1、第第 11 章章 动能定理动能定理 质系动能定理建立了质点系动能的变质系动能定理建立了质点系动能的变化率与作用于质点系上的力所作的功之间化率与作用于质点系上的力所作的功之间的关系，从而揭示了机械运动和其它形式的关系，从而揭示了机械运动和其它形式运动能量传递和转化的规律。运动能量传递和转化的规律。本章主要内容本章主要内容11.1 力的功11.2 质点系和刚体的动能11.3 动能定理1功的概念功的概念 力的功力的功表示力在一段路程上对物体作用的累积效应,它包含力和路程两个因素。rF dW W可写成直角坐标形式直角坐标形式xyzFFF Fijkkjirzyxdddd因因 在一无限小位移中力所做的功称
2、为元功元功，以W表示。MFMdrs Fcos dzFyFxFWzyxdddsFdt 力在有限路程上的力在有限路程上的功功为力在此路程上元功的定积分。sFsFWssssMMddcosd212121t12 rF或功的单位为焦耳(J),1J=1Nm=1kg m/s。MFMdrrF dWzFyFxFWzyxdddM1M2)ddd(2112zFyFxFWzyMMx 合力的功：合力的功：设作用于质点的合力 FR=Fi,则合力的功即作用于质点的合力在某一段路程上所作的功等于作用于质点的合力在某一段路程上所作的功等于各分力在同一段路程上所作功的代数和各分力在同一段路程上所作功的代数和。21d)(MMirF21
3、dMMirFiWrFdR 21MM W2常见力的功常见力的功 （1 1）重力的功）重力的功 重力在直角重力在直角坐标轴上的投影坐标轴上的投影为为 0,0,xyzFFFmg 重力的功为重力的功为)(d2121zzmgzmgzz 重力的功仅与质点运动起止位置的高度差有关，重力的功仅与质点运动起止位置的高度差有关，而与运动轨迹无关。而与运动轨迹无关。mgh)ddd(2112zFyFxFWzyMMxxyzmgM1M2z1z2 对于质点系，所有质点重力做功之和为对于质点系，所有质点重力做功之和为gzmzmzzgmWiiiiiii212112)(由质心坐标公式，有由质心坐标公式，有iiCzmmz由此可得由
4、此可得)()(212112CCCCzzmggmzmzW即质点系重力的功等于质点系的总重量与其重心质点系重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积高度差之乘积,重心降低为正重心降低为正,重心升高为负重心升高为负。重力的功与路径无关重力的功与路径无关,仅取决于重心的始末位置。仅取决于重心的始末位置。（2 2）弹性力的功）弹性力的功 设弹簧刚性系数为设弹簧刚性系数为k，弹簧变形为，弹簧变形为,则弹力为则弹力为kF 弹性力的功为弹性力的功为21dFW 弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。及终了位置的变形量，而与
5、质点的运动路径无关。21dk)(22221 k（3 3）定轴转动刚体上作用力的功）定轴转动刚体上作用力的功 作用于定轴转动刚体上的力作用于定轴转动刚体上的力系的元功为系的元功为rF dW而而zzMFmRF )(t于是于是dzMW 力系在有限转动中的功为力系在有限转动中的功为21d12zMWCMz)(1212zMW sF dt dtRFrFzOO1RFt（4 4）平面运动刚体上力系的功）平面运动刚体上力系的功ddCCRMrW F其中其中FR 为力系的主矢量，为力系的主矢量，MC为力系对质心为力系对质心C的主的主矩。矩。3质点系内力的功质点系内力的功BAFFBBAArFrFddWBAAArFrFd
6、d 因因BABABArrr所以所以)(dBAFWA 上式说明，上式说明，当质系内质点间的距离可变化时，内当质系内质点间的距离可变化时，内力的元功之和不为零力的元功之和不为零。如两质点之间的距离不变，例如刚体上或刚性杆如两质点之间的距离不变，例如刚体上或刚性杆联结的两点，则内力的元功之和为零，联结的两点，则内力的元功之和为零，因此刚体内力因此刚体内力的功之和恒等于零的功之和恒等于零。)(dBAArrFABFAFBrArBO4理想约束理想约束 约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束，约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束，即即W=0。常见的理想约束有常见的理想约束有:（1 1）光滑固定面和辊轴
7、约束）光滑固定面和辊轴约束其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。（2 2）光滑铰链或轴承约束）光滑铰链或轴承约束 由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。以约束力的功为零。（3 3）刚性连接的约束）刚性连接的约束 这种约束和刚体的内力一样，其元功之和这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。如图所示恒等于零。如图所示。ABF1F2dr1dr22211ddrFrFW0（4 4）联结两个刚体的铰）联结两个刚体的铰 如图所示，两个刚体相互间的约束力，大小相等、方如图所示，两个刚体相互间的约束力，大
8、小相等、方向相反，即向相反，即 F=F，两力在点的微小位移上的元功之和两力在点的微小位移上的元功之和等于零，即等于零，即0dd rFrFWABOFFdr（5 5）柔性而不可伸长的绳索约束）柔性而不可伸长的绳索约束 如图示，绳索两端如图示，绳索两端的约束力大小相等，即的约束力大小相等，即21FF 又因又因2211cosdcosdrr 因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零，即因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零，即0cosdcosd222111 rFrFrFrFdd21WABF1F2dr1dr212 质系内力的功之和一般不为零，因此在计算力质系内力的功之和一般不为零，因此在计算力的功时，将
9、作用力分为外力和内力并不方便，在理的功时，将作用力分为外力和内力并不方便，在理想约束的情形下，若将作用力分为主动力与约束力，想约束的情形下，若将作用力分为主动力与约束力，可使功的计算得到简化。若约束是非理想的，如需可使功的计算得到简化。若约束是非理想的，如需考虑摩擦力的功，在此情形下可将摩擦力当作主动考虑摩擦力的功，在此情形下可将摩擦力当作主动力看待。力看待。例例1 用跨过滑轮的绳子牵引质量为用跨过滑轮的绳子牵引质量为2kg的滑块的滑块A沿倾角为沿倾角为30 的光滑槽运动。设绳子拉力的光滑槽运动。设绳子拉力F=20N。计算滑块由位置计算滑块由位置A至位置至位置B时，重力与拉力时，重力与拉力F所
10、作的总功。所作的总功。解：滑块由位置解：滑块由位置A至位置至位置B所上所上升的升的 高度为高度为00030sin606456tgtgh力力F作用点移动的距离为作用点移动的距离为0060sin645sin6s所以，重力与拉力所以，重力与拉力F所作的总功所作的总功6.29Jtg606tg4569.82sin606sin45620mghFsW0000C1.质点系的动能质点系的动能 设质点系由设质点系由n个质点组成，任一质点个质点组成，任一质点Mi 在某瞬在某瞬时的动能为时的动能为 221iiivmT 质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质点系的动能，
11、即该瞬时质点系的动能，即221mvT 动能是描述质点系运动强度的一个物理量。动动能是描述质点系运动强度的一个物理量。动能的单位与功的单位相同。能的单位与功的单位相同。2平动刚体的动能平动刚体的动能 当刚体平动时，刚体上各点速度相同，于是平当刚体平动时，刚体上各点速度相同，于是平动刚体的动能为动刚体的动能为221mvTmv221221Cmv3定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 当刚体绕固定轴转动时，当刚体绕固定轴转动时，如图示，其上任一点的速度如图示，其上任一点的速度为为iirv 于是绕定轴转动刚体的动能于是绕定轴转动刚体的动能为为221iivmTziiJrm2为刚体对为刚体对z轴的转动惯量，
12、所以得轴的转动惯量，所以得 221zJT 221CmvT 2221iirmri viz2221iirm4平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能221CJT根据转动惯量的平行轴定根据转动惯量的平行轴定理有理有2mdJJCC代入上式得代入上式得222)(2121mdJJTCC而而Cvd222121CCJmvT，因此，因此上式表明，平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的上式表明，平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。2222121mdJCCdMivivCC221CJT 221OJT 221OJT(a):(b):(c):CRv(c)
13、O222121mR2241mR2222121mRmR2243mR2222121RvmRmR243mvRC(a)RC(b)O OA(e)221OJT 221OJT 223121ml2261ml22sin3121lm222sin61mlOA(d)例例2 均质杆均质杆AB靠在光滑墙面上，已知杆的质量为靠在光滑墙面上，已知杆的质量为m，杆长，杆长l。图图示瞬时示瞬时B点的速度为点的速度为vB，=60。设地面光滑。求此时杆的动能。设地面光滑。求此时杆的动能。ABvB 解：杆解：杆AB作平面运动，点作平面运动，点D是速是速度瞬心，质心速度度瞬心，质心速度vADvCC CDvC222121CCJmvT动能也
14、可用下法求得动能也可用下法求得2222121CDmJJTCD220229260sin212121BBmvlvlmmlsin2 lvlBsin2Bv2022060sin122160sin221lvmlvmBB292Bmv例例3.质量为m的均质杆与相同质量的均质小球固结,以角速度绕轴O转动,如图示。已知杆长为l,小球半径为r,求组合体的动能(小球对直径轴的转动惯量为2mr2/5)。OC lrrlmrlmmrmlJO30212015)(523122222 22223021203021lrrlmJTO 例例4.己知长l的杆和半径为r的均质圆盘质量均为m,均质圆盘沿水平面纯滚,质心速度为u，试求图示位置
15、时系统的动能。ABCuO2u222)2(21muumTAB 222243212121murumrmuTC 2411muTTTABC 例例5.己知m、u,=45,杆重不计,均质圆盘沿斜面纯滚,试求系统的动能。mmuO223muT uuC课后课后作业：作业：11.2、11.5、11.6、11.71质点动能定理质点动能定理牛顿第二定律给出牛顿第二定律给出Fvtmdd两边点乘两边点乘 d rrFrvddddtmrFvvddmWmv21d2上式称为上式称为质点动能定理的微分形式质点动能定理的微分形式，即质点动能的，即质点动能的微小变化等于作用于质点上的力的元功。微小变化等于作用于质点上的力的元功。或WT
16、d从质点运动的位置1到位置2积分上式得1222121dWmvvv1221222121Wmvmv21d12MMWrF上式为上式为质点动能定理的积分形式质点动能定理的积分形式，即在任一路程中，即在任一路程中质点动能的变化，等于作用在质点上的力在同一路质点动能的变化，等于作用在质点上的力在同一路程上所作的功。程上所作的功。WTdWmv21d2或1212WTT 其中2质点系动能定理质点系动能定理 对于质点系中任一质点有对于质点系中任一质点有iieiiiWWvm21d2ni,2,1 n个方程相加，则得个方程相加，则得ieWWmv21d2ieWWTd或或上式为上式为质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的
17、微分形式,即即质系动能的质系动能的微小变化，等于作用于质系上所有外力和内力的微小变化，等于作用于质系上所有外力和内力的元功之和元功之和。ieWWTd 从质点系运动的位置1到位置2积分上式得ieWWTT12上式为上式为质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式,即即在任一路程在任一路程中，质点系动能的变化，等于作用在质点系上的所中，质点系动能的变化，等于作用在质点系上的所有外力和内力在同一路程中所作功之和。有外力和内力在同一路程中所作功之和。动能定理也可表达为动能定理也可表达为NFWWTdFWTd0NWFWTT12WTdWTT 12 质点系的动能定理在应用中的注意事项:(1)方程的右边为方
18、程的右边为代数和代数和,求和时应注意符号求和时应注意符号;(2)方程的右边应包含作用于系统的方程的右边应包含作用于系统的所有力的功所有力的功,既包括外力的功既包括外力的功,也包括内力的功也包括内力的功;(3)注意注意微分形式与积分形式的区别微分形式与积分形式的区别:对于微分形对于微分形式式,应首先求出应首先求出任意位置任意位置系统动能的一般表达系统动能的一般表达式式,然后再微分求出然后再微分求出dT;对于积分形式必须首对于积分形式必须首先明确系统的始末位置先明确系统的始末位置,然后再分别求出然后再分别求出始末始末位置位置的系统动能的系统动能T1和和T2。例例1、质量为、质量为m的物块，自高的物
19、块，自高度度h处自由落下，落到有弹簧支承处自由落下，落到有弹簧支承的板上，如图所示。弹簧的刚性的板上，如图所示。弹簧的刚性系数为系数为k，不计弹簧和板的质量。不计弹簧和板的质量。求弹簧的最大变形。求弹簧的最大变形。解：物块落在板上后继续向解：物块落在板上后继续向下运动，当速度等于零时，弹簧下运动，当速度等于零时，弹簧被压缩到最大变形。应用动能定被压缩到最大变形。应用动能定理，有理，有2maxmax21)(0khmg 解得解得2kmghgmk1kmg22max由于弹簧的变形量是正值，因此取正号，即由于弹簧的变形量是正值，因此取正号，即2kmghgmk1kmg22max 例例2、链条长、链条长l，
20、质量质量m，展开放在展开放在光滑的桌面上，如图所示。开始时链光滑的桌面上，如图所示。开始时链条静止，并有长度为条静止，并有长度为a的一段下垂。求的一段下垂。求链条离开桌面时的速度。链条离开桌面时的速度。解：将链条分为两段考虑，下垂段解：将链条分为两段考虑，下垂段重力作功为重力作功为)(1almglaW桌面段重力作功为桌面段重力作功为22almglalW由动能定理得由动能定理得2)(021212almglalalmglaWWmv解得解得)(22allgv 例例3、两均质杆、两均质杆AC和和BC的质量的质量均为均为m，长均为长均为l，在点在点C由铰链相连由铰链相连接，放在光滑水平面上，如图所示。接
21、，放在光滑水平面上，如图所示。由于由于A和和B端的滑动，杆系在其铅直端的滑动，杆系在其铅直面内落下。点面内落下。点C的初始高度为的初始高度为h。开开始时杆系静止，求铰链始时杆系静止，求铰链C与地面相碰与地面相碰时的速度时的速度v。解：取杆解：取杆AC，当铰链当铰链 C 与地面相与地面相碰时，速度瞬心碰时，速度瞬心 D 与与 A 重合。根据对重合。根据对称性，由动能定理得称性，由动能定理得CAvAvC2202hmgTAC解得解得ghv3mghlvmlC2231212DhABC 例例4、均质连杆、均质连杆AB质量为质量为4kg，长长l=600mm。均质圆盘质量为均质圆盘质量为6kg，半径半径r=1
22、00mm。弹簧刚度为弹簧刚度为2N/mm，不计套筒不计套筒A及弹簧的质量。如连杆及弹簧的质量。如连杆在图示位置被无初速释放后，在图示位置被无初速释放后，A端端沿光滑杆滑下，圆盘作纯滚动。求：沿光滑杆滑下，圆盘作纯滚动。求：（1）当）当AB达水平位置而接触弹簧达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；（时，圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量弹簧的最大压缩量。解：（解：（1）AB达水平位置时达水平位置时vB=0，所以所以0B由动能定理有由动能定理有230sin02102lmgJABB解得解得rad/s95.4AB（2）从杆被释放到停止，应）从杆被释放到停止，应用动能定理有用动能定理有02
23、222khmg解得解得mm1.87maxvAvBC25.06.0312122mgmlAB02mghmgk 例例5、均质圆盘，质量为均质圆盘，质量为m，半径为半径为R，弹簧刚度为弹簧刚度为k，原长为原长为R。圆盘由图示位置无圆盘由图示位置无初速释放，求圆盘在最低位置初速释放，求圆盘在最低位置时的角速度时的角速度。解：圆盘作定轴转动，由解：圆盘作定轴转动，由动能定理动能定理WTT0222)2(21021RRRkmgRJO)222(21)21(212222kRmgRmRmR所以所以12342mkRg（设（设k足够小，满足足够小，满足 0）ORmgF 例例6、卷扬机如图所示。鼓轮、卷扬机如图所示。鼓轮
24、在常力偶矩在常力偶矩M作用下将圆柱体沿作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知鼓轮的半径为斜面上拉。已知鼓轮的半径为R1,质量为质量为m1，质量分布在轮缘上；质量分布在轮缘上；圆柱体的半径为圆柱体的半径为R2，质量为质量为m2，质量均匀分布。设斜面的倾角为质量均匀分布。设斜面的倾角为，圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱体上升路静止开始运动，求圆柱体上升路程为程为s 时，其时，其中心中心C的速度及加速的速度及加速度。度。解解：取整个系统为研究对象，主动力的功为：取整个系统为研究对象，主动力的功为sgmMWsin2设圆柱体中心的速度为设圆柱体中心的速度为vC，则系统
25、的动能则系统的动能00T2222211212121CCvmJJTCOMFOxFOym1gm2gFNFsvC式中式中2222211212121CCvmJJT222211121,RmJRmJC12211,RsRvRvCC，代入后得代入后得221)32(41CvmmT应用动能定理应用动能定理WTT0得得sgmRMvmmC)sin1(0)32(4121221(1)所以，得所以，得)32()sin(221112mmRsgRmMvC式式(1)两边求导两边求导CCCvgmRMavmm)sin1()32(212121解得解得)32()sin(221112mmRgRmMaC点评点评:(1)应用动能定理的积分形式
26、求解单自应用动能定理的积分形式求解单自由度系统的速度由度系统的速度(或角速度或角速度)问题十分方便问题十分方便;(2)当末位置的速度当末位置的速度(或角速度或角速度)是任意位是任意位置的函数时置的函数时,则可求时间导数来得到加速则可求时间导数来得到加速度度(或角加速度或角加速度)。例例6、卷扬机如图所示。鼓、卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶矩轮在常力偶矩M作用下将圆柱作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知鼓轮的半体沿斜面上拉。已知鼓轮的半径为径为R1,质量为质量为m1，质量分布在质量分布在轮缘上；圆柱体的半径为轮缘上；圆柱体的半径为R2，质量为质量为m2，质量均匀分布。设质量均匀分布。设斜面的倾角为斜面的
27、倾角为 ，圆柱体沿斜面，圆柱体沿斜面只滚不滑。只滚不滑。求圆柱体中心求圆柱体中心C的加的加速度速度。解：取整个系统为研究对象，主动力的解：取整个系统为研究对象，主动力的元元功为功为设任意时刻圆柱体中心的速度为设任意时刻圆柱体中心的速度为vC，则系统的动能为则系统的动能为 dsgmMdWsin22222211212121CCvmJJTCOMFOxFOym1gm2gFNFsvC式中式中2222211212121CCvmJJT2111RmJ 11RvC，代入后得代入后得221)32(41CvmmT应用动能定理应用动能定理WTd得得sgmRMvvmmCCd)sin1(d)32(212121上式上式两边
28、同除以两边同除以dtCCCvgmRMavmm)sin1()32(212121解得解得)32()sin(221112mmRgRmMaC22221,RmJC22,RvC1dd,Rs例例7、均质杆均质杆AB长长l，质量为质量为m。质量为质量为M的重块的重块B在常力在常力F作用下，由图示静止位置作用下，由图示静止位置开始运动。求开始运动。求AB杆运动到铅垂位置时重块杆运动到铅垂位置时重块B的速度的速度vB。不计摩擦及不计摩擦及A块重量。块重量。解解：取：取AB杆与重块杆与重块B组成的系统。组成的系统。00T222212121CCBJmvMvTAB杆在铅垂位置的运动分析如下图示。杆在铅垂位置的运动分析如
29、下图示。2BCvvlvB222221212142121lvmlvmMvTBBB23121BvmMABFABvBCvC系统具有理想约束，主动力的功为系统具有理想约束，主动力的功为)30cos1(230sinlmgFlWmglFl)231(2121根据动能定理根据动能定理WTT0mglFlvmMB)231(2121)31(212所以所以 mMmglFlvB31)231(2ABF 例例8、如图示，滚轮重如图示，滚轮重P3，半径为，半径为 r2，对质心的，对质心的回转半径为回转半径为 C，半径为半径为r1 的轴颈沿的轴颈沿AB作无滑动滚动。作无滑动滚动。滑轮重滑轮重P2，半径为，半径为 r，回转半径为
30、回转半径为 ，重块重，重块重P1。求。求重块的加速度。重块的加速度。r2r1COErFD 解：设任意时解：设任意时刻重块的刻重块的速度为速度为v,滑轮的角速度为滑轮的角速度为 ，滚轮质心滚轮质心C点速度点速度为为vC。则则rvvrrrvC211系统在任意位置的动能系统在任意位置的动能21223232222121212121rvgPvgPgPvgPTCCC222123221213222121vrrgPrrrgPrgPgPCr2r1COErFDv令令221232212132221rrgPrrrgPrgPgPMC称为当量质量或折合质量，则称为当量质量或折合质量，则221MvT 所以重块的加速度所以重
31、块的加速度grrrPrPPPMPaC2212213222111由动能定理的微分形式由动能定理的微分形式WTdsPvMvdd1两边同除以时间两边同除以时间dtvPMva1设任意时刻重块的位移为设任意时刻重块的位移为s，系系统初始动能为统初始动能为T0，由动能定理，由动能定理WTT0两边对时间求导数两边对时间求导数sPTMv10221vPMva1RAB例例9、均质细杆重、均质细杆重Q、长为、长为l，上端靠上端靠在光滑的墙上，下端在光滑的墙上，下端A以铰链和一均以铰链和一均质圆柱的中心相连。圆柱重质圆柱的中心相连。圆柱重P、半径半径为为R，放在粗糙的地面上，从图示位放在粗糙的地面上，从图示位置（置（
32、=45）由静止开始作纯滚动。）由静止开始作纯滚动。求求A 点在初瞬时的加速度。点在初瞬时的加速度。vAvBCvCD解：取系统为研究对象。则任意解：取系统为研究对象。则任意瞬时系统动能为瞬时系统动能为2222212121212321ADvlgQvgQRvRgPTACA其中其中sin22sinAAACvllvCDADvv所以所以22sin29121AvQPgT由于系统为理想约束，只有重力作由于系统为理想约束，只有重力作功，所以元功为功，所以元功为由由动能定理的微分形式动能定理的微分形式WTd得得因因所以所以cotd21dsincos3dsin2961232AAAAsQvgQvvQPgcotd21sin29121d22AAsQvQPgRABvAvBCvCDQcotd21AsQW cosddCCsQyQWcosd)290cos(doACss解得解得224sin29sincos23QPvlQQgctgaAA令令 =45，vA=0，得得QPQgaA493两边同除以时间两边同除以时间dt，因因cotd21dsincos3dsin2961232AAAAsQvgQvvQPgsinddlvtAAB课后课后作业：作业：11.12、11.14、11.16、11.19、11.21
