轴、圆心在轴上的共轴圆系方程：为任意常数,(*),(*)当两圆相交时表示过两圆交点的圆系；当两圆相切时表示过两圆切点且与它们相切于该点的

5、圆系.3.圆系本讲要旨4.有心二次曲线系220,1.xy当且、不同时为负时有心二次曲线的标准方程可统一写成2222(1)1,.xym nmn共焦点的有心二次曲线为其中为常数22222222|,.,.cmnnmnmmn半焦距为参数为共焦双曲线系为共焦椭圆系，无轨迹222(2)1.xya共顶点的二次曲线系为本讲要旨2222(3),0.xya bab共离心率的椭圆系为其中为常数为参数2222(4),0 xya bab共渐近线的双曲线系为其中为常数,参数22221122222222112222(5)1,11(1)0(1)().xyxyABABxyxyxyABABAB 过两曲线：的交点的二次曲线系为不

6、包括为参数4.有心二次曲线系本讲要旨1、选择题(1)(1,3)(5,2)(3,1).(,),().DABCDx yzxmym平面区域由以、为顶点的三角形内部和边界组成若在区域内有无穷多个点使取得最小值则()4()1()1()2ABCD.平面区域如图413421.ABxyACxyBCxy考虑边界：；：；：.xmyzBCA当直线与平行且过点时满足题意典型例题解解.D选(2)(1,3),(5,2),|().()(4,0)()(13,0)()(5,0)()(1,0)ABPxAPBPPABCD点点在轴上使取得最大值的点是(5,2)(5,2),BxB点关于轴对称的点,|,APBPAPB PAB此时

7、.PABx当点在延长线与轴交点时取等号413ABxy直线方程为.B选典型例题解解(13,0).P22(3)1(1,1),43,|2|,().2 6332 6()(,1)()(1,)()(1,)()(,1)3223xyPFMMPMFMABCD若椭圆内有一点为右焦点椭圆上有一点使值最小则为|2|()12MFMFMFd MeQ 由椭圆定义：到右准线距离|2|.MPMFMPd,|2|,MPMF如图当取最小值时典型例题解解22(3)1(1,1),43,|2|,().2 6332 6()(,1)()(1,)()(1,)()(,1)3223xyPFMMPMFMABCD若椭圆内有一点为右焦点椭圆上有一

8、点使值最小则为,MP即为从作右准线垂线该垂线与椭圆的交点1,M此时的纵坐标为1,y 将代入椭圆方程2 6(,1).3M得.A选典型例题解解22(4)(3)(3)6(,),().()3 3()32 2()23()6yxyx yxABCD满足的所有实数对中的最大值是,(,).,yP x yOxPO考虑的几何意义它表示圆上一点与原点连线的斜率显然当与圆相切时斜率取得最值计算出切线的斜率即可.典型例题22(4)(3)(3)6(,),().()3 3()32 2()23()6yxyx yxABCD满足的所有实数对中的最大值是ykx设切线方程为22(1)6(1)120.kxkx即2236(1)48

9、(1)0kk.B选典型例题解解22(3)(3)6,xkx2610,kk 32 2.k22(5)11,169433,().()1()2()3()4ABPxyxyABPSPABCD椭圆与直线交于、两点在椭圆上且则椭圆上这样的点有个221169143xyxy34120.ABxy所在直线的方程为(4cos,3sin),P设典型例题解解(4,0),(0,3),AB12|cossin1|.5PABd则点到的距离161693,25ABPSddQ1|cossin1|2sin()1|.4222(5)11,169433,().()1()2()3()4ABPxyxyABPSPABCD椭圆与直线交于、两点在椭圆上且

10、则椭圆上这样的点有个12sin()10,sin(),.442 2 当时有两解32sin()10,sin()1,.442 2 当时无解典型例题解解.B选1211112222(6)0,0.llfa xb ycfa xb yc下列四个命题中的相交直线与的方程分别为12120.llff还有无穷多条经过与交点的直线不能写成的形式典型例题12120()ffll方程为参数表示经过与的交点的所有直线组成的直线系；121210()()fflll方程为参数表示经过与的交点的所有直线不含组成的直线系；121220()()fflll方程为参数表示经过与的交点的所有直线不含组成的直线系；().

11、()3()2()1()0ABCD其中真命题的个数有12120()ffll方程为参数表示经过与的交点的所有直线组成的直线系；121210()()fflll方程为参数表示经过与的交点的所有直线不含组成的直线系；典型例题解解().()3()2()1()0ABCD其中真命题的个数有.命题正确121220()()fflll方程为参数表示经过与的交点的所有直线不含组成的直线系；12120.llff还有无穷多条经过与交点的直线不能写成的形式典型例题解解.C选11221122(7)(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0(,)(,)(,)0().()()()()(,)0A x yf x

12、 yB xyf x yf x yf x yf x yf xyABCDf x y点在直线上点不在直线上则直线与的位置关系为平行重合相交与形式有关1122(,)0,(,)0f x yf xy1122(,)0(,)(,)(,)0f x yf x yf x yf xy.A选典型例题解解.方程组无解2222(8)4,10160(4,2)().()1()2()2()xyxyxPABCD经过两圆：的公共点且过点的圆有个多于的有限无限22224,(5)9xyxy.可知两圆外切有唯一公共点.D选典型例题解解1212|5,2,3,OOrr两圆圆心距半径222222222222(9)20,(1,3),().4

13、4()1()13535353544()113535353544()1135353535xyxyyxAByxxyCyxxyD若双曲线的渐近线方程为且过点则其方程为或或224xy设双曲线方程为2241.3535yx双曲线方程为.B选典型例题解解(1,3)P35 22222222(10)3260(8,6),(2,4),().()113300()11330021()229260()7502xyABA xyxyB xyxyC xyxyD xyxy一圆与直线切于且经过点此圆的方程为22(8)(6)(326)0 xyxy设圆方程为.A选典型例题解解22113300.xyxy(2,4)B 52、填空题2(1)

14、(0,)1_.2xPay 点到曲线上点的距离最小值是(,),Q x y设曲线上任意一点则1,y Q22|()PQxyamin11,0,|21;aaPQa 当即时min0,|1|.aPQa当时典型例题解解22(1)()yya2(1)21.yaa|1|21aa或(2)(2,1),_.lxyABAOBl过点作直线分别交轴正半轴、轴正半轴于、两点则当的面积最小时直线的方程是(,0),(0,),0,0,A aBbab设则1xylab且直线的方程为2aba即4,2ab当时取等号此时14(24)4,22aa典型例题解解211,ab211222AOBaSaba:12442xylxy或24xy22

15、22(3)1(0),_.xyabOABabFABF已知椭圆过其中心作弦为其右焦点则面积的最大值为22(,0),FabQ221|2ABFABSabyy22122abb典型例题解解22b ab22.b ab22(4)22(1)0_.mxmyxym曲线系经过的定点坐标为22(1)2210m xyxy 原方程化简为221221xyxy典型例题解解17 17(,).44m17 17(,)44m53(5)(2,0)(2,0)(,)22_.P两焦点为、且过点的有心二次曲线方程为222222253()()224,1cabab2210,6ab22222253()()224,1abab或2253,22ab典型例

16、题解解221106xy22221.53xy2222221110653xyxy或(6)()()_(,).bbyxayxaaaa b 两直线系和对应直线的交点的轨迹方程为为非零常数,ybybxaaxaa Q22222ybxaa 22221.xyab即典型例题解解22222,yxaba 22221xyab2213(1,1),(2,2),:,|2.ABPl yxPAPBP、已知点在直线上求取得最小值时点的坐标,ABCPDAB取中点并作222222,PAADPDADPCCD则222222.PBBDPDBDPCCD2222()2ADACCDACAC CDCDQ22222()()2BDBCCDACCDA

18、标系,在圆上运动1(2cos,2sin),2cos32sinBABZi uur设构建复平面则所对应的复数为213(2cos32sin)()22Zii ACuuu r对应复数33 3cos3sin(sin3cos),22i典型例题解解PCuuu r故对应复数为4,|3,|2,PABCAPBPCP、在平面上固定一点考虑所有可能的正三角形其中则线段的最大长度是多少？223|(cos3sin)2PCuuu r136(3sincos)max|5.PC23 3(sin3cos)213 12sin()256233 33cos3sin(sin3cos)22Zi典型例题解解11112222121 21212,

21、,2ll2 2sin()2,2 24,0.ACxMN说明：当以为半径的圆正好与轴相切时、两点重合此时得最小值2125(0,)(0),2,|,|,.CAppCxpyMNCxAMlANlMAN、已知圆过定点圆心在抛物线上运动若为圆在轴上截得的弦1221(2).llll求的最大值和最小值(1),|CMN求证：当运动时为定值；典型例题226(2,1),1,.4yAxF P、已知双曲线右焦点为在双曲线右支上,PAF点在曲线上不易将或关于曲线对称但可考虑利用5(2)|,.5APPFP求的最小值并求此时点的坐标(1)|APPF求的最小值；5.(2)(1),5,5e 线异侧的目的问题与相比

22、多了系数若能看出5|(5),.PFAPPFAPAPd dPe即为到右准线的距离则可得最小值|2(),PFPFa FAF定义为左焦点来转化达到将与变为曲典型例题22(1),11,2,4yxab如图双曲线中226(2,1),1,.4yAxF P、已知双曲线右焦点为在双曲线右支上(1)|APPF求的最小值；|2APPFAPPFa典型例题解解5,(5,0).cF为左焦点|2AFa2(25)12104 52 25(2),5,5axec如图右准线离心率226(2,1),1,.4yAxF P、已知双曲线右焦点为在双曲线右支上5(2)|,.5APPFP求的最小值并求此时点的坐标典型例题解解,AQ过

24、AQAQ 圆心半径为222237()1,1,24|.xPxyQyPQ、点在圆上运动在椭圆上运动求的最大值(2cos,sin),Q设则2173(sin)7,2223|(2cos)(sin)2AQ典型例题解解说明：利用函数思想,将所求对象表示成某个变量的函数,利用代数方法解决,是解析几何中的最值问题的常用解法之一.11sin,(3,),22Q 当且仅当即时取得等号222237()1,1,24|.xPxyQyPQ、点在圆上运动在椭圆上运动求的最大值|71.PQ故的最大值为典型例题解解28,lAByxABM、定长为的线段在抛物线上滑动求中点纵坐标的最小值.1111|(|)2111(|)|.222M

25、MAABBAFBFABl可得1111|.424MMMMyyl又的最小值为111.,lAB MA B M本题可用抛物线定义解决如图为准线过分别作准线的垂线垂足分别为l典型例题,.A F B当且仅当三点共线时取等号21,p 但过焦点的弦长的最小值为01.l 当时还须利用函数思想解决28,lAByxABM、定长为的线段在抛物线上滑动求中点纵坐标的最小值.1,l 即时上述解法成立l典型例题221122(,)(,),A x xB x x设、28,lAByxABM、定长为的线段在抛物线上滑动求中点纵坐标的最小值.222222212121212()()()1()xxxxxxxxl则221221

26、2()1,()lxxxx222212122122()()1()lxxxxxxl典型例题解解222212122121()12()lxxxxxx2212()lxx222212122121()124()xxlxxxx212().xxl当且仅当时取等号1(21),4l2221221210,()()lxxlxx Q2212(1),1,()1124lllxxll当即时当时取得最小值；l典型例题解解28,lAByxABM、定长为的线段在抛物线上滑动求中点纵坐标的最小值.说明：利用函数思想求最值,要充分注意限制条件,否则易错.22212(2),01,(),lllxxll 当即时此时2lyxx 为减函数,

27、222121().4xxll即当时取得最小值为28,lAByxABM、定长为的线段在抛物线上滑动求中点纵坐标的最小值.l典型例题解解222212122121()124()xxlxxxx2220011229(,),(,)(,)(),.xyaP xyA x yB xyP PAPB MPANPB、已知双曲线上一定点、为其上两动点异于点为中点为中点(1)OMON求证：；(2).AB求的最小值典型例题2220011229(,),(,)(,)(),.xyaP xyA x yB xyP PAPB MPANPB、已知双曲线上一定点、为其上两动点异于点为中点为中点222002221122222(1)xy

28、axyaxya0101010102020202()()()()()()()()xxxxyyyyxxxxyyyy(1);OMON求证：典型例题解解01020102()()()()xxxxxxxx01020102()()()()yyyyyyyy,PAPBQ01020102()()()()xxxxyyyy 01020102()()()()xxxxyyyy 故01010202(,),(,),2222xxyyxxyyMNQ2220011229(,),(,)(,)(),.xyaP xyA x yB xyP PAPB MPANPB、已知双曲线上一定点、为其上两动点异于点为中点为中点OMON.(1);OMO

29、N求证：典型例题解解01020102,yyxxxxyy 即01020102.yyxxxxyy(2),PAPB OMONOMPNQ、四点共圆2220011229(,),(,)(,)(),.xyaP xyA x yB xyP PAPB MPANPB、已知双曲线上一定点、为其上两动点异于点为中点为中点MN为其直径2200|2|2|2.ABMNOPxy故(2).AB求的最小值典型例题解解|,MNOP22(4)(3)(211)0,xyxy设椭圆方程为,Q Ruuuuuuuuuuuuuuuuu r将点坐标代入434(144 10)(108)9 10,211(4,3),(0,1)(1,101),.xyPQ

30、R、一椭圆长、短轴均平行于坐标轴且与直线相切于点又经过点、求该椭圆方程典型例题解解216161 1109(102)(2101 11)0 （）12222(2)(1)1.612xy即221(4)(3)42220,2xyxy椭圆方程为10,211(4,3),(0,1)(1,101),.xyPQR、一椭圆长、短轴均平行于坐标轴且与直线相切于点又经过点、求该椭圆方程典型例题解解2222111(0),.xyabba、给出椭圆求与该椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标222222222|12xyxyxybabaabQ4|2,Sxyab四边形22222

31、2,.22xyxb yaba当且仅当即时取最大值2222221,yxmabm设双曲线方程为22,22xb ya将代入上述方程得典型例题解解222222()()0mabma222222221.yxabab故所求的双曲线方程为顶点坐标分别为2222111(0),.xyabba、给出椭圆求与该椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标22222222(,),(,),(,),(,).22222222babababa典型例题解解222,2abm222211224()1,24(2,1).xyxyP、已知椭圆和双曲线求经过椭圆与双曲线的个交点及点的二次曲线

32、方程2222124()102xyxy设所求二次曲线方程为228,710820.xyx 将代入上述方程得典型例题解解8,(2,1)p112212122:,0,:(,)0,(,)(,)0,.,(,)(,)0(,)0.Cf x yCfx yf x yfx yf x yfx yfx y说明：两条曲线（）在有交点的条件下曲线必过其交点但过交点的曲线不一定都能写成这种形式若两条曲线均为二次曲线且交于不共线的四点时则可表示除外的所有过四个交点的二次曲线222211224()1,24(2,1).xyxyP、已知椭圆和双曲线求经过椭圆与双曲线的个交点及点的二次曲线方程典型例题13,3.5,|4,.OxP

33、QOPOQPQ、设双曲线的中心在坐标原点焦点在轴上过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于、两点若求双曲线的方程222231,(),5xyyxcab设双曲线方程为直线方程为22222221,3()5xyabcabyxc则典型例题解解22224(53)2 1530bayb cyb或13,3.5,|4,.OxPQOPOQPQ、设双曲线的中心在坐标原点焦点在轴上过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于、两点若求双曲线的方程22,530.PQbaQ、两点不同,将上述两式相加得22222222(53)6350baxa cxa ca b典型例题解解13,3.5,|4,.OxPQOPOQPQ、设双

34、曲线的中心在坐标原点焦点在轴上过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于、两点若求双曲线的方程22222242222(53)()62 153350,baxya cxb cyba ca b.这是一个圆的方程,OPOQ PQOQ为直径，点在圆上4222242243350,3830ba ca bba ba即222,150,caxyaxay代入圆方程得典型例题解解223,ba22215()()4.22axyaa即|4,1,PQaQ13,3.5,|4,.OxPQOPOQPQ、设双曲线的中心在坐标原点焦点在轴上过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于、两点若求双曲线的方程典型例题解解221.3yx

35、故所求双曲线方程为200142(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列0(1)(0)ABQ xp求证：线段的垂直平分线过定点，；(2)(1)|4|6()MFOQO在中，若，为坐标原点，求抛物线方程；(3)(2).AQB对于中的抛物线，求的面积的最大值典型例题200142(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列0(1)(0)ABQ xp求证：线段的垂直平分线过定点，；120|,222pppAFxBFxMFx则，1122()(),2pA xyB xyx 设，准线1202

36、.2xxMFAFBFx22112222ypxypx，2212122()yyp xx典型例题1212122.AByypkxxyy200142(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列0(1)(0)ABQ xp求证：线段的垂直平分线过定点，；121200(),22yyyyxxp 120()2yyABN x中点为，0(0).Q xp故，为一定点典型例题12120()22yyyyNAByxxp 过点垂直的直线方程为0 xxp得，200142(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数

37、列(2)(1)|4|6()MFOQO在中，若，为坐标原点，求抛物线方程；042px，042px，28.yx抛物线方程为典型例题解解06xp，200142(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线，求的面积的最大值120122(),2yypAByxxyy直线：124(2)2yytytxt 设，则，222822160yxytyt与联立得：，2244(216)044.ttt(2)ABykxt，典型例题解解128,ABkyy200142(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及

38、一定点，为焦点，已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线，求的面积的最大值12122122128421()164641()yyyyQABdyyyy到直线的距离12121212(),ABAByyyykxxxxk2221212121221|()()(1)()4ABABxxyyyyy yk典型例题解解200142(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线，求的面积的最大值1|2AQBSAB d故221212122111(1)()4()1624AByyy yyyk2221(1)(644)16216ttt典型例题解解200142(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线，求的面积的最大值2221(16)(16)164ttt典型例题解解2221(16)(322)(16)4 2ttt222313221616()34 2ttt64 6.9

展开阅读全文