1、1.7 1.7 功与能功与能 一一.功和功率功和功率 1.1.质点在恒力作用下沿直线运动质点在恒力作用下沿直线运动2.2.质点受变力沿曲线运动质点受变力沿曲线运动其中，其中，是力的作用点之位移是力的作用点之位移dW元功rrFrFWdcosdrFd BABAsFrFWdd cos3.3.若质点受几个力若质点受几个力F F1 1,F,F2,2,F,Fn n作用作用,合力合力即合力对质点所做的功为各力对质点所做功的代数和。即合力对质点所做的功为各力对质点所做功的代数和。功是标量，其值与坐标选取无关。在直角坐标系下：功是标量，其值与坐标选取无关。在直角坐标系下：niiFF1）（zddddzyBAxBA
2、FyFxFrFWkFjFiFFzyxkj yi xrzdddd iBAiBAiBAWrdFrdFrFWd4.4.功率功率:表述做功快慢的物理量。表述做功快慢的物理量。一般情况下，做功与路径有关一般情况下，做功与路径有关 位移元位移元 是力的作用点的位移是力的作用点的位移 做功与参照系的选取有关做功与参照系的选取有关说明：说明：dr二二.能能 物体具有做功的本领，称它具有一定的能量。物体具有做功的本领，称它具有一定的能量。力学中力学中机械能。机械能。当能量发生变化时，总有一定数量的功表现出来当能量发生变化时，总有一定数量的功表现出来功是能量变化的度量。功是能量变化的度量。三三.保守力、非保守力、
3、耗散力保守力、非保守力、耗散力 1.1.力场力场:一般情况下：一般情况下：若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力F F(r r)，力是位置的单值有界可微函数，则该区域称，力是位置的单值有界可微函数，则该区域称为力场，为力场，F F 为场力。如：万有引力场、静电场。为场力。如：万有引力场、静电场。2.2.保守力场保守力场:若力场是稳定的，当质点运动时，场力做功单若力场是稳定的，当质点运动时，场力做功单值地由始末位置确定（与轨道形状无关）值地由始末位置确定（与轨道形状无关）该力该力场称为保守力场。质点受到的场力为保守力。如电场称为保守力场。质点受到的场
4、力为保守力。如电磁力、重力等。磁力、重力等。若力做功与路径有关，这种力为非保守力若力做功与路径有关，这种力为非保守力(漩涡漩涡力力)，力场为非保守力场。如：摩擦力，力场为非保守力场。如：摩擦力与路径有与路径有关关耗散能量耗散能量耗散力。耗散力。ABCDADBACBrFrFd d BDAACBlrFrFrFd d d0 lcrFWd3.3.保守力的判据保守力的判据:F(r)F(r)为保守力的充要条件：为保守力的充要条件：即：即：证明证明:与路径无关，只与始末位置有关。必存在一可微函数与路径无关，只与始末位置有关。必存在一可微函数V V，使得，使得z 为保守力必要条件充分条件)(0rFF-dVz
5、dddzyxFyFxFdW同理：同理：z 0,0,yxzzFFFFzxyz 0yxFFxy4.4.势能势能:函数函数V V(x,yx,y,z z)成为质点在坐标成为质点在坐标(x,yx,y,z z)处的势能。处的势能。势能的物理意义：保守力作的功等于势能的减少量。势能的物理意义：保守力作的功等于势能的减少量。注：注：1)1)势能函数加上任意常数不影响势能差。势能函数加上任意常数不影响势能差。3)3)F F与与V V的关系：的关系：2)2)仅当力场为保守力场时才可引入势能。仅当力场为保守力场时才可引入势能。零rrdFVr【例【例1 1】设作用在质点上的力是设作用在质点上的力是沿此质点沿螺旋线沿此
6、质点沿螺旋线 ，运，运行自行自=0=0至至=2=2时，力对质点所做的功。时，力对质点所做的功。解：先验证力是否为保守力解：先验证力是否为保守力 6,2,52zyxFzyxFzyxFzyX7,sin,coszyx2 2 0,1 1 0,1 1 0yyxxzzFFFFFFxyzxyz 2 2 0,1 1 0,1 1 0yyxxzzFFFFFFxyzxyz 2 2 0,1 1 0,1 1 0yyxxzzFFFFFFxyzxyz 解法二：选直线路径积分解法二：选直线路径积分xyz141420059870zWF dzzdz解法三：沿质点运动的路径积分解法三：沿质点运动的路径积分解法四：用势能的增量计算做
7、功解法四：用势能的增量计算做功 0,0,0,0,0,0,0,0,0222,12562xx yx y zxyzxx yV x y zFdxF dyFdzxyzxyxzyzxz21,0,141,0,09870WVV【例【例2 2】在例在例1 1中，如果中，如果则结果如何？则结果如何？做功与路径有关。做功与路径有关。不存在势能函数不存在势能函数2345,8,12xyzFxyzFzxFxyz7,sin,coszyx1 10 4 130 0 1 320yzxzyxFFyzFFFzxFFxy Fcos,=sin,=7 sin,cos,72cos3sin2857cos8cossin712xyzxyzdxdd
8、yddzdFFF 22202sin23sincos28 sin15cos12sin498498226xyzWF dxF dyF dzd通过求解通过求解 可得运动规律可得运动规律,这是研究质点这是研究质点动力学问题的基本方法！动力学问题的基本方法！存在问题：存在问题：由于由于 形式复杂，求解十分困难；有形式复杂，求解十分困难；有时并不需要全部解。时并不需要全部解。关于质点动力学的问题有其他研究及求解方法吗关于质点动力学的问题有其他研究及求解方法吗?1.8 1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒律质点动力学的基本定理与基本守恒律 amFF一、动量定理与动量守恒律 1.1.动量动量:定义：定义：2.
9、2.动量定理动量定理 物理学中一个非常重要的物理量。在机械运动的物理学中一个非常重要的物理量。在机械运动的范围内，质点间运动的传递通过动量的交换来实现。范围内，质点间运动的传递通过动量的交换来实现。动量是机械运动强弱的度量。动量是机械运动强弱的度量。动量定理的微分形式动量定理的微分形式变形并积分变形并积分 _动量定理的积分形式动量定理的积分形式具有普遍性具有普遍性：（1）牛顿第二定律原始形式）牛顿第二定律原始形式 （2）相对论中亦适用）相对论中亦适用 3.3.动量守恒动量守恒 即：如果质点受到的合外力等于零，即：如果质点受到的合外力等于零，则其动量守恒。常数由初值确定。则其动量守恒。常数由初值
10、确定。即：如果质点在某方向上受到的合外力为即：如果质点在某方向上受到的合外力为0,0,则该方则该方向上的动量守恒。向上的动量守恒。力对质点的冲量，是一个矢量。力对质点的冲量，是一个矢量。力对时间的积累力对时间的积累.CppdF,0,0若cpdpFFxxx,0,0,0 但若例：一质量为例：一质量为0.01kg的小球，从的小球，从 的高度的高度处由静止下落到水平桌面上，反弹后的最大高度为处由静止下落到水平桌面上，反弹后的最大高度为 。求小球与桌面碰撞时对桌面作用的冲量。求小球与桌面碰撞时对桌面作用的冲量 是多少？是多少？x解法一解法一：(1)研究对象：小球研究对象：小球(2)参照系：桌面，坐标系：
11、参照系：桌面，坐标系：ox(3)受力分析：重力，桌面对小球的受力分析：重力，桌面对小球的正压力正压力(冲力冲力)，用平均正压力代替用平均正压力代替桌面对小球的冲量桌面对小球的冲量小球对桌面的冲量小球对桌面的冲量10.256hm10.196hmININ(4)在小球与桌面碰撞过程中应用动量定理在小球与桌面碰撞过程中应用动量定理投影到投影到x轴得标量方程轴得标量方程其中，其中，小球对桌面的冲量方向竖直向下小球对桌面的冲量方向竖直向下21NPmm21NPmm 11222,2ghgh1222IINmgmghgh 解法二解法二：将动量定理用于小球下落、与桌面碰撞和：将动量定理用于小球下落、与桌面碰撞和上升
12、的整个过程。上升的整个过程。标量方程为标量方程为其中，其中，小球对桌面的冲量方向竖直向下小球对桌面的冲量方向竖直向下120NP tt120NP tt121222,hhttgg1222IINmgmghgh 二、力矩与动量矩 1.1.力矩力矩 力对空间某一点力对空间某一点O O的力矩的力矩:O O点称为矩心点称为矩心力对空间某一轴线的力矩力对空间某一轴线的力矩:(:(力矩矢量沿轴的投影力矩矢量沿轴的投影)OzMM kF F对对L L轴力矩：轴力矩：即：力沿轴上一点的力矩在该轴上的投影。或者即：力沿轴上一点的力矩在该轴上的投影。或者力在平面上的投影对力在平面上的投影对力的作用点在轴上的垂直投影力的作
13、用点在轴上的垂直投影点点的力矩大小。的力矩大小。2.2.动量矩动量矩(矢量矢量)对对O O点的动量矩：点的动量矩：对对x,y,zx,y,z轴的投影：轴的投影：ijkJr mxyzmyz mzy imzx mxz jmxy myx kmx my mz zJJ k三、动量矩定理与动量矩守恒律(对固定点O)1.1.动量矩定理动量矩定理(出发点：牛顿第二运动定律出发点：牛顿第二运动定律 )动量矩定理的微分形式动量矩定理的微分形式投影式投影式:2.2.冲量矩冲量矩 即：如果质点在某方向上受到的外力矩为即：如果质点在某方向上受到的外力矩为0,0,则该则该方向上的动量矩守恒。方向上的动量矩守恒。3.3.动量
14、矩守恒律动量矩守恒律 即：如果质点受到的外力矩等于零即：如果质点受到的外力矩等于零,则其动量矩守则其动量矩守恒。常数由初值确定。恒。常数由初值确定。投影式投影式:cJdJMMxxx,0,0,0 但若CJJdM,0,0若分量式为：分量式为：x x乘乘(1),(1),y y乘乘(2),(2),z z乘乘(3),(3),并相加并相加,得得:经过固定点的平面方程。经过固定点的平面方程。解：由于力恒通过一个定点，那么力对该定点的力矩解：由于力恒通过一个定点，那么力对该定点的力矩:【例【例1 1】质点所受的力恒通过某一个定点，则质点必】质点所受的力恒通过某一个定点，则质点必在一平面上运动（如地球绕太阳运动
15、，卫星绕地球在一平面上运动（如地球绕太阳运动，卫星绕地球运动等）。试证明之。运动等）。试证明之。CJ:所以0Frr四、动能定理与机械能守恒律 1.1.动能定理动能定理 定义动能定义动能 质点动能的微分等于作用在该点上的力所作的元功质点动能的微分等于作用在该点上的力所作的元功 2.2.若若F F为保守力场，那么为保守力场，那么 dWdV dTdV 机械能守恒机械能守恒 五、势能曲线五、势能曲线 质点受一维守恒力的作用，则质点的势能是其坐质点受一维守恒力的作用，则质点的势能是其坐标的函数。假设该一维坐标为标的函数。假设该一维坐标为x x,则则V V(x x)x x图形称图形称为势能曲线。为势能曲线
16、。经典力学与量子力学的区别之一，隧穿效应经典力学与量子力学的区别之一，隧穿效应 【例【例2 2】如图所示，一重锤固定一轻杆末端，将其】如图所示，一重锤固定一轻杆末端，将其约束在竖直圆周上运动。假设初始角度为约束在竖直圆周上运动。假设初始角度为0 0，忽，忽略空气阻力，求重锤经过最低点的速度。略空气阻力，求重锤经过最低点的速度。解：解：(1)(1)分析用机械能守恒律的可能性分析用机械能守恒律的可能性 重锤受到哪些力？重锤受到哪些力？哪些做功哪些不做功？哪些做功哪些不做功？(2)(2)确定初末态时重锤的总机械能；确定初末态时重锤的总机械能；用机械能守恒定律求出速度用机械能守恒定律求出速度 缺点：无
17、法求出缺点：无法求出T T 的大小。的大小。(若考虑空气阻力，则不若考虑空气阻力，则不能用机械能守恒能用机械能守恒)零势能零势能(3)(3)尝试用动力学的方法尝试用动力学的方法 受力分析受力分析写出动力学方程写出动力学方程(自然坐标或极坐标自然坐标或极坐标)注意：假设了速度的方向后，那么就应该考虑相关表注意：假设了速度的方向后，那么就应该考虑相关表达式的正负。由于这里只关心速度的值，因此求解时达式的正负。由于这里只关心速度的值，因此求解时最好把最好把dtdt换成换成d d：于是微分方程变为：于是微分方程变为：两边积分：两边积分：求杆对重锤的作用力求杆对重锤的作用力000singldd 2cosmTmgl032cosTmgmg守恒律小结守恒律小结2.2.牛顿第二定律是二阶微分方程，守恒律是一阶的，牛顿第二定律是二阶微分方程，守恒律是一阶的，称为第一积分，能量守恒也称能量积分。用初积分比用称为第一积分，能量守恒也称能量积分。用初积分比用运动方程来的简单。运动方程来的简单。基础：基础：
