1、习题课正弦定理和余弦定理第二章解三角形学习目标1.学会利用三角形中的隐含条件.2.学会根据条件特点选择正弦定理、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一有关三角形的隐含条件“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：(1)由ABC180可得sin(AB)，cos(AB)，sin Ccos Ctan C(2)由三角形的几何性质可得acos Cccos A ，bcos Cccos B ，acos Bbcos A .(3)由大边对大角可得sin Asin BA B.(4)由锐角ABC可得任意两内角之和大于
2、，进而可得sin A cos B.bac知识点二正弦定理、余弦定理常见形式ABC外接圆的半径2.余弦定理的呈现形式(1)a2 ，b2 ，c2 ；(2)cos A ，cos B ，cos C .b2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C特别提醒：解题的关键是根据题目特点，选择恰当的定理及变形，进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变形解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件，如内角和等.思考辨析 判断正误1.在ABC中，若sin Asin B，则AB.()2.在ABC中，若sin 2Asin 2B，则AB.()3.在ABC中，若cos Aco
3、s B，则AB.()题型探究例例1在ABC中，若ccos Bbcos C，cos A ，求sin B的值.类型一利用正弦、余弦定理转化边角关系解答解解由ccos Bbcos C，结合正弦定理，得sin Ccos Bsin Bcos C，故sin(BC)0，0B，0C，BC，BC0，BC，故bc.引申探究引申探究1.对于本例中的条件，ccos Bbcos C，能否使用余弦定理？解答化简得a2c2b2a2b2c2，c2b2，从而cb.2.本例中的条件ccos Bbcos C的几何意义是什么？解答解解如图，作ADBC，垂足为D.则ccos BBD，bcos CCD.ccos Bbcos C的几何意义
4、为边AB，AC在BC边上的射影相等.反思与感悟反思与感悟(1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段.(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式.解答跟踪训练跟踪训练1在ABC中，已知b2ac，a2c2acbc.(1)求A的大小；解答类型二涉及三角形面积的条件转化例例2在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B2sin A，且ABC的面积为a2sin B，则cos B .答案解析解析解析由sin B2sin A及正弦定理，得b2a，由ABC的面积为a2sin B，反思与感悟反思与感悟表示三角形面积，即使确定用两边及其夹角，还要进一步选择好
5、用哪两边夹角.答案解析a2b2c22absin C，c2a2b22absin C.由余弦定理c2a2b22abcos C，得sin Ccos C.又C(0，180)，C45.类型三正弦、余弦定理与三角变形的综合应用解答4(1cos A)4cos2A5，即4cos2A4cos A10，0A180，A60.解答化简并整理，得(bc)2a23bc，反思与感悟反思与感悟(1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程.(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用.(3)三角恒等变形公式是否熟练，对顺利化
6、简非常重要.解答1cos B2sin Bcos B达标检测答案1234解析解析解析在ABC中，利用正弦定理，得解析解析c2acos B，由正弦定理得，2cos Bsin Asin Csin(AB)，sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，又AB，AB0，AB，ABC是等腰三角形.1234解析答案2.在ABC中，若c2acos B，则ABC的形状一定是A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案1234解析解析解析设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，答案又0A180，A150.1234解析答案1.对于给出的条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一为边的关系或把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论.2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况选择恰当的定理或定理的变形来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.规律与方法
