1、2 二元函数的极限 与一元函数的极限相类似，二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数 的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.一、二元函数的极限 二、累次极限 一、二元函数的极限 f2RD 0P定义定义1 设二元函数设二元函数 定义在定义在上上,为为 D 的的 一个聚点一个聚点,A 是一实数是一实数.若若0,0,使得当使得当 0(;)PUPD 时时,都有都有|()|,f PA 0lim().PPPDf PA 在对在对PD 不致产生误解时不致产生误解时,也可简单地写作也可简单地写作 f0PP则称则称在在 D 上当上当时以时
2、以 A 为极限为极限,记作记作 0lim().PPf PA 0P00(,),(,)x yxy当当 P,分别用坐标分别用坐标 表示时表示时,上式也上式也 常写作常写作 00(,)(,)lim(,).x yxyf x yA 例例1 依定义验依定义验证证22(,)(2,1)lim()7.x yxxyy证证 因为因为 227xxyy22(4)2(1)xxyy|(2)(2)(2)2(1)(1)(1)|xxxyyyy|2|2|1|3|.xxyyy不妨先限制在点不妨先限制在点(2,1)的方邻域的方邻域 (,)|2|1,|1|1x yxy内来讨论内来讨论,于是有于是有|3|14|1|45,yyy|2|(2)(
3、1)5|xyxy|2|1|57.xy2277|2|5|1|xxyyxy7(|2|1|).xy0,min(1,),14 取取|2|,|1|xy 当当(,)(2,1)x y 且且 时时,就有就有 2277214.xxyy 这就证得这就证得 22(,)(2,1)lim()7.x yxxyy所以所以例例2 2 设设 2222(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),xyxyx yf x yxyx y，证明证明(,)(0,0)lim(,)0.x yf x y 证证(证法一证法一)0,由由222222222202xyxyxyxyxyxy222211(),22xyxy可知可知 222,0,xy 当当时时
4、 便便有有22220,xyxyxy 故故(,)(0,0)lim(,)0.x yf x y 注意注意 不要把上面的估计式错写成：不要把上面的估计式错写成：2222222210(),22xyxyxyxyxyxyxy(,)(0,0)x y(,)(0,0),x y 因为因为的过程只要求的过程只要求 即即 220,xy 0.xy 而并不要求而并不要求 (证法二证法二)作极坐标变换作极坐标变换 cos,sin.xryr 这时这时 2222|(,)0|xyf x yxyxy 2211|sin4|,44rr(,)(0,0)x y 0r 等价于等价于(对任何对任何 ).由于由于 因此，因此，220,2,rxy只
5、须只须对任何对任何 都有都有 2(,)(0,0)1|(,)0|,lim(,)0.4x yf x yrf x y 即即下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结结原则原则(而且证明方法也相类似而且证明方法也相类似).).定理定理16.5 0lim()PPP Df PA 的充要条件是：对于的充要条件是：对于 D 的的 任一子集任一子集 E,只要只要 仍是仍是 E 的聚点的聚点,就有就有0P0lim().PPP Ef PA 1ED 01lim()PPP Ef P 推论推论1 若若,P0 是是 E1 的聚点的聚点,使使 不存在不存在,则则0lim()PPP
6、Df P 也不存在也不存在 001212lim()lim()PPPPP EP Ef PAf PA与与120,E ED P 推论推论2 若若 是它们的聚点，使得是它们的聚点，使得12AA 0lim()PPP Df P 都存在，但都存在，但,则则不存在不存在推论推论3 极限极限 0lim()PPP Df P 存在的充要条件是：存在的充要条件是：D 中任中任 一满足条件一满足条件00lim,nnnnPPPPP 且且点点列列的的 它所它所 对应的函数列对应的函数列()nf P都收敛都收敛 下面三个例子是它们的应用下面三个例子是它们的应用 22(,)xyf x yxy (,)(0,0)x y 例例3 讨
7、论讨论当当时是时是否否存在极限存在极限(注注:本题结论很重要本题结论很重要,以后常会用到以后常会用到.)解解 当动点当动点(x,y)沿着直线沿着直线 而趋于定点而趋于定点(0,0)ymx时，由于时，由于2(,)(,)1mf x yf x mxm,因此有因此有 2(,)(0,0)0lim(,)lim(,).1x yxymxmf x yf x mxm 这说明动点沿不同斜率这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时的直线趋于原点时,对应对应 的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在210,(,)0yxxf x y ，,，其其余余部部分分.4例例设设如图如图 16-
8、15 所示所示,当当(x,y)沿任何直线趋于原点时沿任何直线趋于原点时,相应的相应的(,)f x y都趋于都趋于 0,但这并不表明此函数在但这并不表明此函数在(,)(0,0)x y 时的极限为时的极限为 0.因为当因为当(x,y)沿抛物线沿抛物线 2(01)ykxk (,)f x y 趋于点趋于点 O 时时,将趋于将趋于1.所所以极限以极限 (,)(0,0)lim(,)x yf x y不存在不存在.(,)xyf x yxy (,)(0,0)x y 例例5 讨论讨论在在 时不时不 存在极限存在极限 解解 利用定理利用定理 16.5 的推论的推论 2,需要找出两条路径需要找出两条路径,沿沿 着着此
9、二路径而使此二路径而使(,)(0,0)x y 时时,得到两个相异得到两个相异 的极限的极限 第一条路径简单地取第一条路径简单地取,yx 此时有此时有 2(,)(0,0)0()limlim0.2x yxyxxyxxyx 第二条路径可考虑能使第二条路径可考虑能使(,)xyf x yxy 的分子与的分子与 分母化为同阶的无穷小分母化为同阶的无穷小,导致极限不为导致极限不为 0.按此思路按此思路 的一种有效选择的一种有效选择,是取是取 2.yxx 此时得到此时得到 222(,)(0,0)00()()limlimlim(1)1,x yxxyxxxyx xxxxyx 这就达到了预期的目的这就达到了预期的目
10、的(非正常极限非正常极限)的定义的定义 定义定义2 设设 D 为二元函数为二元函数f的定义域，的定义域，000(,)P xy是是 D 的一个聚点的一个聚点.若若 0,0,M 使得使得 0(,)(;),(,),P x yUPDf x yM 都都有有0PP 则称则称 f在在 D 上当上当 时时,有有非正常极限非正常极限 ,记记作作 00(,)(,)lim(,),x yxyf x y (,)f x y 下面再给出当下面再给出当 时时,000(,)(,)P x yP xy或或 0lim().PPf P 仿此可类似地定义：仿此可类似地定义：00lim()lim().PPPPf Pf P 与与例例6 设设
11、 221(,)23f x yxy .证明证明 (,)(0,0)lim(,).x yf x y 证证 此函数的图象见图此函数的图象见图16-16.2222234()xyxy 0,M 因因 ,故对故对只需取只需取 2211,022xyMM 当当时时，就就有有22221123,.23xyMMxy 即即这就证得结果这就证得结果 二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,特特 同同,这里不再一一叙述这里不再一一叙述.(,)f x y()f P看作点函数看作点函数别把别把 时时,相应的证法也相相应的证法也相 二、累次极限是以任何方式趋于是以任何方式趋于 这种极限也称
12、为这种极限也称为重重 00(,),xy的的极限极限.下面要考察下面要考察 x 与与 y 依一定的先后顺序依一定的先后顺序,相继趋相继趋 在上面讨论的在上面讨论的00(,)(,)lim(,)x yxyf x y中中,自变量自变量(,)x y0 x于于 与与 时时 f 的极限的极限,这种极限称为这种极限称为累次极限累次极限.0y定义定义3 (,),(,),f x yx yDDxy设在轴、轴上的投设在轴、轴上的投000,.(),xyX YyY yy分别是的聚点 若对每一个分别是的聚点 若对每一个,XY影分别为、即影分别为、即|(,),|(,),Xxx yDYyx yD0()lim(,);xxyf x
13、 y 如果进一步还存在极限如果进一步还存在极限 0lim(),yyLy 累次极限累次极限,记作记作 0()xx0()yy则称此则称此 L 为为 先对先对 后对后对的的(,)f x y0lim(,)xxf x y，它一般与它一般与 y 有关有关,记作记作 存在极限存在极限00lim lim(,).yy xxLf x y 类似地可以定义类似地可以定义先对先对 y 后对后对 x 的累次极限的累次极限:00lim lim(,).xx yyKf x y 注注 累次极限与重极限是两个不同的概念累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间两者之间没有蕴涵关系没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点下面三个例子将
14、说明这一点.22(,)xyf x yxy (,)f x y例例7 设设.由例由例 3 知道知道 当当(,)(0,0)x y 0y 时的重极限不存在时的重极限不存在.但当但当时时,有有 220lim0,xxyxy 从而又有从而又有 2200limlim0.yxxyxy 同理可得同理可得 这说明这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等的两个累次极限都存在而且相等.2200limlim0.xyxyxy 累次极限分别为累次极限分别为 例例8 设设 ,它关于原点的两个它关于原点的两个 22(,)xyxyf x yxy2220000limlimlimlim(1)1,yxyyxyxyyyyxyy 22200
15、00limlimlimlim(1)1.xyxxxyxyxxxxyx 当沿斜率不同的直线当沿斜率不同的直线,(,)(0,0)ymxx y 时时,有有 诉我们诉我们,这个结果是必然的这个结果是必然的.)22(,)(0,0)1lim,1x yymxxyxymxym 因此该函数的重极限不存在因此该函数的重极限不存在.(下面的定理下面的定理 16.6 将告将告 例例 设设11(,)sinsinf x yxyyx,它关于原点的两它关于原点的两 个累次极限都不存在个累次极限都不存在.这是因为对任何这是因为对任何 0,y 而而当当0 x 时时,f 的第二项不存在极限的第二项不存在极限.同理同理,f 的第一的第
16、一 项当项当 时也不存在极限时也不存在极限.但但是由于是由于 0y 11sinsin|,xyxyyx(,)(0,0)lim(,)0.x yf x y 故按定义知道故按定义知道 时时 f 的重极限存在的重极限存在,且且 (,)(0,0)x y 下述定理告诉我们下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件重极限与累次极限在一定条件 下也是有联系的下也是有联系的.定理定理16.6 若若 f(x,y)的重极限的重极限 与与 00(,)(,)lim(,)x yxyf x y累次极限累次极限 00lim lim(,)xx yyf x y都存在都存在,则两者必定相等则两者必定相等.证证 设设 00(,)(,
17、)lim(,),x yxyf x yA 0,0,0(,)(;)P x yUP 则则使得当使得当时时,有有|(,)|.(1)f x yA 00|(2)xx 的的 x,存在极限存在极限 另由存在累次极限之假设另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式对任一满足不等式 0lim(,)().(3)yyf x yx|()|.(4)xA 0yy回到不等式回到不等式(1),让其中让其中,由由(3)可得可得故由故由(2),(4)两式两式,证得证得0lim()xxxA ,即即0000(,)(,)lim lim(,)lim(,).xx yyx yxyf x yf x yA 由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论由
18、这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.00lim lim(,)xx yyf x y00lim lim(,)yy xxf x y,推论推论1 若重极限若重极限 和累次极限和累次极限 00(,)(,)lim(,)x yxyf x y都存在都存在,则三者必定相等则三者必定相等.推论推论2 若累次极限若累次极限0000lim lim(,)lim lim(,)xx yyyy xxf x yf x y与与都存在但不相等都存在但不相等,则重极限则重极限00(,)(,)lim(,)x yxyf x y必定必定 不存在不存在.请注意请注意:(i)定理定理 16.6 保证了在重极限与一个累次保证了在重极限与一个
19、累次 极限都存在时极限都存在时,它们必相等它们必相等.但对另一个累次极限的但对另一个累次极限的 存在性却得不出什么结论存在性却得不出什么结论,对此只需考察本节习题对此只需考察本节习题 之之 2(5).(ii)推论推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分给出了累次极限次序可交换的一个充分条件条件.(iii)推论推论 2 可被用来否定重极限的存在性可被用来否定重极限的存在性(如例如例8).0000(,)(,)()f x yP xyUP在点的某邻域内在点的某邻域内 例例10 设设 ,:有有定定义义 且且满满足足0lim(,)();xxf x yy 00(i)(),UPyy 在内,对每个存在极限在
20、内,对每个存在极限 0(ii)()UPx在内,关于一致地存在极限在内,关于一致地存在极限 0lim(,)().yyf x yx 试证明试证明:0000lim lim(,)lim lim(,).xx yyyy xxf x yf x y 证证 01(lim()0,(ii),yyyA 证明存在由条件证明存在由条件00,0|(xyy 对对一一切切存存在在公公共共的的只只要要并并0(,)(),x yUP 使便有使便有|(,)()|.2f x yx 00|,yy 于于是是当当时时 又又有有|(,)(,)|(,)()|f x yf x yf x yx|(,)()|.f x yx 0,(i)xx再令由条件又得
21、再令由条件又得|()()|.yy 根据柯西准则根据柯西准则,证得证得0lim().yyyA 存在存在02(lim()0,xxxA 证证明明由由|()|()(,)|xAxf x y|(,)()|()|,f x yyyA1 0(,)(),x yUPy 当且与当且与利用条件利用条件(ii)与结论与结论,0y,充分接近时 可使充分接近时 可使|()(,)|,|()|;33xf x yyA0,(i),0,0|,yxx再将固定 由条件当时再将固定 由条件当时又有又有00lim()lim().xxyyxy|()|,xA即即这就证得这就证得|(,)()|;3f x yy 注注 本例给出了二累次极限相等的又一充
22、分条件本例给出了二累次极限相等的又一充分条件.与与 定理定理16.6 的推论的推论1 相比较相比较,在这里的条件在这里的条件(i)与与(ii)成立时成立时,重极限重极限00(,)(,)lim(,)x yxyf x y 未必存在未必存在.复习思考题试问累次极限试问累次极限是否就是动点是否就是动点1(,)1617x yl 按按图图中中两两条条特特殊殊路路径径200(,)(,)?lxyf x y与与分分别别趋趋向向时时的的极极限限并并由由此此说说16.6216.52明明定定理理的的推推论论与与定定理理的的推推论论是是不不是是同同?一回事一回事0000lim lim(,)lim lim(,)xx yyyy xxf x yf x y与与
