1、 第二章第二章 群论群论 11 图形的对称变换群、群的应用图形的对称变换群、群的应用 1/3/2023 11:16定义定义1:使图形不变形地变到与它重合的变使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换换称为这个图形的对称变换.定义定义2：图形的一切对称变换关于变换的乘图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群，称为这个图形的法构成群，称为这个图形的对称变换群对称变换群.1/3/2023 11:16 设正三角形的三个顶点分别为设正三角形的三个顶点分别为1、2、3.显然，正三角形的每一对称变换都导致正三显然，正三角形的每一对称变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换角形的三个顶点的唯一一个
2、置换.反之，反之，由由正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换，从而可用三角形的唯一一个对称变换，从而可用3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S 表示正三角形的对称变换群表示正三角形的对称变换群.1/3/2023 11:16其中其中(1)为恒等变换为恒等变换,(1 2),(1 3),(2 3)分分别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换,(1 2 3),(1 3 2)分别表示关于正三角形的中分别表示关于正三角形的中心按逆时针方向旋转心按逆时针方向旋转120度、度、240
3、度的旋转变度的旋转变换换.l3Ol1l2231l2l1l3l4O1234 1/3/2023 11:16 正方形的四个顶点分别可用正方形的四个顶点分别可用1、2、3、4来表示来表示.于是正方形的每一对称变换可用一于是正方形的每一对称变换可用一个个4次置换来表示次置换来表示.显然，显然，不同的对称变换不同的对称变换所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对应了置换的乘积应了置换的乘积.这说明，正方形的对称变换这说明，正方形的对称变换群可用一置换群来表示群可用一置换群来表示.1/3/2023 11:16 第一类第一类:绕中心的分别旋转绕中心的分别旋转90度，度，18
4、0度，度，270度，度，360度的旋转，度的旋转，这对应于置换这对应于置换 (1234)，(13)(24)，(1432)，(1).第二类第二类:关于正方形的关于正方形的4条对称轴条对称轴的反射的反射,这对应于置换这对应于置换所以所以,正方形的对称变换群有上述正方形的对称变换群有上述 8个元素个元素.这是四次对称群的一个子群这是四次对称群的一个子群.1/3/2023 11:161,2,3,4,5,6,7,8 1/3/2023 11:161：ABCD2 Pi 1/3/2023 11:162ABCD2 PiABCDPi-2 1/3/2023 11:163ABCD2 PiABCDPi 1/3/2023
5、 11:164ABCD2 PiABCD3 Pi-2 1/3/2023 11:165ABCDABCD 1/3/2023 11:166ABCDABCD 1/3/2023 11:167ABCDABCD 1/3/2023 11:168ABCDABCD 1/3/2023 11:16 正正n边形的对称变换群阶为边形的对称变换群阶为2n.这种群称这种群称为为2n 元二面体群元二面体群.记为记为Dn 1123,n 22123,n 11123,nnn ,01,02(31),nn 1/3/2023 11:166D 123456(1),(123456),(135)(246),(14)(25)(36),(153)(2
6、64),(165432),(26)(35),(13)(46),(15)(24),(16)(25)(34),(12)(36)(45),(14)(23)(56)1/3/2023 11:162 个个2-循环，循环，n 个个n-循环循环,组成，则称组成，则称 121 2nn 型置换，型置换，其中其中1212.nnn例：例：5S中中(123)(123)(4)(5)是一个是一个211 3型置换型置换(12345)是一个是一个15型置换型置换(12)(34)(12)(34)(5)是一个是一个121 2型置换型置换是一个是一个 一个一个n次置换次置换，如果其循环置换分解式，如果其循环置换分解式是由是由1 个个
7、1-循环，循环，1/3/2023 11:16问题的提法：问题的提法：用用n种颜色的珠子做成有种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链？问可做成多少种不同类型的项链？这里所说的不同类型的项链，指两个这里所说的不同类型的项链，指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。1/3/2023 11:1612354678 沿逆时针方向给珠子标号，沿逆时针方向给珠子标号，由于每一颗珠子的颜色有由于每一颗珠子的颜色有n种选种选择，因而用乘法原理，这些有标择，因而用乘法原理，这些有标号的项链共有号的项链共有nm种。种。但其中有一些可以通过旋转一个
8、角但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转度或翻转180度使它们完全重合，度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。使它们重合的项链类型数。1/3/2023 11:16 设设X=1，2，m,代表代表m颗珠子的集合，颗珠子的集合，它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链.12,nAa aa 为为n种颜色的集合种颜色的集合.则每一个映射则每一个映射:XA 代表一个
9、有标号代表一个有标号的项链的项链.|:XA mn ，它是全部有，它是全部有令令标号项链的集合，显然有标号项链的集合，显然有，是全部有标号项链的数目，是全部有标号项链的数目.1/3/2023 11:1612km1 2 iiiimkmgD12km1 2 c c c ckm kcA 设设，其中，其中mD 1/3/2023 11:16g 12m11m212m 12iii c cccccggg mgg e 111211212ggg gg g 111211212gggggg 1212g ggg 1/3/2023 11:16mgD mgD 12g 2 1 2 1 mD 1/3/2023 11:16mgD g
10、 gf 12 g g ggg12 12mm 1/3/2023 11:16 6123645gD 1112332123456aaaaaa 1112332(1)(2)(3)(4)(5)(6)(gggggggaaaaaa 1112332216543aaaaaa 1 g 1/3/2023 11:16g2122332123456aaaaaa 2 g2122332(1)(2)(3)(4)(5)(6)(gggggggaaaaaa 122332216543aaaaaa 2 1/3/2023 11:16gf|,gfg ggg12m 12mn g 1/3/2023 11:1612mgfn 121mmgmNnDD m
11、D 1221112,1 2,mmmNnmDmc ,12,cm 1/3/2023 11:16解解1234566D (1),(123456),(135)(246),(14)(25)(36),(153)(264),(165432),(26)(35),(13)(46),(15)(24),(16)(25)(34),(12)(36)(45),(14)(23)(56)1/3/2023 11:166163gf 221 243gf 3233gf 2323gf 163gf 643213422 392333312N 1/3/2023 11:1612345(1)15 25(12345)51 2(13524)51(14253)51(15432)51(25)(34)11 22 23(13)(45)11 22(15)(24)11 22(14)(23)11 22 (12)(35)11 225314 2582210N 1/3/2023 11:16
