1、常见的数学函数模型常见的数学函数模型:注意：建立相应函数模型后，求函数解注意：建立相应函数模型后，求函数解析式多采用用待定系数法析式多采用用待定系数法.一次函数模型：一次函数模型：y=kx+b (k0)二次函数模型：二次函数模型：y=ax2+bx+c (a0)指数函数模型：指数函数模型：对数函数模型：对数函数模型：幂函数模型：幂函数模型：分段函数模型：分段函数模型：y=max+n(m0,a0且且a1)y=mlogax+n(m0,a0且且a1)y=bxa+c (b0,a1)新课引入新课引入 例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。间的关系如图所
2、示。（1）求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；并说明所求面积的实际含义；应用实例t/hv/(km/h)90705060301020408012345 例例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。间的关系如图所示。（1）求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；并说明所求面积的实际含义；解：解：（1）阴影部分的面积为）阴影部分的面积为501+801+901+751+651=360应用实例函数模型的应用实例t/hv/(km/h)90705060301020408012345 例例3 一辆
3、汽车在某段路程中的行驶速率与时一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。间的关系如图所示。（1）求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；并说明所求面积的实际含义；解：解：（1）阴影部分的面积为）阴影部分的面积为501+801+901+751+651=360阴影部分的面积表示汽车在这阴影部分的面积表示汽车在这5小时小时内行驶的路程为内行驶的路程为360km.应用实例函数模型的应用实例t/hv/(km/h)90705060301020408012345（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为的读数为200
4、4km，试建立行驶这段路程时汽车里程，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数表读数s km与时间与时间t h的函数解析式，并作出相应的的函数解析式，并作出相应的图象。图象。应用实例t/hv/(km/h)90705060301020408012345函数模型的应用实例（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数读数s km与时间与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。的函数解析式，并作出相应的图象。解：根据图解：根据图3.2-7，有，有S=50t+2004 8
5、0(t-1)+205490(t-2)+213475(t-3)+222465(t-4)+22990t11t22t33t44t5应用实例函数模型的应用实例t/hv/(km/h)90705060301020408012345（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数数s(km)与时间与时间t(h)的函数解析式，并作出相应的图象。的函数解析式，并作出相应的图象。解：根据图3.2-7，有S=50t+2004 80(t-1)+205490(t-2)+213475(t
6、-3)+222465(t-4)+22990t11t22t33t44t5这个函数的图象如图这个函数的图象如图3.2-8所示所示s应用实例2400图3.2-8t0123452000210022002300函数模型的应用实例(1)怎样建模（利用已知函数关系）(2)学会识图，作图和用图；(3)分段函数是刻画现实问题的重要模型。小结函数模型的应用实例思考思考1.某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步去学校，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑步去学校，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段路后就累了，于是就走完余下的路程。了一段路后就累了，于是就走完余下的路程。如
7、果用纵轴表示该同学去学校时离开家的距离，如果用纵轴表示该同学去学校时离开家的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此学生走法的是合此学生走法的是()tt0d0d0(A)tt0d0d0(B)tt0d0d0(D)tt0d0d0(C)C 2.设计四个杯子的形状设计四个杯子的形状,使得在向杯中匀速注水时使得在向杯中匀速注水时,杯中水面的体积杯中水面的体积V随高度随高度h变化的图象分别与下列变化的图象分别与下列图象相符合图象相符合.0hHvh0Hv0Hv0Hv例例4 人口问题是当今世界各国普遍关注的人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的
8、变化规律，可以为问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在有效控制人口增长提供依据。早在1798年，年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：下的人口增长模型：应用实例函数模型的应用实例下表是下表是19501959年我国的人口数据资料年我国的人口数据资料：年份年份1950195119521953195419551956195719581959人数人数/万人万人55196563005748258796602666145662828645636599467207其中其中t表示经过的时间，表示经过的时间，y0表示表示t=0时
9、的人口数，时的人口数，r表示表示人口的年平均增长率。人口的年平均增长率。（1 1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到时期的人口增长率（精确到0.00010.0001），用马尔萨斯人），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；并检验所得模型与实际人口数据是否相符；函数模型的应用实例y=y0er t同理可得，同理可得，r20.0210 r30.0229 r40.0250 r50.0197 r60.0223 r70.0276
10、 r80.0222 r90.0184r=（r1+r2+r9）90.0221应用实例解：解：（1）设）设19511959年的人口增长率分别为年的人口增长率分别为 r1，r2，r9.由由 55196(1+r1)=56300可得可得1951年的人口增长率年的人口增长率 r10.0200。函数模型的应用实例同理可得，r20.0210 r30.0229 r40.0250 r50.0197 r60.0223 r70.0276 r80.0222 r90.0184于是，19511959年期间，我国人口的年均增长率为0.0221r=（r1+r2+r9）90.0221令y0=55196，则我国在19501959年
11、期间的人口增长模型为应用实例解：解：（1）设）设19511959年的人口增长率分别为年的人口增长率分别为 r1，r2，r9.由由 55196(1+r1)=56300可得可得1951年的人口增长率年的人口增长率 r10.0200。函数模型的应用实例同理可得，r20.0210 r30.0229 r40.0250 r50.0197 r60.0223 r70.0276 r80.0222 r90.0184于是，19511959年期间，我国人口的年均增长率为r=（r1+r2+r9）90.0221令y0=55196，则我国在19501959年期间的人口增长模型为Nteyt,551960221.0应用实例解：
12、（1）设19511959年的人口增长率分别为 r1，r2，r9.由 55196(1+r1)=56300可得1951年的人口增长率 r10.0200。函数模型的应用实例函数模型的应用实例例4实际数据与计算数据对比序号序号0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9年份年份19501950195119511952195219531953195419541955195519561956195719571958195819591959人数人数/万人万人55196551965630056300574825748258796587966026660266614566145662828628
13、28645636456365994659946720767207y=55196ey=55196e0.02210.0221t t应用实例函数模型的应用实例函数模型的应用实例例4实际数据与计算数据对比序号序号0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9年份年份19501950195119511952195219531953195419541955195519561956195719571958195819591959人数人数/万人万人551965519656300563005748257482587965879660266602666145661456628286282864563
14、6456365994659946720767207y=55196ey=55196e0.02210.0221t t5519655196564295642957690576905898058980602976029761645616456302263022644316443165870658706734267342应用实例函数模型的应用实例函数模型的应用实例例4实际数据与计算数据对比序号序号0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9年份年份19501950195119511952195219531953195419541955195519561956195719571958195
15、819591959人数人数/万人万人5519655196563005630057482574825879658796602666026661456614566282862828645636456365994659946720767207y=55196ey=55196e0.02210.0221t t5519655196564295642957690576905898058980602976029761645616456302263022644316443165870658706734267342应用实例函数的应用实例图像检验函数模型的应用实例50 00050 00055 00055 00060
16、00060 00065 00065 00070 00070 000y yx x123456789由图可以看出，所得模型与由图可以看出，所得模型与19511959年的实际人口数据基年的实际人口数据基本吻合。本吻合。（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？应用实例函数的应用实例函数模型的应用实例（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：将 y=130000代入由计算器可得t38.76Nteyt,551960221.0应用实例函数的应用实例函数模型的应用实例（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：将 y=130000代入由计算器
17、可得t38.76所以，如果按表中的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。Nteyt,551960221.0应用实例函数的应用实例函数模型的应用实例猜一猜函数的应用实例如果不实行计划生育，我国今天的人口是多少？函数模型的应用实例猜一猜函数的应用实例如果不实行计划生育，我国今天的人口是多少？函数模型的应用实例20.79亿实际问题实际问题数学模型数学模型实际问题实际问题 的解的解抽象概括抽象概括数学模型数学模型 的解的解还原说明还原说明推推理理演演算算问题解决问题解决数学化数学化数学解答数学解答符合实际符合实际(设、列设、列)(解解)(答答)解决实际应用
18、问题的一般步骤：解决实际应用问题的一般步骤：例例5.5.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200200元，元，每桶水的进价是每桶水的进价是5 5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价销售单价/元元日均销售量日均销售量/桶桶6 67 78 89 9101011111212480480440440 400400 360360 320320 280280 240240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？获得最大利润？利润怎样
19、产生的？利润怎样产生的？销售单价每增加销售单价每增加1 1元，日均销售量元，日均销售量分析分析:由表中信息可知由表中信息可知就减少就减少40桶桶.利润利润=收入收入-成本成本收入收入=售价售价 销售量销售量解解:设在进价基础上增加设在进价基础上增加x x元后元后,日均经营利润为日均经营利润为y y元元,则有日均销售量为则有日均销售量为:4 48 80 0-4 40 0(x x-1 1)=5 52 20 0-4 40 0 x x（桶）（桶）2 22 2y y=(5 52 20 0-4 40 0 x x)x x-2 20 00 0 =-4 40 0 x x+5 52 20 0 x x-2 20 0
20、0 0 =-4 40 0(x x-6 6.5 5)+1 14 49 90 0由于由于x x 0 0,且且5 52 20 0-4 40 0 x x 0 0,即即0 0 x x 1 13 3当当 x x=6 6.5 5时时，y y有最大值有最大值 只需将销售单价定为只需将销售单价定为11.511.5元，就可获得最大的利润。元，就可获得最大的利润。例例6.以下是某地区不同身高的未成年男性的以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：体重平均值表：606.137.909.9912.15身高身高/cm体重体重/Kg80901001101207020.9217.5015.02身高身高/cm体重体重/K
21、g17016015014013055.0547.2538.8526.86 31.11（1）根据表中提供的数据，能否从我们已）根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数经学过的函数 中选中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重未成年男性体重y关于身高关于身高x的函数关系？试的函数关系？试求出函数解析式。求出函数解析式。xbay,balnxy,baxy x0y解：解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图标，在直角坐标系中画出散点图解：将已知数据输入画出图,根据图的总体变化趋势，可以考虑函数
22、进行拟合,反映上述数据之间的对应关系.xbay将 x=70,y=7.90和x=16 0,y=47.25 两组数据代入可得 xbay1607025.4790.7baba如果保留两位小数可得 a=2，b=1.02所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为 xy02.12例例6.（2 2）若体重超过相同身高男性平均值的）若体重超过相同身高男性平均值的1.21.2倍为偏胖，倍为偏胖，低于低于0.80.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生为倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生为175cm175cm，体重，体重为为78Kg78Kg，他的体重是否正常？，他的体重是否正常？7863.981.221.2由
23、于所以这个男生偏胖。应用函数模型解决实际问题基本过程应用函数模型解决实际问题基本过程收集数据收集数据画散点图画散点图选择函数模型选择函数模型求函数模型求函数模型检验检验用函数模型解实际问题用函数模型解实际问题符合实际符合实际不符合实际不符合实际爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一
24、片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那
25、一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望
26、着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵
27、又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”其实，世上最温暖的语言，“不是我爱你，而是在一起。”所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时
28、，错过一世！择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折
29、磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪，弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时，你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏识，还是成长岁月无法躲避的经历愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能善待自己和他人。一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每一个朝夕直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
