1、CH4-3 时间序列分析模型时间序列分析模型4-3-1 4-3-1 时间序列的基本概念时间序列的基本概念一、时间序列1、含义：指被观察到的依时间为序排列的数据序列。2、特点：（1）现实的、真实的一组数据，而不是数理统计中做实验得到的。既然是真实的，它就是反映某一现象的统计指标，因而，时间序列背后是某一现象的变化规律。（2）动态数据。2010年11月17日-2011年4月8日上证综指二、时间序列分析 时间序列分析：是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法。其基本思想基本思想：根据系统的有限长度的运行记录（观察数据），建立能够比较精确地反映序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系
2、统的未来进行预报三、确定性时间序列分析与随机性时间序列分析:时间序列依据其特征，有以下几种表现形式，并产生与之相适应的分析方法：（1）长期趋势变化 受某种基本因素的影响，数据依时间变化时表现为一种确定倾向，它按某种规则稳步地增长或下降。使用的分析方法有：移动平均法、指数平滑法、模型拟和法等；（2）季节性周期变化 受季节更替等因素影响，序列依一固定周期规则性的变化，又称商业循环。采用的方法：季节指数；（3）循环变化 周期不固定的波动变化。(4)随机性变化由许多不确定因素引起的序列变化。它所使用的分析方法就是我们要讲的时间序列分析。趋势变化分析 确定性变化分析 周期变化分析 循环变化分析时间序列分
3、析 随机性变化分析:AR、MA、ARMA模型 Wold分解定理（1938）对于任何一个离散平稳过程 它都可以分解为两个不相关的平稳序列之和，其中一个为确定性的，另一个为随机性的，不妨记作 其中：为确定性序列，为随机序列，它们需要满足如下条件（1）（2）（3）txtttVxtV t0jjtjt020,1jj),0(2WNtstVEst,0),(确定性序列与随机序列的定义 对任意序列 而言，令 关于q期之前的序列值作线性回归 其中 为回归残差序列，。确定性序列，若 随机序列，若t2)(qtVar2lim0qq)(lim2tqqyVarCramer分解定理（1961）任何一个时间序列 都可以分解为两
4、部分的叠加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即txtttx确定性影响随机性影响taB)(djjjt0循环变动循环变动C（Cyclical）不规则变动不规则变动I（Irregular）季节变动季节变动S（Seasonal）长期趋势长期趋势T（Trend）对两个分解定理的理解 Wold分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确定性序列和随机序列之和。它是现代时间序列分析理论的灵魂，是构造ARMA模型拟合平稳序列的理论基础。Cramer 分解定理是Wold分解定理的理论推广，它说明任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性影响和随机性影响的综合作用。平稳序列要
5、求这两方面的影响都是稳定的，而非平稳序列产生的机理就在于它所受到的这两方面的影响至少有一方面是不稳定的。确定性时序分析的目的 克服其它因素的影响，单纯测度出某一个确定性因素对序列的影响 推断出各种确定性因素彼此之间的相互作用关系及它们对序列的综合影响4-3-2 4-3-2 时间序列时间序列趋势分析趋势分析 目的有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测 常用方法 趋势拟合法 平滑法趋势拟合法 趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法 分类 线性拟合 非线性拟合线性拟合
6、 使用场合长期趋势呈现出线形特征 模型结构)(,0)(ttttIVarIEIbtax例:拟合澳大利亚政府19811990年每季度的消费支出序列 线性拟合 模型 参数估计方法 最小二乘估计 参数估计值2)(,0)(40,2,1,ttttIVarIEtIbtax12.89,69.8498ba拟合效果图非线性拟合 使用场合长期趋势呈现出非线形特征 参数估计指导思想能转换成线性模型的都转换成线性模型，用线性最小二乘法进行参数估计实在不能转换成线性的，就用迭代法进行参数估计 常用非线性模型2ctbtaTtttabT ttbcaTtbcateTttbcaT122tt ttTTlnaalnbbln2ctbt
7、aTttbaTt例：对上海证券交易所每月末上证指数序列进行模型拟合 非线性拟合模型变换参数估计方法线性最小二乘估计拟合模型:2ctbtaTt22tt 20952.02517.502tTt拟合效果图时间序列预测法时间序列预测法 时间序列预测法可用于短期预测、中期预测和长期预测。根据对资料分析方法的不同，又可分为：简单序时平均数法、加权序时平均数法平滑法 平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律 简单平均数法:也称算术平均法。即把若干历史时期的统计数值作为观察值，求出算术平均数作为下期预测值。这种方法基于
8、下列假设：“过去这样，今后也将这样”，把近期和远期数据等同化和平均化，因此只能适用于事物变化不大的趋势预测。如果事物呈现某种上升或下降的趋势，就不宜采用此法。加权平均数法:就是把各个时期的历史数据按近期和远期影响程度进行加权，求出平均值，作为下期预测值。移动平均法 基本思想假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之间的差异主要是由随机波动造成的。根据这种假定，我们可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计值 分类 n期中心移动平均 n期移动平均移动平均期数确定的原则 事件的发展有无周期性以周期长度作为移动平均的间隔长度，以消除周期效应的影响 对趋势平滑的要求 移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑
9、对趋势反映近期变化敏感程度的要求 移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感移动平均预测)(121nlTlTlTlTxxxnxilxilxxilTilTilT,例 某一观察值序列最后4期的观察值为：5，5.4，5.8，6.2（1）使用4期移动平均法预测 。（2）求在二期预测值 中 前面的系数等于多少？2Tx2TxTx解（1）（2）在二期预测值中 前面的系数等于 45.548.54.556.5416.542.68.54.554121123211TTTTTTTTTTxxxxxxxxxx321212212112161165414141TTTTTTTTTTTTTTTTxxxxxxxxxxxxxxxxTx165
10、6.36.3、时间序列模型、时间序列模型参考书参考书:图书馆图书馆,超星电子图书超星电子图书4-3-4、时间序列模型的基本概念及其适用性、时间序列模型的基本概念及其适用性5.35.3、时间序列模型的基本概念、时间序列模型的基本概念 随 机 时 间 序 列 模 型（随 机 时 间 序 列 模 型（n i m e s e r i e s modeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为 Yn=F(Yn-1,Yn-2,n)建立具体的时间序列模型，需解决如下三个建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题问题：(1)模型的具体形式模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期时序变
11、量的滞后期 (3)随机扰动项的结构随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（n=n），模型将是一个1阶自回阶自回归过程归过程AR(1)：Yn=aYn-1+n这里，n特指一白噪声一白噪声。一般的p阶自回归过程阶自回归过程AR(p)是 Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+apYn-p+n (*)(1)如果随机扰动项是一个白噪声(n=n)，则称(1)式为一纯纯AR(p)过程（过程（pure AR(p)process），记为 Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+apYn-p+n (2)如果n不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（移动平均（moving average）过程
12、过程MA(q)：n=n-c1n-1-c2n-2-cqn-q 该式给出了一个纯纯MA(q)过程（过程（pure MA(p)process）。一般的p阶自回归过程阶自回归过程AR(p)是 Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+apYn-p+n (1)将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均自回归移动平均（aunoregressive moving average）过程过程ARMA（p,q）：Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+apYn-p+n-c1n-1-c2n-2-cqn-q 该式表明：该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过）一个随机时间序列可以通过一个自回
13、归移动平均过程生成，程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。需要说明的是，需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中，论中，ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。模型中均未包含常数项。如果包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质如果包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质，因为通过适当的变形，可将包含常数项的
14、模型转换为不含常数项的模型。下面以一般的ARMA(p,q)模型为例说明。对含有常数项的模型 qtqttptpttXXX1111方程两边同减/(1-a1-ap)，则可得到 qtqttptpttxxx1111其中piiXx11pttti,1,趋势项和季节性的典型趋势项和季节性的典型差分差分处理方法处理方法 1.1.恒定趋势恒定趋势 即总的趋势保持在同一水平，均值即总的趋势保持在同一水平，均值 0 0。引入算。引入算子子，定义为：，定义为：=（1 B)1 B),即即 x xt t =x xt t -x xt-1 t-1 可以消除恒定趋势。可以消除恒定趋势。例如例如 IBM IBM 股票模型股票模型用
15、用 x xt t =（1-1-1 1B)a B)a t t 更为合适。有恒定趋势的模型更为合适。有恒定趋势的模型有一个极点的绝有一个极点的绝对值接近为对值接近为 1 1 。2.2.线性趋势线性趋势总趋势按照线性规律增减，即模型总趋势按照线性规律增减，即模型有两个极点有两个极点的绝对值接近为的绝对值接近为1 1的情况的情况。用算子。用算子 :2 2=(1 B)=(1 B)2 2 可以消除线性趋势，例如：可以消除线性趋势，例如：2 2 x xt t =（1-1-1 1B)B)a a t t 3.3.多项式趋势多项式趋势有多个极点的绝对值接近于有多个极点的绝对值接近于1 1,引入算子引入算子 :3
16、3=(1 B)=(1 B)3 3 例如：例如：3 3 x xt t =（1-1-1 1B-B-2 2 B B 2 2）a a t t4.4.季节性季节性 有的时间序列按照一定的周期波动有的时间序列按照一定的周期波动,例如月平例如月平均温度是按照均温度是按照 1212个月的周期波动的，每小时用个月的周期波动的，每小时用电量按照电量按照2424小时的周期变化小时的周期变化，称为季节性。，称为季节性。为消除季节性的影响，引入算子：为消除季节性的影响，引入算子：s s=1 B=1 Bs例如，航空公司的模型例如，航空公司的模型ARAR（1313，1313）模型中的模型中的参数参数 1 1 1212 的数
17、值都很小，而接近于零，用的数值都很小，而接近于零，用周期为周期为1212的模型为合适。由于该时间序列不仅的模型为合适。由于该时间序列不仅有周期为有周期为1212的季节性，而且还有恒定趋势，所的季节性，而且还有恒定趋势，所以用以下模型最合适：以用以下模型最合适：12 12=(1 B)(1 B=(1 B)(1 B 1212)x xt t =(1-=(1-1 1B)(1-B)(1-12 12 B B 1212)a)a t t 经典回归模型的问题：经典回归模型的问题：迄今为止，迄今为止，对一个时间序列Yn的变动进行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，
18、且具有一定的模型结构，因此也常称为结构式模结构式模型（型（snrucnural model）。然而，然而，如果Yn波动的主要原因可能是我们无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释Yn的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。2 2、时间序列分析模型的适用性、时间序列分析模型的适用性 例如例如，时间序列过去是否有明显的增长时间序列过去是否有明显的增长趋势趋势，如果增长趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行为里占主导地位呢？或者时间序列显示出循环周期性行为时间序列显
19、示出循环周期性行为，我们能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？在这些情况下，我们采用另一条预测途径在这些情况下，我们采用另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。随机时间序列分析模型，就是要通过随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征来预测未来的变化序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势趋势。使用时间序列分析模型的另一个原使用时间序列分析模型的另一个原因在于因在于：如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的形式。例如，例如，对于如下最简单的宏观经济模型：这里，C
20、n、In、Yn分别表示消费、投资与国民收入。Cn由投资由投资In的运动及随机扰动项的运动及随机扰动项 n的变化决的变化决定的。定的。二、随机时间序列模型的平稳性条件二、随机时间序列模型的平稳性条件 自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）是它的特殊情况。关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重点内容时间序列分析的重点内容：主要包括主要包括模型的平稳性分析模型的平稳性分析、模型的识别模型的识别和和模型的估计模型的估计。1 1、AR(pAR(p)模型的平稳性模型的平稳性条件条件 随机时间序列模型的平稳性随机时间序列模型的平稳性，可通过
21、它所生成的随机时间可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断序列的平稳性来判断。如果如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的，否则否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。考虑p阶自回归模型AR(p)Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+apYn-p+n 则称多项式方程 (z)=(1-a1z-a2z2-apzp)=0为AR(p)的特征方程特征方程(characnerisniccharacnerisnic equanionequanion)。可以证明，可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于（根的模大于1 1），则
22、），则AR(p)AR(p)模型是平稳的。模型是平稳的。例例6.3.1 AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归模型AR(1)方程两边平方再求数学期望，得到Xn的方差由于Yn仅与n相关，因此，E(Yn-1n)=0。如果该模型稳定，则有E(Yn2)=E(Yn-12)，从而上式可变换为：在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有|a|1。而AR(1)的特征方程的根为 z=1/a AR(1)稳定，即|a|1，意味着特征根大于1。注意对比一下差分方程的稳定性?差分方程的特征方程与特征根?例例6.3.2 AR(2)模型的平稳性。对AR(2)模型 方程两边同乘以Yn，再取期望得：又由于于是 同样地，由原式还
23、可得到于是方差为 由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 a1+a21,a2-a11,|a2|1这就是AR(2)的平稳性条件的平稳性条件，或称为平稳域平稳域。它是一顶点分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。2 (0,1)1 (-2,-1)(2,-1)图图 9.2.1 AR(2)模模型型的的平平稳稳域域 对应的特征方程1-a1z-a2z2=0 的两个根z1、z2满足：z1z2=-1/a2 ,z1+z2=-a1/a2 AR(2)模型解出a1，a2由AR(2)的平稳性，|a2|=1/|z1|z2|1，有0)11)(11(21zz于是|z2|1。由 a2-a1 1可推出同样
24、的结果。对高阶自回模型对高阶自回模型AR(p)来说来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)AR(p)模型稳定的必要条件是模型稳定的必要条件是：a1+a2+ap1 (2)(2)由于ai(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模模型稳定的充分条件是：型稳定的充分条件是：|a1|+|a2|+|ap|1 对于移动平均模型MR(q)：Yn=n-c1n-1-c2n-2-cqn-q 其中n是一个白噪声，于是 2、MA(q)模型的平稳性模型的平稳性 当滞后期大于q时，Yn的自协方差系数为0。因此:
25、有限阶移动平均模型总是平稳的有限阶移动平均模型总是平稳的。由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+apYn-p+n-c1n-1-c2n-2-cqn-q 3、ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性 而而MA(q)模型总是平稳的，因此模型总是平稳的，因此ARMA(p,q)模型的平模型的平稳性取决于稳性取决于AR(p)部分的平稳性。部分的平稳性。当当AR(p)部分平稳时，则该部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，模型是平稳的，否则，不是平稳的。否则，不是平稳的。最后最后:（1 1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平）一个平
26、稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；稳的随机过程或模型；（2 2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。因此，因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过如果我们将一个非平稳时间序列通过d d次差次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序模型作为它的生成模型，则我们就说该
27、原始时间序列是一个列是一个自回归单整移动平均（自回归单整移动平均（aunoregressiveaunoregressive innegranedinnegraned moving average moving average）时间序列，记为时间序列，记为ARIMAARIMA(p,d,q)(p,d,q)。例如，例如，一个一个ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个平稳序列之前先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)ARMA(2,2)模型作为它的生成模型的。模型作为它的生成模型的。当然，当然，一个一个ARIMA(p,0,
28、0)ARIMA(p,0,0)过程表示了一个过程表示了一个纯纯AR(p)AR(p)平稳过程；一个平稳过程；一个ARIMA(0,0,q)ARIMA(0,0,q)表示一表示一个纯个纯MA(q)MA(q)平稳过程。平稳过程。三、随机时间序列模型的识别三、随机时间序列模型的识别 所谓随机时间序列模型的识别所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型.即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所使用的工具所使用的工具主要是时间序列的自相关函数自相关函数（aunocorrelanion funcnion，ACF）及偏自相关偏自相关
29、函数函数（parnial aunocorrelanion funcnion，PACF）。1 1、AR(p)AR(p)过程过程 (1)(1)自相关函数自相关函数ACFACF 1阶自回归模型阶自回归模型AR(1)Yn=aYn-1+n 的k阶滞后自协方差自协方差为：=1,2,因此，AR(1)模型的自相关函数自相关函数为=1,2,由由AR(1)的稳定性知的稳定性知|a|1，因此，因此，k k时，时，呈指数形衰减，直到零呈指数形衰减，直到零。这种现象称为拖尾拖尾或称AR(1)有无穷记忆有无穷记忆（infinine memory）。注意注意，a0时，呈振荡衰减状。回忆一:自协方差函数和自相关函数 ),()
30、()(),(,ststssttssttzzdFuzuzuzuzEstr)()(),()()(),(22ssstttzDuzEssrzDuzEttr回忆二:自相关函数：当t,s取遍所有可能的整数时，就形成了时间序列的自相关函数，它描述了序列的自相关结构。它的本质等同于相关系数。对于平稳过程:),(),(),(),(ssrttrstrstkkkrrrrrssrttrstrst000),(),(),(),(Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+n该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1,2分别为阶自回归模型阶自回归模型AR(2)类似地,可写出一般的一般的k期滞后自协方差期滞后自协方差：(K=2,3,
31、)于是,AR(2)的k 阶自相关函数阶自相关函数为：(K=2,3,)其中:1=a1/(1-a2),0=1如果如果AR(2)AR(2)稳定，则由稳定，则由a a1 1+a+a2 211知知|k k|衰减趋于零，衰减趋于零，呈拖尾状。呈拖尾状。至于衰减的形式，要看至于衰减的形式，要看AR(2)AR(2)特征根的实虚性特征根的实虚性.一般地，p阶自回归模型阶自回归模型AR(p)Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+apYn-p+nk期滞后协方差为:从而有自相关函数:可见，无论无论k k有多大，有多大，k k的计算均与其到的计算均与其到p p阶滞后阶滞后的自相关函数有关的自相关函数有关，因此呈拖尾状呈拖尾
32、状。如果如果AR(p)AR(p)是稳定的，则是稳定的，则|k k|递减且趋于零递减且趋于零。其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，|zi|p，Yn与Yn-k间的偏自相关系数偏自相关系数为零。AR(p)的一个主要特征是的一个主要特征是:kp时，时，k*=Corr(Yn,Yn-k)=0 即即 k*在在p以后是截尾的。以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则：一随机时间序列的识别原则：若若YnYn的偏自相关函数在的偏自相关函数在p p以后截尾，以后截尾，即即kp时，时，k*=0=0，而它的自相关而它的自相关函数函数 k是拖尾的，则此序列是自是拖尾的，则此序列是
33、自回归回归AR(p)AR(p)序列。序列。在实际识别时，由于样本偏自相关函数rk*是总体偏自相关函数k*的一个估计，由于样本的随机性，当kp时，rk*不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当kp时，rk*服从如下渐近正态分布:rk*N(0,1/n)式中n表示样本容量。因此，如果计算的rk*满足 需指出的是需指出的是，我们就有95.5%的把握判断原时间序列在p之后截尾。nrk2|*对MA(1)过程 2、MA(q)MA(q)过程过程 1tttX可容易地写出它的自协方差系数自协方差系数：0)1(3221220于是，MA(1)过程的自相关函数自相关函数为：0)1(3221可见，当当k1时，时，k
34、 k0，即即Xn与与Xn-k不相关，不相关，MA(1)MA(1)自相关函数是截尾的。自相关函数是截尾的。MA(1)过程可以等价地写成过程可以等价地写成 n n关于无穷序列关于无穷序列X Xn n，X Xn-1n-1，的线性组合的形式：的线性组合的形式：221ttttXXX或ttttXXX221（*）(*)是一个AR()过程，它的偏自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。的。注意注意:(*)式只有当|1时才有意义，否则意味着距Xn越远的X值，对Xn的影响越大，显然不符合常理。因此，我们把把|1|q时，Xn与与Xn-k
35、不相关，即存在截尾现象，因此，当当kq时，时，k k=0是是MA(q)的一个特征的一个特征。于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0 0来判断来判断MA(q)MA(q)模型的阶。模型的阶。与MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。MA(q)模型的识别规则：模型的识别规则：若随机序列的自相关函数截若随机序列的自相关函数截尾，即自尾，即自q q以后，以后，k k=0=0（kqkq）；）；而它的偏自相关函数是拖而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均尾的，则此序列是滑动平均MA(q)MA(q)序列。序列。同样需要注
36、意的是同样需要注意的是：在实际识别时，由于样本自相关函数rk是总体自相关函数k的一个估计，由于样本的随机性，当kq时，rk不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当kq时，rk服从如下渐近正态分布:rkN(0,1/n)式中n表示样本容量。因此，如果计算的如果计算的r rk k满足：满足：nrk2|我们就有就有95.5%95.5%的把握判断原时间序列在的把握判断原时间序列在q q之后截尾之后截尾。ARMA(p,q)的自相关函数的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。当当p=0时，它具有截尾性质时，它具有截尾性质；当当q=0时，它具有拖尾性质；时，它具有拖
37、尾性质；当当p、q都不为都不为0时，它具有拖尾性质时，它具有拖尾性质 从识别上看，通常：从识别上看，通常：ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（过程的偏自相关函数（PACF）可能在可能在p阶阶滞后前有几项明显的尖柱（滞后前有几项明显的尖柱（spikes），），但从但从p阶滞后项开始阶滞后项开始逐渐趋向于零；逐渐趋向于零；而而它的自相关函数（它的自相关函数（ACF）则是在则是在q阶滞后前有几项明显阶滞后前有几项明显的尖柱，从的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。阶滞后项开始逐渐趋向于零。3 3、ARMA(p,q)ARMA(p,q)过程过程 表表 9.2.1 ARMA(p,q)模模型型的的 ACF
38、 与与 PACF 理理论论模模式式 模型 ACF PACF 白噪声 0k 0*k AR(p)衰减趋于零（几何型或振荡型）P 阶后截尾：0*k，kp MA(q)q阶后截尾：，0k，kq 衰减趋于零（几何型或振荡型）ARMA(p,q)q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）总结：总结：若样本的自相关函数在若样本的自相关函数在Kq之后截尾，则判断序列为之后截尾，则判断序列为MA模型；若样本的偏自模型；若样本的偏自相关函数在相关函数在Kp之后截尾，则判断序列为之后截尾，则判断序列为AR模型；当两者都不截尾而呈现拖尾特模型；当两者都不截尾而呈现拖尾特性时，则判断其为性时，则判
39、断其为ARMA模型。模型。图图 9.2.2 ARMA(p,q)模型的模型的 ACF与与 PACF理论模式理论模式 ACF PACF 模型模型 1：tttXX17.00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1 模型 2：tttXX17.0 模型 3：17.0tttX-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF2-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF2-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678ACF3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.01234
40、5678PACF3 模型 4：ttttXXX2149.07.0 模型 5：117.07.0ttttXX-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF4-0.4-0.20.00.20.40.612345678PACF4-1.2-0.8-0.40.00.40.812345678ACF5-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF5四、随机时间序列模型的估计四、随机时间序列模型的估计 AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法较多:（1）最小二乘估计；）最小二乘估计；（2）利用自相关函数的直接估计）利用自相关函数的直接估计。（3）下面有选择地加
41、以介绍。结构阶数模型识别确定估计参数 AR(p)AR(p)模型的模型的Yule WalkerYule Walker方程估计方程估计 在AR(p)模型的识别中，曾得到 pkpkkk2211利用k=-k，得到如下方程组：kppppppppp12112211211211 此方程组被称为此方程组被称为Yule Walker方程组方程组。该方程组建该方程组建立了立了AR(p)AR(p)模型的模型参数模型的模型参数a a1 1,a,a2 2,a,ap p与自相关函数与自相关函数 1 1,2 2,p p的关系，的关系，利用实际时间序列提供的信息，利用实际时间序列提供的信息，首先首先求得自相关函数求得自相关函
42、数的估计值的估计值 然后然后利用利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计方程组，求解模型参数的估计值值,12p,12p12011102120112pppppp由于 ptptttXXX11于是 pjiijjitE1,022从而可得 2 2的估计值的估计值 pjiijji1,02在具体计算时，k可用样本自相关函数rk替代。五、模型的检验五、模型的检验 由于ARMA(p,q)模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的模如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表一白噪如
43、果通过所估计的模型计算的样本残差不代表一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。声，则说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。1 1、残差项的白噪声检验、残差项的白噪声检验 可用可用QLB的统计量进行的统计量进行 2检验检验：在给定显著性水平下，可计算不同滞后期的QLB值，通过与 2分布表中的相应临界值比较，来检验是否拒绝残差序列为白噪声的假设。若大于相应临界值，则应拒绝所估计的模型，需重新识别与估计。2 2、AICAIC与与SBCSBC模型选择标准模型选择标准 另外一个遇到的问题是，在
44、实际识别ARMA(p,q)模型时，需多次反复偿试，有可能存在不止一组（p,q）值都能通过识别检验。显然，增加增加p与与q的阶数，可增加拟合优度的阶数，可增加拟合优度，但却同时降低但却同时降低了自由度了自由度。因此，对可能的适当的模型，存在着模型的对可能的适当的模型，存在着模型的“简洁性简洁性”与与模型的拟合优度的权衡选择问题。模型的拟合优度的权衡选择问题。其中，n为待估参数个数（p+q+可能存在的常数项），n为可使用的观测值，RSS为残差平方和（Residual sum of squares）。在选择可能的模型时，在选择可能的模型时，AIC与与SBC越小越好越小越好 显然，如果添加的滞后项没有
45、解释能力，则对显然，如果添加的滞后项没有解释能力，则对RSSRSS值的值的减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，因此使得减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，因此使得AICAIC或或SBCSBC的值增加。的值增加。需注意的是：需注意的是：在不同模型间进行比较时，必须选取相同的时间段。常用的模型选择的判别标准有：常用的模型选择的判别标准有：赤池信息法赤池信息法（Akaike informanion crinerion，简记为简记为AIC）与施瓦兹施瓦兹贝叶斯法贝叶斯法（Schwarnz Bayesian crinerion，简记为简记为SBC）：)ln()ln(2)ln(TnRSSTSBCn
46、RSSTAIC 由第一节知：中国支出法GDP是非平稳的，但它的一阶差分是平稳的，即支出法GDP是I(1)时间序列。可以对经过一阶差分后的GDP建立适当的ARMA(p,q)模型。记GDP经一阶差分后的新序列为GDPD1，该新序列的样本自相关函数图与偏自相关函数图如下：-0.4-0.20.00.20.40.60.81.024681012141618GDPD1AC-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.024681012141618GDPD1PAC 例例6.4.3 中国支出法中国支出法GDP的的ARMA(p,q)模型估计。模型估计。图形：图形：样本自相关函数图形呈正弦线型衰减波，而
47、偏自相关函数图形则在滞后两期后迅速趋于0。因此可初步判断该序列可初步判断该序列满足满足2 2阶自回归过程阶自回归过程AR(2)AR(2)。表表 9.2.2 中国中国 GDP一阶差分序列的样本自相关函数与偏自相关函数一阶差分序列的样本自相关函数与偏自相关函数kkr*krkkr*krkkr*kr10.8590.8597-0.034-0.25213-0.361-0.08620.622-0.4418-0.1120.01214-0.3630.07630.378-0.0659-0.1750.0415-0.3080.04340.1910.06610-0.228-0.11716-0.216-0.02250.0
48、870.07711-0.282-0.19217-0.128-0.04860.036-0.05112-0.32-0.0218-0.059-0.002426.0222|*kr 自相关函数自相关函数与偏自相关函数偏自相关函数的函数值：函数值：相关函数具有明显的拖尾性；偏自相关函数值在k2以后，可认为：可认为：偏自相关函数是截尾的。再次验证了一阶差分后的偏自相关函数是截尾的。再次验证了一阶差分后的GDPGDP满足满足AR(2)AR(2)随机过程。随机过程。设序列GDPD1的模型形式为 ttttGDPDGDPDGDPD2211111有如下Yule Walker 方程：622.0859.01859.085
49、9.01121解为：442.0,239.121用用OLSOLS法回归的结果为：法回归的结果为：ttttGDPDGDPDGDPD211653.01593.11 （7.91)(-3.60)r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15 有时，在用回归法时，也可加入常数项有时，在用回归法时，也可加入常数项。本例中加入常数项的回归为：ttttGDPDGDPDGDPD211678.01495.159.9091 （1.99）（7.74）（-3.58）r2=0.8758 R2=0.8612 DW.=1.22 模型检验模型检验 下表列出三模型的残差项的自相关系数及QLB检验值。模型1与模型3的残差项接
50、近于一白噪声，但模型2存在4阶滞后相关问题，Q统计量的检验也得出模型2拒绝所有自相关系数为零的假设。因此:模型模型1 1与与3 3可作为描述中国支出法可作为描述中国支出法GDPGDP一阶差分序列的随机生成过程。一阶差分序列的随机生成过程。表表 9.2.3 模模型型残残差差项项的的自自相相关关系系数数及及 Q检检验验值值 模型1 模型2 模型3 K Resid-ACF Q Resid-ACF Q Resid-ACF Q 1 0.382 3.3846 0.258 1.5377 0.257 1.5263 2 0.014 3.3893-0.139 2.0077-0.040 1.5646 3-0.132
