1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院rxdtdxEmail:微微 积积 分分微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习微积分第二章第二章 极限与连续极限与连续 数列极限数列极限 函数极限函数极限 变量极限变量极限 无穷大无穷大与与无穷小无穷小 极限的运算法则极限的运算法则 两个重要的极限两个重要的极限 函
2、数的连续性函数的连续性微积分2.7 2.7 函数的连续性函数的连续性微积分函数连续性的定义函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有三种在通常意义下，对函数连续性有三种描述：描述：当自变量有微小变化时，因变量的当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；跳变；连续函数的图形可以一笔画成连续函数的图形可以一笔画成,不断开不断开.微积分一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点
3、内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y)(xfy 微积分2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点.,
4、0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是微积分定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在,且等于它在且等于它在点点0 x处的函数值处的函数值)(0 xf,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续.:定义定义 .)()(,0,000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当微积分0:,x xx0 xxx 0:()(),yf xf x0()()yf xf x1定义：0lim0 xy2定义：00lim
5、()()xxf xf x3:定义设：000,0,()()xxf xf x 当|时,|0()f xx都称为在 处连续。微积分 f xx0在 处连续意味着极限运算与函数运算可以交换顺序。000lim()(lim)().xxxxief xfxf x注意注意微积分例例1 1.0,0,0,0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证,01sinlim0 xxx,0)0(f又又),0()(lim0fxfx 由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf微积分3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函
6、数若函数xxfxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf微积分例例2 2.0,0,2,0,2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf微积分4.连续函数与连续区间连续函数与连
7、续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.微积分例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),(x任取任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx ,1)2cos(
8、xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故.0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy微积分例例4 证明证明 内连续内连续在在),(xay证证只须证明只须证明，有，有对对),(0 x00limxxxxaa limlim0000 xxxxxaay 1lim00 xxxaa )1(lim00 xxxaa 0 处连续处连续在在故故),(0 xayx微积分二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)
9、2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf微积分1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例5 5.0,0,1,0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff
10、.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy微积分2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例6 6.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 微积分解解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1 xfx),1(f.0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充
11、间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.微积分如例如例6中中,2)1(f令令.1,1,1,10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 x微积分3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例7 7.0,0,0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxx
12、xf解解,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间oxy微积分例例8 8.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间xy1sin 注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.微积分 狄利克雷函数狄利克雷函数 ,0,1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy在定义域在定义域R内每
13、一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.微积分 ,1,1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:o1x2x3xyx xfy 微积分例例9 9.0,0,0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解,)0(af xxfxxcoslim)(lim00 ,1)(
14、lim)(lim00 xaxfxx ,a),0()00()00(fff 要使要使,1 a,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf微积分例例10 讨论讨论的连续性的连续性xxxxfnnn 2211lim)(若有若有间断点判别其类型，并作出图形间断点判别其类型，并作出图形解解)1|(|0lim qqnn由于由于则则若若故故1|xnnnxxxxf2211lim)(x 则则若若1|xnnnxxxxf2211lim)(1)1(1)1(lim22 nnnxxxx 则则若若1|x0)(xf微积分 1|1|01|)(xxxxxxf外连续外连续除去除去1)(xxf时时当当1 x1
15、)01(,1)01(ff1)01(,1)01(ff跃间断点）跃间断点）都是第一类间断点（跳都是第一类间断点（跳1 x微积分三、连续函数的运算法则连续连续也在也在0 )2(xgf 则则连连续续都都在在点点若若,0 xgf连连续续也也在在函函数数对对任任意意常常数数0 ,)1(xgf 连续连续也在也在则则若若00,0)()3(xgfxg.)(),(,)(,)()4(00000连连续续在在则则复复合合函函数数且且连连续续在在连连续续在在若若ttgftgxxxfttgx 定理微积分证明直接用极限的运算法则就可以了如：0由f(x)与g(x)在x 的连续性有0000lim()(),lim()()xxxxf
16、 xf xg xg x000lim().()().()xxf x g xf xg x()()f x g x0在x 点连续。微积分1011()nnnnf xa xa xaxa多项式函数在(-,+)内连续.10111011()nnnnmmmma xa xaxaf xb xb xbxb分式函数除分母为0的点不连续外，在其他点均连续定理：基本初等函数在其定义域内都是连续的。定理：初等函数在其定义区间都是连续的。微积分的的连连续续性性。研研究究函函数数例例nnnnnxxxxxf 2lim)(解解 的的表表达达式式先先求求)(xf 1,1,0,10,111lim)(2222xxxxxxxfnnn.,)(,
17、),1(),1,0(),0,1(),1,(所所以以连连续续是是初初等等函函数数上上在在xf 非初等函数连续性问题举例非初等函数连续性问题举例微积分1)(lim,1)(lim11 xfxfxx1)(lim,1)(lim11 xfxfxx1)(lim0 xfx可可去去型型间间断断点点0 x间间断断点点1,0 xx第第一一类类间间断断点点1 x微积分 时时当当时时当当时时当当讨讨论论下下列列函函数数的的连连续续性性例例0,0,21,0,11)(1xexxxxxfx.,11)(,0在在定定义义区区间间上上连连续续初初等等函函数数时时当当xxxfx 解解微积分.,)(,01在在定定义义区区间间上上连连续
18、续也也是是初初等等函函数数时时当当xexfx )0(2111lim)(lim00fxxxfxx xexfxx100lim)(lim).)(:()(0.0,0)(,0处处右右连连续续在在注注意意第第二二类类间间断断点点的的是是点点处处不不连连续续在在点点处处都都是是连连续续的的在在综综上上所所述述xxfxfxxxxf 微积分四、在区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些
19、结论，好在这些结论就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。在几何意义是比较明显的。1.1.有界性定理：有界性定理：.,)(,有有界界上上在在则则设设函函数数baxfbaCf 微积分定理定理(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若xyo)(xfy ab2 1 2.最大最小值定理（最值定理）：最大最小值定理（最值定理）：微积分xyo2)(xfy xyo)(xfy 211注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区
20、间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.微积分3.3.零点定理：零点定理：.0)(),(,0)()(,fbabfafbaCf使得使得则存在则存在且且设函数设函数 obyxa微积分4.4.介值定理：介值定理：)(),(,)()(),()(,fbabfafbfafbaCf使使得得存存在在一一点点实实数数之之间间的的任任何何一一个个与与对对于于介介于于则则设设函函数数推论：推论：,baCf 设设)(min ),(max,xfmxfMbaxbax 使使得得则则对对任任意意),(),(baMm )(f微积分 obyxa Mmf(x)g(x)微
21、积分证证构造辅助函数构造辅助函数 )()(xfxg令令0)()(,)(bgagbaCxg则则使使满满足足知知存存在在运运用用零零点点定定理理),(,ba 0)(g )(f 介值定理的证明介值定理的证明微积分例例1 1.)1,0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证,14)(23 xxxf令令,1,0)(上连续上连续在在则则xf,01)0(f又又,02)1(f由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)(f,01423 即即推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.Mm.)1
22、,0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx微积分例例2 2.)(),(.)(,)(,)(fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而,0 bbfbF )()(,0 由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)()(fF.)(f即即微积分例例3)()(),0)2()0(2,0)(affaaffaxf 使使证明证明上连续，且上连续，且在在设设证证则则记记)()()(axfxfxF )(,0(,0)(的定义域的定义域即即上连续上连续在在xFaaxF)()0(
23、)0(affF 且且)0()()2()()(fafafafaF )()0(aff 若若即为所求即为所求则则0 )()0(aff 若若0)()0(aFF则则由由零点定理知零点定理知0)(),0(Fa 使使)()(aff 即即总之总之)()(),0affa 使使微积分注注方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x)的的零点零点有关闭区间上连续函数命题的证明方法有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理再利用零点定理辅助函数的作法辅助函数的
24、作法（1）将结论中的）将结论中的(或或x0或或c)改写成改写成x（2）移项使右边为）移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x)则则F(x)即为所求即为所求微积分 区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证余下只须验证F(x)在在所讨论的区间上所讨论的区间上连续，连续，再比较再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于介于F(x)在所论在所论闭区间上的最大值与最小值之间。闭区间上的最大值与最小值之间。微积分).)()()1,0(1)(0,1,0)(的的不不动动点点点点称称为为，
25、使使得得试试证证：存存在在，且且满满足足设设例例xffxfCxf ,)()(xxfxg 构造函数构造函数证明证明,1,0)(Cxg 则有则有,01)1()1(,0)0()0(fgfg且且结结论论。即即得得上上应应用用零零点点定定理理，在在对对,10)(xg微积分的实根的实根研究方程研究方程例例019:3 xx解解19)(3 xxxf令令试算试算01)3(f09)2(f1)2,3(x内有一个根内有一个根方程在方程在 07)1(f01)0(f2)0,1(x有一个根有一个根方程在方程在 01)3(f027)4(f3)4,3(x有有一一个个根根方方程程在在根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根根据代
26、数基本定理三次多项式最多有三个实根是是方方程程的的全全部部实实根根321,xxx微积分.)(1221120至至少少存存在在一一个个实实根根证证明明奇奇次次多多项项式式例例 nnnaxaxaxP 证证),()(CxP)()(12121012 nnnxaxaaxxP00 a不不妨妨设设 )(lim,)(limxPxPxx0)(,0)(,0 rPrPr使使0)(),(,cPrrc使使根根据据零零点点定定理理微积分.03162715:至至少少有有两两个个实实根根证证明明方方程程例例 xxx3162715)(xxxxf设设 证证 内内都都连连续续和和在在开开区区间间则则)3,2()2,1()(xf )3
27、162715(lim)(lim11xxxxfxx )3162715(lim)(lim22xxxxfxx微积分0)(,0)(bfaf使使闭闭区区间间存存在在以以证证明明利利用用无无穷穷大大量量的的定定义义可可),2,1(,ba.)2,1(,03162715:,内内至至少少有有一一个个实实根根从从而而在在在在方方程程即即baxxx 0)(,11 xfbax使使根根据据零零点点定定理理.)3,2(03162715:,内内至至少少有有一一个个实实根根在在方方程程同同法法可可证证 xxx微积分.),)(lim,),能能取取到到最最小小值值在在则则且且若若函函数数例例bafxfbaCfbx 证证 )(li
28、mxfbxMxfbcxbcac )(),(,:有有 01),(max afM对对于于,()()(,)(00caxxfxfcaxcaCxf 使使根根据据最最大大最最小小值值定定理理因因为为.),能能取取到到最最小小值值在在综综上上所所述述baf微积分)31()(,1,0:),1()0(1,0000 xfxfxffCf使使证证明明且且设设函函数数例例 证证)31()()(xfxfxg令令32,0)(Cxg.,0)(,32,000命命题题得得证证使使若若 xgx0)(,32,0 xgx有有不不妨妨设设0)(0)(,32,0,xgxg或或必必有有上上在在否否则则微积分0)31()0()0(ffg0)3
29、2()31()31(ffg0)1()32()32(ffg)1()0(ff 矛盾！矛盾！.0)(,32,000 xgx使使故故)31()(,1,0000 xfxfx使使即即微积分五、利用函数性连续求函数极限 闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。在几何意义是比较明显的。微积分()yfxxx00设在 的某邻域有定
30、义,(可除外)，0(),()xxuxaf uua当时,而在点连续，0()().xxfxf a则当时,00lim()lim()().xxxxiefxfxf a f xx0在 处连续意味着极限运算与函数运算可以交换顺序。000lim()(lim)().xxxxief xfxf x注意注意定理定理微积分20coslimarcsin(1)xxexx例：求2cosa(r)csin(1)xef xxx解：=20coslim(0)arcsin(1)xxexfx202cos012arcsin(1 0)e微积分0ln(1)limxxx例：求1()(1)0 xuxxx在不连续不能直接代入1()(1)0 xuxxx
31、e但在时收敛于.()yf uue且在点连续。100ln(1)limlimln(1)xxxxxx10lnlim(1)xxxln1e微积分0sinsin ln(1)xxx求证：当时，0sinsinlim1ln(1)xxx证：只需要证明即可。0sinsinln(1)xxx当时，都是无穷小00sinsinsinsinlimlimln(1)ln(1)xxxxxxxx10sinsinsin.sinlimln(1)xxxxxxx1000sinsinsinlim.limsinlimln(1)xxxxxxxxx1.1110sinsin ln(1)xxx当时，微积分七、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数
32、在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)微积分四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数
33、先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;微积分第一类间断点第一类间断点oyx0 x可去型可去型oyx0 x跳跃型跳跃型第二类间断点第二类间断点oyx0 x无穷型无穷型oyx振荡型振荡型微积分思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则|)(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若|)(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？微积分思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连连续续，)()(lim00 xfxfxx)()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xf
34、xfxfxxxxxx故故|)(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.微积分但反之不成立但反之不成立.例例 0,10,1)(xxxf在在00 x不不连连续续 但但|)(|xf、)(2xf在在00 x连连续续微积分一、一、填空题：填空题：1 1、指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点.2 2、指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点.二、二、研究函数研究函数 1,11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，并画出函数
35、 的图形的图形.练练 习习 题题微积分三、三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续函数的定义使它连续.1 1、1,31,1)(xxxxxf在在Rx 上上 .2 2、xxxftan)(,在在Rx 上上 .四、四、讨论函数讨论函数 nnnxxxf2211lim)(的连续性，若有间断的连续性，若有间断点，判断其类型点，判断其类型.五、试确定五、试确定ba,的值的值,使使)1)()(xaxbexfx，（1 1）有无穷间断点）有无穷间断点0 x；（
36、2 2）有可去间断点）有可去间断点1 x.微积分一、一、1 1、一类、一类,二类；二类；2 2、一类、一类,一类一类,二类二类.二、二、,),1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点.三、三、1 1、1 x为第一类间断点；为第一类间断点；2 2、,2为可去间断点为可去间断点 kx )0(kkx为第二类间断点为第二类间断点.0,12,tan)(1xkkxxxxf ),2,1,0(k,练习题答案练习题答案微积分),2,1,0(2,02,tan)(2 kkxkkxxxxf.四、四、1,0,01,)(xxxxxxf1 x和和1 x为第一类间断点为第一类间断点.五、五、
37、(1)(1);1,0 ba (2)(2)eba ,1.微积分思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()(bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.微积分思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数 0,210,)(xxexf)(xf在在)1,0(内内连连续续,.02)1()0(ef但但)(xf在在)1,0(内内无无零零点点.微积分()yfxxx00设在 的某邻域有定义,(可除外)，0(),()xxuxaf uua当时,而在点连续，0()().xxfxf a则当时,00lim()lim
38、()().xxxxiefxfxf a f xx0在 处连续意味着极限运算与函数运算可以交换顺序。000lim()(lim)().xxxxief xfxf x注意注意定理定理微积分七、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)微积分四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；
39、闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;微积分第一类间断点第一类间断点oyx0 x可去型可去型oyx0 x跳跃型跳跃型第二类间断点第二类间断点oyx0 x无穷型无穷型oyx振荡型振荡型微积分思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则|)(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若|)(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x
40、是是否否连连续续？微积分思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连连续续，)()(lim00 xfxfxx)()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx故故|)(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.微积分但反之不成立但反之不成立.例例 0,10,1)(xxxf在在00 x不不连连续续 但但|)(|xf、)(2xf在在00 x连连续续微积分一、一、填空题：填空题：1 1、指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点.2 2、指出指出)1
41、(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点.二、二、研究函数研究函数 1,11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，并画出函数 的图形的图形.练练 习习 题题微积分三、三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续函数的定义使它连续.1 1、1,31,1)(xxxxxf在在Rx 上上 .2 2、xxxftan)(,在在Rx 上上 .四、四、讨论函
42、数讨论函数 nnnxxxf2211lim)(的连续性，若有间断的连续性，若有间断点，判断其类型点，判断其类型.五、试确定五、试确定ba,的值的值,使使)1)()(xaxbexfx，（1 1）有无穷间断点）有无穷间断点0 x；（2 2）有可去间断点）有可去间断点1 x.微积分一、一、1 1、一类、一类,二类；二类；2 2、一类、一类,一类一类,二类二类.二、二、,),1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点.三、三、1 1、1 x为第一类间断点；为第一类间断点；2 2、,2为可去间断点为可去间断点 kx )0(kkx为第二类间断点为第二类间断点.0,12,tan
43、)(1xkkxxxxf ),2,1,0(k,练习题答案练习题答案微积分),2,1,0(2,02,tan)(2 kkxkkxxxxf.四、四、1,0,01,)(xxxxxxf1 x和和1 x为第一类间断点为第一类间断点.五、五、(1)(1);1,0 ba (2)(2)eba ,1.微积分思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()(bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.微积分思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数 0,210,)(xxexf)(xf在在)1,0(内内连连续续,.02)1()0(ef但但)(xf在在)1,0(内内无无零零点点.微积分思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数 0,210,)(xxexf)(xf在在)1,0(内内连连续续,.02)1()0(ef但但)(xf在在)1,0(内内无无零零点点.
