1、 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用110.3 格林公式及其应用格林公式及其应用 小结小结 思考题思考题 作业作业格林格林(Green)(Green)公式公式平面上曲线积分与路径无关的平面上曲线积分与路径无关的条件条件全微分方程全微分方程格林格林 Green.G.(17931841)英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家第第1010章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用2DD1.区域连通性的分类区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域一、格林公式一、格林公式否则称为否则称为则称则称D为平面为
2、平面复连通区域复连通区域.成的部分都属于成的部分都属于D,如果如果D内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围单连通区域单连通区域,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用3定理定理10.4(10.4(格林公式格林公式)设设闭区域闭区域D由分段光滑由分段光滑的曲线的曲线L围成围成,LDyQxPyxyPxQdddd)(函数函数P(x,y)及及Q(x,y)在在D上具有上具有连续偏导数连续偏导数,则有则有2.格林公式格林公式其中其中L是是 D的取的取正向正向的边界曲线的边界曲线.一阶一阶 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用4DLl当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,(1)P、Q在闭区域在闭区域
3、D上具有一阶连续偏导上具有一阶连续偏导;(2)曲线曲线L是封闭的是封闭的,并且取正向并且取正向.注注规定规定 边界曲线边界曲线L的的正向正向.区域区域D总在他的总在他的左边左边.DL D:记为记为 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用5),()(),(21bxaxyxyxD ),()(),(21dycyxyyxD (1)先对简单区域证明先对简单区域证明:证明证明 LDyQxPyxyPxQdddd)(若区域若区域D既是既是型型 X又是又是型型 Y即平行于坐标轴的直线即平行于坐标轴的直线和和L至多交于两点至多交于两点.xyOabdcD)(
4、1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用6D)(2yx )(1yx DyxxQdd dcyyyQd),(2 CBEyyxQd),(同理可证同理可证 LDxyxPyxyPd),(dd dcyd dcyyyQd),(1 LDyQxPyxyPxQdddd)(yyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyyxQd),()()(21 xxQyyd)()(21 CBECAE yyxQd),(LDyQxPyxyPxQdddd)(LyyxQd),(xyOdcABCE化为二次积分化为二次积分化为第二类曲线积化为第二类曲线积分分 10.3 格林公式及其应用格
5、林公式及其应用7DL(2)再对一般区域证明再对一般区域证明:1L1D2D3D DyxyPxQdd)(若区域若区域D由按段光滑由按段光滑(如图如图)将将D分成三个既是分成三个既是型型 X又是又是型型 Y的区域的区域,1D yxyPxQdd)(2L3L321DDD ,2D.3D的闭曲线围成的闭曲线围成.xyO积分区域的可加性积分区域的可加性 LDyQxPyxyPxQdddd)(10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用8 LyQxPdd DyxyPxQdd)(321dd)(DDDyxyPxQ yxyPxQdd)(yxyPxQdd)(yQxPdd yQxPdd LDyQxPyxyPxQdddd)(y
6、xyPxQdd)(1D2D3D yQxPdd1L2L3LDL1L2L3L1D2D3D(L1,L2,L3对对D来说为正方向来说为正方向)10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用91L2L3L(3)对复连通区域证明对复连通区域证明:DyxyPxQdd)(若区域不止由一条闭曲线若区域不止由一条闭曲线 LyQxPdd 所围成所围成.)dd(yQxP 2L(3L 1L)D格林公式格林公式且边界的方向对区且边界的方向对区的曲线积分的曲线积分,右端应包括沿区域右端应包括沿区域D的的全部边界全部边界域域D来说都是正向来说都是正向.LDyQxPyxyPxQdddd)(对复连通区域对复连通区域D,(L1,L2,
7、L3对对D来说为正方向来说为正方向)10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用101L2L3L(3)对复连通区域证明对复连通区域证明:由由(2)知知 DyxyPxQdd)(3L)0,0(CEECABBA若区域不止由一条闭曲线若区域不止由一条闭曲线添加直线段添加直线段,AB.CE则则D的边界曲线由的边界曲线由,AB,2L,BA,AFC,CE,3LECCGA及及构成构成.LyQxPdd 所围成所围成.AB 2L BA AFC CE)dd(yQxP EC CGA)dd(yQxP 2L(3L 1L)GFDCEAB(L1,L2,L3对对D来说为正方向来说为正方向)对复连通区域对复连通区域D,格林公式格林
8、公式且边界的方向对区且边界的方向对区的曲线积分的曲线积分,右端应包括沿区域右端应包括沿区域D的的全部边界全部边界域域D来说都是正向来说都是正向.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用11 便于记忆形式便于记忆形式:.dddd LDyQxPyxQPyx格林公式的实质格林公式的实质之间的联系之间的联系.沟通了沿闭曲线的积分与沟通了沿闭曲线的积分与二重积分二重积分 LDyQxPyxyPxQdddd)(10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用12 Lxyyxdd(1)计算平面的面积计算平面的面积3.简单应用简单应用 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式.dd21 LxyyxAy
9、x得得 Dyxdd2闭区域闭区域D的的面积面积 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用13Oxy 例例 求椭圆求椭圆解解由公式由公式得得tttabAd)sin(cos212202 .ab D所围成的面积所围成的面积.LxyyxAdd2120,sin,cos ttbytax 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用14对对平面闭曲线平面闭曲线上的对坐标曲线积分上的对坐标曲线积分,yPxQ 当当比较简单时比较简单时,常常考虑通过常常考虑通过格林格林公式公式化为化为二重积分二重积分来计算来计算.DLyxyPxQyQxPdd)(dd 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用15D计算计算.d)
10、(d)3(LxyxyyxL是圆周是圆周:如把如把圆周写成参数方程圆周写成参数方程:,cos31 x再将线积分化为定积分计算再将线积分化为定积分计算,用用格林公式格林公式易求易求.分析分析 sin34 y)20(则过程较麻烦则过程较麻烦.9)4()1(22 yx解解,)(yxP 设设yxQ 3由格林公式由格林公式3 xQ,1 yP Dyxdd2.18 Lxyxyyxd)(d)3(Oxy(2)简化曲线积分的计算简化曲线积分的计算例例 DLyxyPxQyQxPdd)(dd 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用162.1 LyyyyxxyxI,d)2e(de3计算计算其中其中L为圆周为圆周xyx
11、222 解解,eyP yxxyQy2e3 ,eyyP yyxQe3 3yyPxQ 由由格林公式格林公式有有 DLyxyPxQyQxPdd)(dd I对称性对称性的的正向正向.Oxy yxyDdd3.0D 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用17则曲线积分则曲线积分为取正向的圆周为取正向的圆周设设,922 yxL Lyxxxyxy).(d)4(d)22(218 解解,22yxyP 设设xxQ42 由格林公式由格林公式42 xxQ,22 xyP Lyxxxyxyd)4(d)22(2 Dyxxxdd)2242(Dyxdd2.18 DLyxyPxQyQxPdd)(dd 10.3 格林公式及其应用
12、格林公式及其应用18例例 计算计算,d)cose(d)sine(ymyxmyyxAOx .22axyx 分析分析但由但由myQx cose xQ yP可知可知 yPxQ非常简单非常简单.m,coseyxmyx cose,sinemyyPx 其中其中AO是从点是从点A(a,0)到到点点O(0,0)的上半圆周的上半圆周此积分路径此积分路径AO不是闭曲线不是闭曲线!Oxy)0,(aA 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用19Oxy为应用为应用格林公式格林公式再补充一段曲线再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单补充的曲线要简单,使之构成使之
13、构成闭曲线闭曲线.所以所以因而这里补加直线段因而这里补加直线段直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的通常是补充与坐标轴平行的 L不闭合不闭合+边边L,使使L+L闭合闭合,再用再用格林公式格林公式.由由格林公式格林公式 Dyxmdd ymyxmyyxOAAOxd)cose(d)sine(281am 解解.OAaxy 0,0OA的方程为的方程为 ax0d0故故0所以所以,I.812am 0812am AO OA OA000myPxQ ymyxmyyxOAxd)cose(d)sine()0,(aA 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用20 Lxyyxd2d则曲线积分则曲线积分222 yx设设L
14、为正向圆周为正向圆周在第一象限中的部分在第一象限中的部分,的值为的值为().23解解 Lxyyxd2d 2121LLLLL00dd3 Dyx3 yPxQ4)2(32 .23 LOxy222L1L DLyxyPxQyQxPdd)(ddD 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用210(3)二重积分化为线积分计算二重积分化为线积分计算则则 yPxQ解解 令令,0 P2eyxQ 例例为顶点的为顶点的 Dyyx,dde2计算计算是是其中其中D)1,0(),1,1(),0,0(BAO以以 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式 Dyyxdde2 BOABOAyyxde2 OAyyxde2
15、 AByyxde2 BOyyxde22ey).e1(211 10de2xxx0 0 0Oxy11ABD三角形闭区域三角形闭区域.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用22解解记记L所围成的闭区域为所围成的闭区域为D,其中其中L为一条无重点为一条无重点,分段光滑且分段光滑且不经过原点不经过原点的连续闭曲线的连续闭曲线,L的方向为的方向为例例 Lyxxyyx,dd22计算计算令令,22yxyP 22yxxQ ,022时时则当则当 yx有有 xQyP 22222)(yxxy 逆时针方向逆时针方向.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用23L Lyxxyyx22dd即即L为为不包围原点不包围原
16、点的任一闭曲线的任一闭曲线.即即L为为包围原点包围原点在内的任一在内的任一闭曲线闭曲线.由格林公式由格林公式,)0,0()1(时时当当D,)0,0()2(时时当当D 应用由应用由格林公式格林公式,得得 LDyQxPyxyPxQdddd)(0yPxQ 作位于作位于D内圆周内圆周222:ryxl DLxyOD1DrlxyOP、Q在闭区域在闭区域D上具有一阶连续偏导上具有一阶连续偏导;曲线曲线L是封闭的是封闭的,并且取正向并且取正向.记记D1由由L和和l所围成所围成,Lyxxyyx,dd22计算计算 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用24 Lyxxyyx22dd 2022222dsincos
17、 rrr Lyxxyyx22dd.2 yxyPxQdd 所以所以 00 lyxxyyx22dd sincosryrx1DyPxQ lyxxyyx22dd222:ryxl 其中其中l 的方向取的方向取逆时针方向逆时针方向L1DrlxyO注意格林公式的条件注意格林公式的条件对复连通区域对复连通区域D,格林公式右端应包括沿格林公式右端应包括沿且边界的方向且边界的方向区域区域D的的全部边界全部边界的曲线积分的曲线积分,对区域对区域D来说都是正向来说都是正向.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用25解解记记L与与l 围成的闭区域为围成的闭区域为D1.设设L为圆周为圆周在在L内部作有向椭圆内部作有向
18、椭圆l:顺时针方向顺时针方向.例例 LyxyxxyI.4dd22求求,022时时当当 yxxQyP .422的正向的正向 yx4:22 yxLlxyO,4222 yxl的方向为的方向为1D I Lyxyxxy224ddl lyxyxxy224dd 而而 lLyxyxxy224dd格林公式格林公式yxyPxQDdd)(1 00 lyxyxxy224dd cos2 x sin y 202)sin(dcos2)cos2(dsin 法一法一 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用26 lyxyxxy224dd 202)sin(dcos2)cos2(dsin dcos2sin22022222 20d
19、21 221 I所以所以0.法二法二 lyxyxxy224dd lyxxydd12 yxDdd)11(122 2)2(122 4:22 yxLlxyO1DD2是由是由l 所围区域所围区域2224 yx2224:yxl格林公式格林公式2D lyxxydd2 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用27Oxy 0sindeyyD 研究生考题研究生考题(数学一数学一)(10分分)已知平面区域已知平面区域,0,0),(yxyxDL为为D的正向边界的正向边界.试证试证:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyx.2dede)2(2sinsin Lxyxyyx证证左边
20、左边=L 0sindeyy,)dee(0sinsin xxx右边右边=0sindexx,)dee(0sinsin xxx法一法一 0sindexxxxxx(1)2eesinsin xx LxyLxyxyyxxyyxdedededesinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyxdedededesinsinsinsin 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用28.2dede)2(2sinsin Lxyxyyx 0sinsin)dee(xxx已知平面区域已知平面区域,0,0),(yxyxDL为为D的正向边界的正向边界.试证试证:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLx
21、yxyyxxyyx证证(2)由于由于,2eesinsin xx故由故由(1)得得 Lxyxyyxdedesinsin.22研究生考题研究生考题(数学一数学一)(10分分)10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用29证证 法二法二(1)根据根据格林公式格林公式,得得左边左边=右边右边=,d)ee(sinsin xDy ,d)ee(sinsin xDy 因为因为D关于关于xy 对称对称,所以所以 d)ee(sinsinxDy d)ee(sinsinxDy OxyDL LDyQxPyxyPxQdddd)(研究生考题研究生考题(数学一数学一)(10分分).2dede)2(2sinsin Lxyxyy
22、x已知平面区域已知平面区域,0,0),(yxyxDL为为D的正向边界的正向边界.试证试证:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyx LxyLxyxyyxxyyxdedededesinsinsinsin 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用30证证 法二法二由由(1)知知 Lxyxyyxdedesinsin d)ee(sinsinxDy d)ee(sinsinxDx d2 D.22 Lxyxyyxdedesinsin d)ee(sinsinxDy d)ee(sinsinxDy Lxyxyyxdedesinsin+研究生考题研究生考题(数学一数学一)(1
23、0分分).2dede)2(2sinsin Lxyxyyx已知平面区域已知平面区域,0,0),(yxyxDL为为D的正向边界的正向边界.试证试证:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyx 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用31G 1ddLyQxP 2ddLyQxPB如果在区域如果在区域G内有内有二、平面上曲线积分与路径无关二、平面上曲线积分与路径无关的条件的条件AL1L21.平面上曲线积分与路径无关的定义平面上曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关否则与路径有关.则称曲线积分则称曲线积分 LyQxPdd在在G内内与路径无关与路径无关,xyO 10.3
24、 格林公式及其应用格林公式及其应用322.平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件定理定理10.510.5的各分量在区域的各分量在区域D上有上有一阶一阶连续偏导数连续偏导数,则以下三个则以下三个(1)对对D中任意分段光滑的中任意分段光滑的闭闭曲线曲线L,总有总有;0d),(d),(yyxQxyxPL(2)曲线积分曲线积分yyxQxyxPLd),(d),(在在D内与内与(3)yyxQxyxPd),(d),(在在D内是某个二元内是某个二元函数的全微分函数的全微分,即存在即存在u(x,y),使得使得路径无关路径无关;.d),(d),(),(dyyxQxyxPyxu ),(),(),(
25、yxQyxPyxF 设向量函数设向量函数命题命题等价等价：10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用33证证 定理中的三个条件互为定理中的三个条件互为充要条件充要条件.证明方式证明方式:)2()1(0d),(d),(yyxQxyxPL在在D内与路径无关内与路径无关.DABL1L2如图如图,在在(1)的条件下的条件下yyxQxyxPLd),(d),(0yyxQxyxPd),(d),(yyxQxyxPd),(d),(1L 2LyyxQxyxPLd),(d),(2 于是于是,yyxQxyxPLd),(d),(1 .d),(d),(2yyxQxyxPL yyxQxyxPLd),(d),()1()3()
26、2()1(10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用34:)3()2(由条件由条件(2)yyxQxyxPABd),(d),(yyxQxyxPd),(d),(),(00yx),(yx),(yxu只需证只需证xu yu 由偏导定义由偏导定义lim xu),(),(yxuyxxu x 0 x ),(yxxuyyxQxyxPd),(d),(),(00yx),(yxx 在在D内与路径无关内与路径无关yyxQxyxPLd),(d),(yyxQxyxPyxud),(d),(),(d 设设A(x0,y0),B(x,y)是是D内任意两点内任意两点,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用35),(yxx xy
27、OD),(yxxM yyxQxyxPd),(d),(),(yxyyxQxyxPd),(d),(),(yx),(yxPxu 于是于是,),(yxxu),(yxu xyxPd),(xyxxP ),(积分中值定理积分中值定理0lim xxu),(yxxP ),(yxP P连续连续同理可证同理可证),(yxQyu 所以所以,),(yxxuyyxQxyxPd),(d),(),(00yx),(yxx .d),(d),(),(dyyxQxyxPyxu xx x),(00yx),(yxu),(yxB),(00yxA 0）（10 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用36:)1()3(不妨设封闭曲线不妨设封
28、闭曲线其参数方程为其参数方程为),(),(tyytxx ,10ttt ),(),(00tytx)(),(11tytx都对应都对应A点点,则则 ACBAyyxQxyxPd),(d),(10d)()(),()()(),(ttttytytxQtxtytxP易证易证)()(),()()(),()(),(tytytxQtxtytxPtytxu 是是原函数原函数.)(),()(),(0011tytxutytxu )()(AuAu .0 yyxQxyxPyxud),(d),(),(d .0d),(d),(yyxQxyxPLACBA是光滑的是光滑的,化为定积分化为定积分 10.3 格林公式及其应用格林公式及其
29、应用37推论推论10.1(10.1(曲线积分的基本定理曲线积分的基本定理)积分积分 LrFd区域区域G内的一个向量场内的一个向量场,),(),(),(yxQyxPyxF 设向量函数设向量函数续续,是平面是平面P(x,y)及及Q(x,y)都在都在G内连内连且存在一个数量函数且存在一个数量函数f(x,y),使得使得,fF 则曲线则曲线在在G内与路径无关内与路径无关,且且).()(dAfBfrFL 其中其中L为位于区域为位于区域G内起点为内起点为A、终点为、终点为B的任意分的任意分分段光滑曲线分段光滑曲线.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用38定理定理10.610.6下两个命题下两个命题等价
30、等价：(1)曲线积分曲线积分yyxQxyxPLd),(d),(在在D内与内与xQyP (2)在在D内恒成立内恒成立.路径无关路径无关;的各分量在的各分量在单连通单连通区域区域D上有上有一阶一阶连续偏导数连续偏导数,),(),(),(yxQyxPyxF 设向量函数设向量函数则以则以证证在在D内任取一条内任取一条闭闭曲线曲线C,都有都有.0dd yQxPC格林公式格林公式 CGyQxPyxyPxQdddd闭闭曲线曲线C所包围的区域所包围的区域G完全位于完全位于D内内,:)2()1(0 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用390dd yxyPxQGxQyP ,由于由于的连续性的连续性,在在D内
31、恒内恒可以得到可以得到xQyP 成立成立.:)1()2(在在D内任取一条内任取一条闭闭曲线曲线C,单连通的单连通的,因为因为D是是闭闭曲线曲线C所包围的区域所包围的区域G完全位于完全位于D内内,格林公式格林公式yxyPxQyQxPGCdddd 0 所以所以,曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用40例例 计算曲线积分计算曲线积分,d)(d)21(22yyxxyxyL 其中其中L是是)1,1()0,0(222到到上从上从yyx 的一段有向弧的一段有向弧.xyO)1,1(B解解,21),(2yxyyxP ,)(),(2yxyxQ yP)(2yx xQ 曲线
32、积分与路径无关曲线积分与路径无关.L上述定理的简单应用：上述定理的简单应用：(1)简化曲线积分简化曲线积分 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用41曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.xyO)1,1(BL所以所以可以用有向折线可以用有向折线代替有向弧代替有向弧L.如图如图.于是于是,d)(d)21(22yyxxyxyL yyxxyxyd)(d)21(22 yyxxyxyd)(d)21(22 10dx0000 102d)1(yy.34 ,d)(d)21(22yyxxyxyL ).1,1()0,0(2:22到到上从上从yyxL ABOAL 10ABOA)0,1(A1 10.3 格林公式及其
33、应用格林公式及其应用42xyO 解解.1523 原式原式=yyxxxyxd)(d)2(422 102dxxyy d)1(104 xyxxxQ2)(42 xxyxyyP2)2(2 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.例例 Lyyxxxyx.d)(d)2(422计算计算为为其中其中L.2sin)1,1()0,0(xyBO 的曲线弧的曲线弧到点到点由点由点xQyP )0,0()1,1()1,1(B )0,1(10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用43考虑表达式考虑表达式如果存在一个函数如果存在一个函数yyxQxyxPd),(d),(),(yxu使得使得),(dyxu则称则称yyxQxyxPd)
34、,(d),(并将并将的一个的一个称为称为yyxQxyxPyxuud),(d),(),(yyxQxyxPd),(d),(全微分式全微分式,为一为一原函数原函数.yyxQxyxPd),(d),()2(求求的原函数的原函数.定理的简单应用：定理的简单应用：10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用44 由由例例,ddd2xxyyxxy .ddd2yyxxyyx 可知可知:,dd2xxyyx 2ddyyxxy 都是都是分别是上面的分别是上面的,xy,xyyxyxxyxydd)(d ,ddyxxy 原函数原函数.全微分式全微分式.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用45 下面说明一般怎样下面说明一
35、般怎样 判断全微分式判断全微分式求原函数求原函数xQyP 由定理由定理,yyxQxyxPd),(d),(是一个是一个全微分式全微分式,即即),(dyxuyyxQxyxPd),(d),(1)判断全微分式判断全微分式 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用46xQyP 若若 ),(),(00d),(d),(yxyxyyxQxyxPxyxPxxd),(00 ),(0yxC),(yxB yyxQyyd),(00 D(x0,y)yyxQyyd),(0 xyxPxxd),(0 或或则则Oxy),(00yxA(2)求原函数求原函数),(yxu),(yxu ),(),(00d),(d),(yxyxyyxQ
36、xyxPACBADB 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用47例例?d)2e(d)e(是否为全微分式是否为全微分式问问yyxxxyy 用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是,解解 在全平面成立在全平面成立.exQyPy 所以上式是所以上式是全微分式全微分式.e222yxxy 因而一个原函数是：因而一个原函数是：全平面为单连通域全平面为单连通域,yyxxxyxuyyxyd)2e(d)e(),(),()0,0(yyxyyd)2e(0 xxxd)e(00 xyO法一法一)0,(x(x,y)10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用48这个原函数也可用下法这个原函数也可用下法
37、“分组分组”凑出凑出:222edyxxy.e2),(22yxxyxuy yyxxxyyd)2e(d)e()dede(yxxyy )e(dyx)d2d(yyxx 222dyx),(yxu法二法二 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用49因为函数因为函数u满足满足Pxxuy e故故yy2)(从而从而所以所以,.2e),(22Cyxxyxuy 问问 是否为全微分式是否为全微分式?yyxxxyyd)2e(d)e(用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是,xxuyd)e(2e2xxy)(y 由此得由此得yxy2e y的待定函数的待定函数法三法三 )(eyxy yuCyyyy 2d
38、2)(10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用50解解,2)(2xyxyyyP )()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP)(),(xyyxQ xQyP 积分与路径无关积分与路径无关设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)(d2 具有连续的导数具有连续的导数,其中其中,0)0(且且 )1,1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算即即xyxy2)(10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用51xyO 10d0 x.21(1,0)10dyyxyxy2)(由由Cxx 2)(0 C知知2)(xx )1,1(设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)(d
39、2 具有连续的导数具有连续的导数,其中其中,0)0(且且 )1,1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算 )1,1()0,0(2d)(dyxyxxy,0)0(由由 )1,1()0,0(22ddyyxxxy 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用52xyO法二法二)1,1()1,1()0,0(2d)(dyxyxxy)1,0(10d0 yy 102d1xx0 1022x.21 设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)(d2 具有连续的导数具有连续的导数,其中其中,0)0(且且 )1,1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算 )1,1()0,0(22ddyyx
40、xxy 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用53),()(在在设函数设函数xf内具有一阶连续导数内具有一阶连续导数,L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,为为(a,b),终点为终点为(c,d).,d1)(d)(11222yxyfyyxxxyfyyIL 记记(1)证明证明曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关;(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.证证)(112xyfyyyyP 因为因为 1)(22 xyfyyxxxQ)(1)(2xyfxyyxyf 所以在上半平面内所以在上半平面内曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关.(1)例例其起点其
41、起点 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用54.badc 解解(2)由于由于曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关,yxyfyyxxxyfyyILd1)(d)(11222 L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).),(dc 所以所以xbxfbbIcad)(112 ycyfyycdbd1)(22 xbxbfbaccad)(bcdcycyfcdb d)(ttfttfbadccdbcbcabd)(d)(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.0tt法一法一xyO),(ba),(bc 10.3 格林公式及其应用格林
42、公式及其应用55解解(2)yxyfyyxxxyfyyILd1)(d)(11222 L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.法二法二 I,d)(d)(yxyxfxxyyfL 2ddyyxyxLbadc 2ddyyxyxL 设设F(x)为为f(x)的一个原函数的一个原函数,则则 yxyxfxxyyfLd)(d)()()(abFcdF.badcI 由此得由此得 Lyxd),(),(dcbayx,0)d()(xyxyfL )dd()(yxxyxyfL 10.3 格林公式及其应用格林公
43、式及其应用56例例 求解求解 有的微分方程可以由多元函数全微分的逆运有的微分方程可以由多元函数全微分的逆运xyy (是可分离是可分离、解解 将方程写成将方程写成因为左端是全微分式因为左端是全微分式所以方程变成所以方程变成得通解得通解.Cxy 三、全微分方程三、全微分方程又是齐次方程又是齐次方程)(d xy算解出算解出.xyyxdd0dd xyyx0)(d xy 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用571.定义定义0d),(d),(yyxQxyxP则则若有全微分形式若有全微分形式如如0dd yyxx)(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程yyxxddd 是全微
44、分方程是全微分方程.xQyP 所以所以0dd yyxx),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d 全微分方程全微分方程 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用582.解法解法0d),(d),(yyxQxyxP(1)应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关;xQyP 通解为通解为yyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 ,d),(d),(000 xyxPyyxQxxyy Cyxu),(2)用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法;全微分方程全微分方程(3)用不定积分的用不定积分的方法方法.yyxxyyxQxyxP00d),(d),(0),(0y
45、xC),(yxB D(x0,y)Oxy),(00yxA 因为因为 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用59.1dd32的通解的通解求方程求方程xyxxxy 解解例例将方程整理得将方程整理得,1xQyP 0d)1(d)(32 yxxyxx全微分方程全微分方程因为因为(1)用曲线积分与路径无关用曲线积分与路径无关),(yxu.4343xyyxx yxyxxxx0032d)1(d)(yxxyxxyxd)1(d)(),()0,0(32 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用60(2)凑微分法凑微分法 yd yd0)43d(43 xxxyy )dd(xyyx xx d2xx d30 )(d d
46、 d0 原方程的通解为原方程的通解为.4343Cxxxyy xy33x44x0d)1(d)(32 yxxyxx 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用61(3)不定积分不定积分法法yxxxu 32 xyxx4343 yu yu又又,1)(xyCx 1)(yC,)(yyC 原方程的通解为原方程的通解为.4343Cxxxyy 0d)1(d)(32 yxxyxx),(yCx x 1)(yC xyxxyxud)(),(32因为因为所以所以所以所以所以所以xu yu 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用62.0d3d24223的通解的通解求方程求方程 yyxyxyx解解46yxyP 全微分方程
47、全微分方程将左端重新组合将左端重新组合 yyd12.132Cyxy 原方程的通解为原方程的通解为)1(d32yxy 例例)d3d2(423yyxxyx xQ d d y1 32yx 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用63格林公式格林公式 LDyQxPyxyPxQdddd)(四四、小结、小结单单(复复)连通区域的概念连通区域的概念 格林公式的应用格林公式的应用格林公式的实质格林公式的实质的联系的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间注意使用条件注意使用条件 与路径无关的等价命题与路径无关的等价命题 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用64xyO思
48、考题思考题.)(dd)0,1()1,0(2 yxxyyxI计算曲线积分计算曲线积分.)0,1()1,0(的直线段的直线段至至为自积分路径为自积分路径其中其中BAL 是非题是非题解解 因为因为xQyxxyyP 422)(故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关.)1,0(A)0,1(B AOyxxyyxI2)(dd OByxxyyx2)(dd 012)0(d0yy 102)0(d0 xx0 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用65非非 因为在因为在定理定理10.610.6中中,要求所考虑区域要求所考虑区域G是是且函数且函数P(x,y),Q(x,y)及其偏导数在及其偏导数在G上上对本题来说对本题来说,当且仅当当且仅当,时时xy 导数连续导数连续,上述解法中点上述解法中点(0,0)在直线在直线,上上xy 从而从而.)(dd)0,1()1,0(2 yxxyyxI计算曲线积分计算曲线积分为为其中其中L.)0,1()1,0(的直线段的直线段至至自积分路径自积分路径BA xQyxxyyP 422)(单连通的单连通的,连续连续,P、Q及其偏及其偏不满足不满足定理定理10.610.6的条件的条件.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用66作作 业业习题习题10.3(43810.3(438页页)
