1、普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材傅里叶光学傅里叶光学 第第2 2版版电子教案电子教案机械工业出版社第四章第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质透镜的位相调制和傅里叶变换性质本章主要内容本章主要内容1、透镜的位相调制作用2、透镜的傅里叶变换性质3、光学频谱分析系统1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用1.1 1.1 透镜对入射波前的作用透镜对入射波前的作用透镜的复振幅透过率：,llUx ytx yU x y在傍轴近似下，忽略透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜前后的平面上产生的复振幅分布为2200,expexp2lkUx yAjkdjxyd22,expexp
2、2liikUx yAjkdjxyd1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用则透镜复振幅透过率表示为：则透镜复振幅透过率表示为：220011expexp2iikjk ddjxydd222200expexp2,expexp2iilllkAjkdjxydUx ytx yUx ykAjkdjxyd(常数项常数项)(调制项调制项)对于常数项，它改变的是光波整体的位相分布，并不影响平面上位相的相对空间分布，分析时可忽略掉。对于调制项，它改变了平面上位相的相对空间分布，能把发散球面波变换为会聚球面波。根据几何光学中介绍的透镜成像公式0111iddf(为透镜的焦距为透镜的焦距)2222011expexp
3、22ikkjxyjxyddf1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用因此，透镜的位相调制因子：因此，透镜的位相调制因子：220,expexp,2llilUx yktx yjk ddjxyUx yfAnswer:Answer:透镜本身的厚度变化，使得入射光波在通过透镜的不同部位时，经过的光程差不同，即所受时间延迟不同，从而使得光波的等相位面发生弯曲。等相位面结论结论：通过上面的分析可知，透镜对透射的光波具有位相调制的功能。但是，透镜为什么会具有这种能力呢？1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用1.2 1.2 透镜的厚度函数透镜的厚度函数主要考虑薄透镜的情况主要考虑薄透镜的情况 (忽
4、略了折射效应忽略了折射效应)如果进一步忽略光在透镜表面的反射以及透镜内部吸收造成的损耗，认为通过透镜的光波振幅分布不发生变化，只是产生一个大小正比于透镜各点厚度的位相变化，于是透镜的位相调制可以表示为：,exp,exp,ltx yjx yjkL x yL(x,yL(x,y)00,1,L x ynx yx ynx y L(x,y)是Q到Q之间的光程：则则 0,expexp1,ltx yjkjk nx y上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,yx,y)，就可以根据该式得到其位相调制。就可以根据该式得到其位相
5、调制。1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用1.3 1.3 透镜的复振幅透过率透镜的复振幅透过率根据厚度函数的表达式，可得到在傍轴近似下，光波通过透镜时在(x,y)点发生的位相延迟 0,expexp1,ltx yjkjk nx y2201211,expexp12lxytx yjknjk nRR2201211,2xyx yRR 121111nfRR220,expexp2lktx yjknjxyf常数项常数项透镜位相因子透镜位相因子(n(n为透镜材料的折射率为透镜材料的折射率)1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用以上推导的关系适用于各
6、种形式的薄透镜，而且是在傍轴近似条件下推导出来的。透镜的作用：将入射平面波入射平面波变换为会聚（发散）球面波会聚（发散）球面波 ，如下图所示。入射平面波变换为球面波，这正是由于透镜具有 的位 相因子，能够对入射波前施加位相调制的结果。22exp2kjxyf121111nfRR1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用22exp2kjxyf1）若在非傍轴近似条件下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将偏离理想球面波，即透镜产生波像差。2）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小的孔径。引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，即1,0P x y透镜孔径内其他于是透镜的复振幅透过率可以完整
7、的表示为：22,exp,2lktx yjxyP x yf,P x y其中，表示透镜对入射波前的位相调制；表示透镜对于入射波前大小范围的限制。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 预习课本内容：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。f 透镜为什么具有这种功能呢？*根本原因在于它具有能对入射波前施加位相调制的功能，或者说是透镜的根本原因在于它具有能对入射波前施加位相调制的功能，或者说是透镜的二次位相因子在起作用。二次位相因子在起作用。下面将具体分析一下这种作用发生的具体过程，并深入讨论透镜实现傅里叶变换的一些性质。2 2、透镜的傅
8、里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质U0UlU2dft(x0,y0)Uf 透镜后焦面上的场是透镜前端场U1(x,y)的傅里叶变换(空间频谱)根据透镜的位相调制功能，透镜后端场U2(x,y)为:2221,exp2kUx yUx yjxyf从透镜后端到后焦面光的传播属于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的场U(x,y)为：221,expexp2fffffkUxyjkfjxyjff2222,expexp2ffkUx yjxyjxxyydxdyff?2.1 2.1 物体放置在透镜前物体放置在透镜前d d处处2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质后焦面上的场分布为22112,expexp
9、,exp2fffffffkUxyjkfjxyUx yjxxyydxdyjfff 221,1expexp,2ffxxxyffffffkjkfjxyUx yjffF焦面场是透镜前端场的傅里叶变换焦面场是透镜前端场的傅里叶变换(空间频谱空间频谱)。如上图所示，距离透镜前端有一物体，其透过率为t(x0,y0)。若用振幅为A的平面波垂直照明物体，则物体的透射光场为：00000,UxyA t xy根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：1000,xyUx yUxyHffFF22,expxyxyHffjdff则有：则有：2200,expexp,2fffffxyAkUxyjkfjx
10、yt xyHffjffF2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 上式具有普遍意义，它证明在物体透射场的菲涅耳衍射区内放置一透镜，在透镜的后焦面上就可以得到该透射场的傅里叶变换(空间频谱)。如果d0，物体在透镜前方，由于变换式前的二次位相因子，使物体的频谱产生一个位相弯曲。2222000,expexpexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyjdffUxyjffF22exp1,2ffffxyAkdjxyTjfffff 其中，T()为透过率函数t()的频谱。对应的强度分布为22,fffffxyAIxyTfff（二次位相弯曲因子）（二次位相弯曲因子）2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜
11、的傅里叶变换性质 如果d=f，物体在透镜前焦面，二次位相弯曲消失，后焦面的光场分布是物体准确的傅里叶变换。如果d=0，物体在透镜前端面，由于变换式前的二次位相因子，使物体的频谱也产生一个位相弯曲。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质222,exp,2fffffffxyAfkUxyjxyTj dddd2.2 2.2 物体放置在透镜后方物体放置在透镜后方沿光波传播方向逐面进行计算，最终可获得透镜后焦面上的场分布为222,fffffxyAfIxyTddd对应的强度分布为2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质总结一下：在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜
12、，在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。如果采用球面波照明时，透镜还能进行傅里叶变化吗？那频谱面还是焦平面吗?Answer:Answer:透镜还能起傅里叶变换作用，但是频谱面不再是焦平面，而是点光源的像面位置。具体推导过程可参考有关参考书，这里不再赘述。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质2.3 2.3 透镜孔径的影响透镜孔径的影响引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，1,0P x y透镜孔径内其他透镜的复振幅透过率可以表示为：22,exp,2lktx yjxyP x yf则后焦面上的光场分布为：22,
13、exp,*,2fffffffffxyxyAkUxyjxyTPjffffff,ffxyP x yPffF其中，2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质,xP x yrectl卷积的效果是使物体频谱图象产生某种程度的模糊，或者说失真。透镜孔径越小，这种模糊越严重。假定透镜孔径是宽度为 的矩形函数，即下图是物体频谱与光瞳函数傅里叶变换卷积的结果。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质222,exp,*,2fffffffffxyxyAfkUxyjxyTPj dddddd220000000,exp,2ffAfkffUxyjxyt xyP xydddd 物体放置在透镜后方时物体放置在
14、透镜后方时物体的透射光场为00,ffxyffPP xyddddF焦平面上的复振幅分布为其中，*若物体被完全照明，则投影光瞳函数可从式中略去；否则，后焦面上的场分布只是部分物体的傅里叶变换，此时频谱图像产生模糊。（投影光瞳函数）（投影光瞳函数）2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 物体放置在透镜前方时物体放置在透镜前方时以 波矢量在y0z平面内传播的平面波分量受透镜孔径限制的情况来说明对于谱面光场的影响。（1）002lLd0部分的空间频率将全部成像在焦平面上2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质0M部分的空间频率将部分成像在焦平面上（2）02MlLd2 2、透镜的傅里叶
15、变换性质、透镜的傅里叶变换性质02MlLdM部分的空间频率都不能成像在焦平面上。（3）2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质总结一下：总结一下：（1）有限大小的透镜孔径可能会造成物体频谱的失真有限大小的透镜孔径可能会造成物体频谱的失真，原因就在于透镜实际上 是一个低通滤波器：低频成分可以通过，稍高频率成分可以部分通过，高 频部分则完全被滤除。（2）因此由于透镜有限孔径的影响，后焦面上不能得到准确的物体频谱，给傅 里叶变换结果带来误差，频率越高，误差越大。我们把这种现象称为渐晕渐晕 效应效应。（3）采用尽可能大的透镜孔径，或物体尽可能靠近透镜，可以减小渐晕的影响。3 3、光学频谱分析
16、系统、光学频谱分析系统光学频谱分析的基本原理就是利用透镜的傅里叶变换性质来产生物体的空间频谱，然后对它进行测量、分析来研究物体的空间结构。上图所示为二维光学频谱分析系统的光路。S为相干点光源，L1为准直透镜，L2为傅里叶变换透镜。P1平面（L2前焦面）放置输入物体，其复振幅透过率为t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，输出光场分布正比于物体的空间频谱，即 22112121112,expU xykt x yjx xy ydx dyf 22,xykTff3 3、光学频谱分析系统、光学频谱分析系统强度记录得到物体的功率谱为 222222,xyI xyk Tff光学频谱分析可用于微小物体的形状尺寸检测、质量检测、图像分析等领域。本章小结本章小结1）透镜具有成像和傅里叶变换的功能，其根本原因在于透镜具有对入射波前进行位相调制的功能；而透镜之所以具有这种位相调制的功能就在于透镜本身存在的厚度变化。2）透镜具有傅里叶变换的功能 当采用平面波垂直照明时，总可以在透镜后焦面上得到物体的功率谱，无论物体放置在透镜前方、后方还是紧靠透镜；但当用球面波照明时，频谱面不在透镜焦平面上，而是点光源的成像位置。3）透镜有限大小的孔径对傅里叶变换有很大的影响，给傅里叶变换结果带来误差，频率越高，误差越大。透镜相当于一个低通滤波器。
