1、在微分学中我们已经介绍了求一个已知函数的导数在微分学中我们已经介绍了求一个已知函数的导数与微分的问题，在科学技术和经济管理中，常常需与微分的问题，在科学技术和经济管理中，常常需要研究其逆运算，即已知函数的导数，求这个函数要研究其逆运算，即已知函数的导数，求这个函数.这种由导数或微分求原函数的运算，称为不定积分这种由导数或微分求原函数的运算，称为不定积分.微分法微分法:)?()(xF积分法积分法:)()?(xf互逆运算互逆运算第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质第二节第二节 换元积分法换元积分法第三节第三节 分部积分法分部积分法主要内容：主要内容：第四节第四节 有理函数积分有理
2、函数积分二、二、基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 定义定义1 如果在区间如果在区间 I 上上,可导函数可导函数 F(x)的导数为的导数为 f(x),即对任意的即对任意的 x I,均有均有则称函数则称函数 F(x)为为 f(x)区间区间 I 上的一个上的一个原函数原函数.F (x)=f(x)或或 dF(x)=f(x)dx,例如例如,当当 x(-,+)时时,因为因为(sinx)=cosx,所以所以 sinx 是是 cosx 在在(-,+)内的一个原函数内的一个原函数.又如又如,当当 x (0,+)时时,因为因为 1()
3、,2xx 12xx所所以以是是在区间在区间(0,+)内的一个原函数内的一个原函数.定理定理(原函数存在定理原函数存在定理)简言之简言之,连续函数必有原函数连续函数必有原函数.I 上连续上连续,那么在区间那么在区间 I 上存在可导函数上存在可导函数 F(x),使得使得对任意的对任意的xI,均有均有 F (x)=f(x).如果函数如果函数 f(x)在区间在区间一个原函数一个原函数,则则 F(x)+C 也是也是 f(x)的原函数的原函数.所以所以,如果如果F(x)是是 f(x)的的由于常数的导数等于零由于常数的导数等于零,另一方面另一方面,如果如果 F(x)和和 G(x)都是都是 f(x)的原的原函
4、数函数,则有则有F(x)G(x)=0,即即 F(x)=G(x)+C,所以所以,f(x)的任意两个原函数之间只相差一个常数的任意两个原函数之间只相差一个常数.这样就得到这样就得到:如果如果 F(x)是是 f(x)在区间在区间 I 上的原函上的原函数数,则在区间则在区间 I 上上,f(x)的所有原函数可表示为的所有原函数可表示为 .在区间在区间 I 上上,函数函数 f(x)的带有任意常数的带有任意常数其中其中,记号记号 称为称为积分号积分号,f(x)称为称为被积函数被积函数,f(x)dx称为称为被积表达式被积表达式,x 称为称为积分变量积分变量.().f x dx如果如果 F(x)是是 f(x)的
5、一个原函数的一个原函数,则有则有()().f x dxF xC项的原函数称为项的原函数称为 f(x)在区间在区间 I 上的不定积分上的不定积分,记做记做定义定义2也就是，函数的不定积分就是其原函数的全体。也就是，函数的不定积分就是其原函数的全体。例例1 求求 23.x dx解解 因为因为(x3)=3x2,所以所以 233.x dxxC例例2 求求 21.1dxx解解 因为因为 21(arctan),1xx=21arctan.1dxxCx所所以以例例3 求求 1.dxx解解 当当 x 0 时时,因为因为 1(ln),xx 故故1ln;dxxCx当当 x 0 时时,因为因为 111n()(1),x
6、xx 1ln().dxxCx故故1ln.于于是是dxxCx从不定积分的定义从不定积分的定义,可得下述关系式可得下述关系式:(1)()();f x dxf x(2)()().F x dxF xC 例例4 求经过点求经过点(1,3),且其切线的斜率为且其切线的斜率为 2x 的曲的曲线方程线方程.解解 由于由于 22,xdxxC得曲线族得曲线族 y=x 2+C.将将 x=1,y=3 代入代入,得得 C=2,所以所求曲线为所以所求曲线为y=x 2+2.(1)k dxkxC(k为常数为常数);11(2)(1);1x dxxC 1(3)ln;dxxCx(4)sincos;xdxxC(5)cossin;xd
7、xxC2(6)sectan;xdxxC2(7)csccot;xdxxC(8)sec tansec;xxdxxC利用逆向思维利用逆向思维(9)csc cotcsc;xxdxxC(10);xxe dxeC(11);lnxxaa dxCa21(12)arcsin;1dxxCx21(13)arctan.1dxxCx以上以上13个基本积分公式是求不定积分的基础个基本积分公式是求不定积分的基础,必须熟记必须熟记.例例5 求求 21.dxx221解解dxx dxx例例6 求求 2.xxdx522解解xxdxx dx2 112 1 xC1.Cx5121512xC722.7xC性质性质1 设函数设函数 f(x)
8、及及 g(x)的原函数均存在的原函数均存在,则则 ()()()().f xg x dxf x dxg x dx 性质性质2 设函数设函数 f(x)的原函数存在的原函数存在,k为非零常数为非零常数,则则()().k f x dxkf x dx推论推论:若若,)()(1xfkxfinii则则xxfkxxfiniid)(d)(1直接积分法直接积分法:常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式等代数公式等 利用利用恒等变形恒等变形,积分性质积分性质及基本积分公式进及基本积分公式进行积分行积分.例例7 求求 322(1).xdx2432233(1)
9、(12)xdxxxdx解解243312dxx dxx dx241133112241133xxxC57336357xxxC注意：注意：检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数其导数是否等于被积函数.例例8 求求 2(1).xdxx22(1)1 2xxxdxdxxx解解113222(2)xxxdx135222222235xxxC 2422.35xx xxxC例例9 求求 22.1xdxx2222(1)111xxdxdxxx解解21(1)1dxx211dxdxxarctan.xxC例例10 求求 2.xxe dx2(2)xxxe dxe
10、dx解例例11 求求 2tan.xdx22tan(sec1)xdxxdx解解2sec xdxdxtan.xxC(2)ln(2)xeCe2.1 ln2xxeC例例12 求求 11cos2dxx2111cos212cos1dxdxxx解解dxx2cos12121sec2xdx.tan21Cx QCQ248,CMQCQ例例13 13 生产某产品生产某产品个单位的总成本个单位的总成本为产量为产量的函数的函数.已知边际成本函数为已知边际成本函数为固定成本为固定成本为1000010000元元,试求总成本试求总成本与产量与产量的函数关系的函数关系.解解 由边际成本函数由边际成本函数()CMC Q故总成本函数
11、为故总成本函数为24()(8)C QdQQ由已知固定成本为由已知固定成本为1000010000元元,即即 010000QC,得得 010000,C 故所求成本函数为故所求成本函数为84810000.CQQ248Q0848QQC1.不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表(见见P144)2.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式代数公式,积分性质积分性质作业作业P147 1(单数题);2;4；解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx ,5)0(y,6 C所求曲线方程为所求曲线方程为.6costan xxy
