1、边界层理论第五章边界层理论本章主要内容本章主要内容1.1.介绍边界层的基本概念及特点；介绍边界层的基本概念及特点；2.2.平面层流边界层微分方程及其求解；平面层流边界层微分方程及其求解；3.3.平面层流边界层积分方程及其求解；平面层流边界层积分方程及其求解；4.4.平板绕流摩擦阻力的计算平板绕流摩擦阻力的计算 边界层理论边界层理论 理论形成的背景：理论形成的背景：实际流体流动方程是非线性偏微分方程，难以求解；人实际流体流动方程是非线性偏微分方程，难以求解；人们注意到大多数实际流体的流动都可以分为两个区域，即们注意到大多数实际流体的流动都可以分为两个区域，即靠近壁面、速度梯度较大的一薄层（边界层
2、）和大部分远靠近壁面、速度梯度较大的一薄层（边界层）和大部分远离壁面、速度梯度较小的区域。对速度梯度较小的区域可离壁面、速度梯度较小的区域。对速度梯度较小的区域可以利用理想流体的欧拉方程和伯努利方程求解；对很薄的以利用理想流体的欧拉方程和伯努利方程求解；对很薄的边界层可以通过简化后再求解。这样就将整个区域求解问边界层可以通过简化后再求解。这样就将整个区域求解问题转化为主流区的理想流体的流动问题和靠近壁面边界层题转化为主流区的理想流体的流动问题和靠近壁面边界层内的流动问题。当然，与此同时就有一个区域的划分问题内的流动问题。当然，与此同时就有一个区域的划分问题或者说有一个边界层厚度的确定问题。或者
3、说有一个边界层厚度的确定问题。边界层理论边界层理论 意义：意义：粘性流体流动理论应用于实际问题，明确了研究粘性流体流动理论应用于实际问题，明确了研究理想流体流动的实际意义，在流体力学的发展中起了非理想流体流动的实际意义，在流体力学的发展中起了非常重要的作用。常重要的作用。第一节 边界层的基本概念一、边界层的定义一、边界层的定义边界层边界层：流体在流经固体壁面时，在固体壁面形成速度：流体在流经固体壁面时，在固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层。梯度较大的流体薄层。边界层的厚度边界层的厚度：流速相当于主流区速度的：流速相当于主流区速度的99%99%处，到固体处，到固体壁面的距离称为边界层厚度。壁面的
4、距离称为边界层厚度。二、边界层的形成与特点二、边界层的形成与特点 为什么会形成边界层？因为流体内部存在为什么会形成边界层？因为流体内部存在粘附力粘附力或或粘性粘性力力 。我们已经知道：流体流过管道时，其流动形态是通过雷我们已经知道：流体流过管道时，其流动形态是通过雷诺数来判别的。诺数来判别的。Re=Re=d d/第一节 边界层理论的基本概念当当Re Re Re ReRecrcr 时，流动为湍流。时，流动为湍流。对于流体掠过平板的流动，流动形态仍然可通过雷诺数来对于流体掠过平板的流动，流动形态仍然可通过雷诺数来判别，不过此时的雷诺数用判别，不过此时的雷诺数用 ReRex x=x x0 0/计算。
5、计算。其中：其中：x x 为流体进入平板的长度，又称为流体进入平板的长度，又称进流深度进流深度；0 0 为主流区流体速度。为主流区流体速度。对于光滑平板而言：对于光滑平板而言：ReRex x23310 10 6 6 时为湍流；时为湍流；2 210 10 5 5 ReRex x 3310 10 6 6为层流到湍流的过渡区。为层流到湍流的过渡区。第一节第一节 边界层理论的基本概念边界层理论的基本概念（1）层流区：）层流区：xxc，使得，使得Rex2105，且且Rex 3106，这时边界层内的流动形态已进入湍，这时边界层内的流动形态已进入湍流状态，边界层的厚度随流进长度的增加而流状态，边界层的厚度随
6、流进长度的增加而迅速增加。迅速增加。第一节 边界层理论的基本概念应特别强调的是应特别强调的是：无论过渡区还是湍流区，其边界层最：无论过渡区还是湍流区，其边界层最靠近壁面的一层始终都是作层流运动，靠近壁面的一层始终都是作层流运动，此即所谓的此即所谓的层流底层层流底层。注意：注意：层流底层层流底层和和边界层边界层的区别与联系的区别与联系 层流底层是根据有无层流底层是根据有无脉动脉动现象来划分；边界层则是现象来划分；边界层则是根据有无速度梯度来划分。边界层内的流体可以是层流根据有无速度梯度来划分。边界层内的流体可以是层流流动，也可以是作湍流流动。流动，也可以是作湍流流动。第一节 边界层理论的基本概念
7、第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）一、一、微分方程的建立微分方程的建立对于二维平面不可压缩层流稳态流动，在直角坐标系下对于二维平面不可压缩层流稳态流动，在直角坐标系下满足的控制方程为满足的控制方程为22221xxxxxypXxyxxy0yxyx连续性方程连续性方程x方向动量传输方程方向动量传输方程y方向动量传输方程方向动量传输方程22221yyyyxypYxyyxy222z2221xxxxxzzxypXtxyzxxyz注：第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）考虑不可压缩流体作平面层流（二维流场），此时质量考虑不可压缩流体作平面层流（二维流场），此时质量力对
8、流动产生的影响较小，则有方程组力对流动产生的影响较小，则有方程组22221xxxxxypxyxxy 0yxyx连续性方程连续性方程x方向动量传输方程方向动量传输方程y方向动量传输方程方向动量传输方程22221yyyyxypxyyxy 因为因为xx是一个无穷小量，所以是一个无穷小量，所以22xxxxx是一个高价无穷小，可以略去不计。是一个高价无穷小，可以略去不计。第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）于是，于是，x x方向动量传输方程可简化为方向动量传输方程可简化为221xxxxypxyxy 关于关于y轴方向上的动量传输方程，因为边界层厚度轴方向上的动量传输方程，因为边界层厚度很
9、很小，第三式中的小，第三式中的Vy对对x和和y的各项偏导数与的各项偏导数与x轴轴方向上的方向上的动量传输相比均属无穷小量，可略而不计。因而，第三动量传输相比均属无穷小量，可略而不计。因而，第三式可以简化为式可以简化为0pypdpxdx第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）对主流区中的同一对主流区中的同一 y 值，不同的值，不同的 x 值其伯努利方程可写为值其伯努利方程可写为202pCg由于由于与与0皆为常数，故皆为常数，故p为常数，即为常数，即 dp/dx=0221xxxxypxyxy 22xxxxyxyy因此因此第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）000yx
10、y，0 xy，普朗特边界层微分方程的解是由他的学生布拉修斯普朗特边界层微分方程的解是由他的学生布拉修斯在在19081908年首先求出的，他首先引入了流函数的概念，得年首先求出的，他首先引入了流函数的概念，得出边界层微分方程的解是一无穷级数。出边界层微分方程的解是一无穷级数。0yxyx22xxxxyxyy所以，原方程组就简化为所以，原方程组就简化为 定解条件为定解条件为第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）xxxRe10.50.50 xx0Re 式中边界层厚度边界层厚度与流进距离与流进距离x x 和流速和流速0 0 的关系为的关系为23425811222213221111375(
11、)2!2 5!4 8!8 11!1232!nnnnnAAAAfACn式中：式中：Cn为二项式的系数；为二项式的系数；A2为系数，可由边界条件为系数，可由边界条件确定。确定。第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方程）一、一、边界层积分方程的建边界层积分方程的建立立 前面将前面将连续性方程与纳维连续性方程与纳维尔斯托克斯方程应用于边界层，尔斯托克斯方程应用于边界层，并通过合理的简化处理，使方程并通过合理的简化处理，使方程的形式大为简化。但所得到的的形式大为简化。但所得到的布布拉修斯解仍然是一个无穷级数，拉修斯解仍然是一个无穷级数，使用时很不方便。而且还只能用使用时
12、很不方便。而且还只能用于平板表面层流边界层。现在我于平板表面层流边界层。现在我们将直接从动量守恒定律出发，们将直接从动量守恒定律出发，建立边界层内的动量守恒方程。建立边界层内的动量守恒方程。第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方程）1 1）从）从ABAB面单位时间流入的质量记为面单位时间流入的质量记为m mx x、动量记为、动量记为M Mx x 对如图所示的二维平面流动问题，取图示的控制体对如图所示的二维平面流动问题，取图示的控制体（单元体），断面为（单元体），断面为ABCD，垂直于图面方向（，垂直于图面方向（z 轴方轴方向向）取单位长度。）取单位长度。dym
13、xlx0dydyMlxxlxx020第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方程）2 2）从）从CD面单位时间流出的动量记为面单位时间流出的动量记为M x+x，流出的质量，流出的质量记为记为m x+x xdydxddymxlxlxx00 xdydxddyMlxlxxx02023）从）从BC面单位时间内流入的质量记为面单位时间内流入的质量记为ml，流入的动量流入的动量在在x x方向的分量记为方向的分量记为Ml ；而而AD面没有流体的流入、面没有流体的流入、流出。流出。第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方程）根据质量守恒定律，则有根
14、据质量守恒定律，则有BC面在边界层之外，流体沿面在边界层之外，流体沿x方向的速度近似等于方向的速度近似等于0，故此由故此由BC面流入的动量在面流入的动量在x方向的分量方向的分量Ml4）AD面没有质量流入、流出，但有动量通量存在，面没有质量流入、流出，但有动量通量存在，其值为其值为0，故此由，故此由AD面在单位时间内传给流体的粘面在单位时间内传给流体的粘性动量为性动量为0 x。xdydxdmmmxlxxxl0 xdydxdmMlxll000第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方程）5）沿）沿x方向一般情况下还存在着压力梯度。所以，由于方向一般情况下还存在着压力梯
15、度。所以，由于作用在作用在AB面和面和CD面上的压力差而施加给控制体的作用面上的压力差而施加给控制体的作用力为力为0000llllpddFpdypdypdyxpdyxdxdx通过前面的推导我们已经知道通过前面的推导我们已经知道0yp所以，上式变为所以，上式变为pdpFl xdx 第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方程）建立动量守恒方程如下建立动量守恒方程如下2220000000lllxxxlxddydydyxdxddpdyxxl xdxdx化简后得化简后得000lxxddpdyldxdx 第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门
16、方程）上式就是边界层积分方程，也称为上式就是边界层积分方程，也称为冯卡门方程冯卡门方程。由前面的分析我们知道由前面的分析我们知道 是一小量，可略去不计，这是一小量，可略去不计，这时方程进一步简化为时方程进一步简化为 dxdp000 xxddpdydxdx 000 xxddydx 第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方程）上式即为简化后的冯卡门方程，可以用于不同的流上式即为简化后的冯卡门方程，可以用于不同的流态，只要是不可压缩流体就可。态，只要是不可压缩流体就可。二、二、层流边界层积分方程的解层流边界层积分方程的解 波尔豪森波尔豪森是最早解出冯卡门方程的人，他分
17、析了方是最早解出冯卡门方程的人，他分析了方程的特点，假设在层流情况下，速度的分布曲线是程的特点，假设在层流情况下，速度的分布曲线是y的三的三次方函数关系，即次方函数关系，即x=a+by+cy2+dy3式中的四个待定常数式中的四个待定常数a、b、c、d 可由以下边界条件确定：可由以下边界条件确定：第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方程）0,01xy）0,3yyx）0,2xy）0,0422yyx）22xxxxyxyy这些边界条件是这些边界条件是条件条件1），），2），），3）是显而易见的）是显而易见的;条件条件4）是由于）是由于y=0时，时，x=y=0；再结合前
18、面推导的普朗特微分方程而再结合前面推导的普朗特微分方程而得到得到利用上述边界条件确定出：利用上述边界条件确定出：a=0，c=0，第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方程）31,22bd 因此，速度分布可表示为因此，速度分布可表示为30232xyy或者或者303122xyy将上式联立冯将上式联立冯-卡门方程，就可求出速度分布和边界层卡门方程，就可求出速度分布和边界层厚度厚度 xxxRe164.464.40上式给出了边界层厚度上式给出了边界层厚度与进流距离和速度的关系。与进流距离和速度的关系。第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方
19、程）三、湍流边界层内积分方程的解三、湍流边界层内积分方程的解 在湍流情况下，冯在湍流情况下，冯-卡门积分方程中的卡门积分方程中的0 0为一般的应力为一般的应力项，要想解上述方程也必须补充一个项，要想解上述方程也必须补充一个x x与与之间的关系之间的关系式，它不能由波尔豪森的三次方函数给出，此时要借助式，它不能由波尔豪森的三次方函数给出，此时要借助圆管内湍流速度分布的圆管内湍流速度分布的1/71/7次方定律次方定律710Ryx用边界层厚度用边界层厚度代替式中的代替式中的R得到得到 710yx 用它来代替波尔豪森多项式的速度分布，根据圆管用它来代替波尔豪森多项式的速度分布，根据圆管湍流阻力的关系式
20、，得出壁面切应力湍流阻力的关系式，得出壁面切应力0 0为为 第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方程）4/10200225.0代入积分方程代入积分方程000 xxddydx 可得到可得到将它和将它和710yx4100225.0727dxd积分后得积分后得Cx 41045289.0第三节第三节 边界层内积分方程（冯边界层内积分方程（冯 卡门方程）卡门方程）由边界条件由边界条件000Cx，xx51037.0由此可见：湍流边界层厚度（由此可见：湍流边界层厚度（x4/5），比层流边界），比层流边界层厚度（层厚度（x1/2）随进流距离增加而增厚要快得多。）随进流距离增加
21、而增厚要快得多。从而得到湍流边界层厚度的分布从而得到湍流边界层厚度的分布第四节 平板绕流摩擦阻力计算 对于实际流体掠过平板作层流流动，由于流体粘性的对于实际流体掠过平板作层流流动，由于流体粘性的作用，使得流体和平板之间存在着相互作用力，即作用，使得流体和平板之间存在着相互作用力，即 根据上式，如果我们知道流体在边界层内的速度分布根据上式，如果我们知道流体在边界层内的速度分布x 和流体的动力粘度和流体的动力粘度，则平板对流体的作用力就可以很，则平板对流体的作用力就可以很方便地通过上式求出。方便地通过上式求出。00yxyyxy第四节 平板绕流摩擦阻力计算一、不可压缩流体作层流掠过平板表面流动时的摩
22、擦阻力一、不可压缩流体作层流掠过平板表面流动时的摩擦阻力 通常定义摩擦阻力系数通常定义摩擦阻力系数Cf 为为对于长度为对于长度为L、宽度为、宽度为B 的平板，其总阻力的平板，其总阻力S 为为000BLyxySdxdz 02012yxyfSLBCLB 02012yxyfC我们注意到我们注意到第四节 平板绕流摩擦阻力计算2000012BLfyxyCLBdxdz 即即可求出层流条件下掠过平板表面的摩擦阻力系数可求出层流条件下掠过平板表面的摩擦阻力系数Cf01.3281.328RefLCL请注意：讲义中此处应补充以下内容请注意：讲义中此处应补充以下内容xyyx000332.0霍华斯（霍华斯（Howar
23、th)对微分方对微分方程通过数值计算给出。程通过数值计算给出。0ReLL其中其中第四节 平板绕流摩擦阻力计算 另一方面，由边界层积分方程的解，也可以计算出另一方面，由边界层积分方程的解，也可以计算出层流平面绕流摩擦阻力，层流平面绕流摩擦阻力，所以，总阻力所以，总阻力020320120.664yxyfSLBCLBB L 即即 由由303122xyy和和04.644.64Rexxx可得到可得到123000yxyyxy注意：原教材中该部分注意：原教材中该部分多处有误！请参照改正。多处有误！请参照改正。（P 71）第四节 平板绕流摩擦阻力计算以上的推导可见：以上的推导可见：无论从边界层微分方程出发还是
24、从无论从边界层微分方程出发还是从边界层积分方程出发，都可以求出固体壁面与流体之边界层积分方程出发，都可以求出固体壁面与流体之间的摩擦力，其结果相差不大。间的摩擦力，其结果相差不大。3200000.646BLyxySdxdzB L 所以所以联立式联立式02012yxyfSLBCLB 同样可求得层流条件下掠过平板表面的摩擦阻力系数同样可求得层流条件下掠过平板表面的摩擦阻力系数CfLfCRe292.1第四节 平板绕流摩擦阻力计算二、不可压缩流体作湍流流动掠过平板表面时二、不可压缩流体作湍流流动掠过平板表面时的摩擦阻力计算的摩擦阻力计算 湍流掠过平板表面时，流体与平壁之间的摩擦阻力湍流掠过平板表面时，
25、流体与平壁之间的摩擦阻力不仅与分子粘性有关，而且还与湍流的脉动有关。不仅与分子粘性有关，而且还与湍流的脉动有关。此时在边界层内借助速度的此时在边界层内借助速度的1/7次的经验公式，即次的经验公式，即 710yx把它代入冯把它代入冯卡门方程可得卡门方程可得 dxd200727第四节第四节 平板绕流摩擦阻力计算平板绕流摩擦阻力计算此时此时由湍流边界层公式给出，即由湍流边界层公式给出，即 对于长度为对于长度为L、宽度为、宽度为B 的平板，其总阻力的平板，其总阻力S 为为20000000()2200077277()7272BLBLyldSdxdzdxdzdxBdBL LL51037.0这时平板摩擦阻力
26、系数可由下式给出这时平板摩擦阻力系数可由下式给出1/50201/50.3714()141727220.072 RefLLLSLCLLLB上式适用于上式适用于105 ReL 107，若将系数，若将系数0.072改成改成0.074与实验结果更吻合。与实验结果更吻合。第四节第四节 平板绕流摩擦阻力计算平板绕流摩擦阻力计算第五章第五章 例题讲解例题讲解【例例5-15-1】运动粘度运动粘度 的空气以速度的空气以速度 掠过掠过一平板，试求：一平板，试求：1 1、进流深度为、进流深度为50cm50cm处的边界层厚度；处的边界层厚度；2 2、进流深度为、进流深度为50cm50cm、板面上方距板面、板面上方距板
27、面5mm5mm处空气的流速；处空气的流速；3 3、相同的进流深度、板面板面上方距板面、相同的进流深度、板面板面上方距板面15mm15mm处空气的流速。处空气的流速。解：解：1 1）先计算）先计算ReRe，判别流态。，判别流态。sm/1030.125sm/6.20，边界层为层流550100.11030.15.0/6.2Remsmxxmmmx3.70073.05.01000.164.4Re64.45第五章第五章 例题讲解例题讲解3 3）对该处，）对该处，处处于边界层外。于边界层外。2 2）因进流深度）因进流深度50cm50cm处的边界层厚度为处的边界层厚度为7.3mm7.3mm，求解处位，求解处位
28、于层流边界层内，该处空气的流速为：于层流边界层内，该处空气的流速为：3303135152.62.25/2227.327.3xyymsmmmmy3.715故该处空气的流速故该处空气的流速02.6/xm s【例例5-2】如图所示，如图所示，=0.73Pa=0.73Pas s、=925kg/m=925kg/m3 3 的流体以的流体以0.6m/s0.6m/s的速度平行地流过一块长的速度平行地流过一块长0.5 m0.5 m的光滑平板。的光滑平板。试求试求 ：1 1）求边界层的最大厚度）求边界层的最大厚度？2）求）求A点（位于壁面处）、点（位于壁面处）、B点（板上方点（板上方50mm处）和处）和C点（板面
29、上方点（板面上方90mm处）三处处）三处x方向的速度方向的速度 以及以及它们在它们在y方向的速度梯度方向的速度梯度第五章 例题讲解?x?yx 解：先计算解：先计算Re，判别流态。，判别流态。层流）(1.380925/73.05.0/6.0Re0msmxvxRe64.4x第五章 例题讲解边界层的最大厚度边界层的最大厚度 在平板的最右端。在平板的最右端。max0.54.640.119380.1m解：解：设在设在x=200mm处的边界层处的边界层厚度为厚度为，先计算该处的，先计算该处的Re，判别流态。判别流态。1.152925/73.0200.0/6.0Re0sm(层流层流)Re64.4xmmm75
30、075.01.1522.064.4Re200.064.4第五章 例题讲解)3(2230yyvxA点处：点处：y=0 0)3(2230yygx根据层流边界层内的速度分布公式根据层流边界层内的速度分布公式23)33(2)3(20022002300yyyxyvyyyy)/1(12075.026.030syyx第五章 例题讲解B点处：点处：my05.0302(3)2xvyy)/(51.0)022.015.0(4)075.005.0050.03(075.026.023smx2200.050.05223330.63 0.05(3)(3)22 0.0750.0757.5 104.0(3)6.67(1/)5.
31、625 10 xyyvyysC点处：点处：mmmmy759000.6/xm s009.0yxyv【例例5-35-3】设空气从宽为设空气从宽为40cm40cm的平板表面流过，空气的平板表面流过，空气的流动速度的流动速度v v0 0=2.6m/s;=2.6m/s;空气在当时温度下的运动粘度空气在当时温度下的运动粘度=1.47=1.471010-5-5m m2 2/s/s。试求：流入深度。试求：流入深度x=30cmx=30cm处的边界处的边界层厚度，以及距板面高层厚度，以及距板面高y=4.0mmy=4.0mm处的空气流速及板面上处的空气流速及板面上的总阻力？的总阻力？552.6 0.3Re30cmR
32、e0.53 101.47 10 xxxx0（=）：=54.644.64 0.30.00606(6.06)Re0.53 10 xxmmmm解：解：（1）（2）边界层厚度（按）边界层厚度（按Re为层流区）：为层流区）：第五章第五章 例题讲解例题讲解（3 3）当）当y=4.0mmy=4.0mm处的速度处的速度v vx x。按边界层内的速度场：。按边界层内的速度场：3303134.014.00.852226.0626.06xyy0.85 2.6/2.21/xm sm s（4）平板上的总阻力）平板上的总阻力S，按式（，按式（5-30）确定：）确定：00322321/2523230.6460.6460.6
33、461.47 101.2392.60.40.32.82 10SB LB LNN 第五章第五章 例题讲解例题讲解1.边界层的特点边界层的特点：a.边界层厚度为一有限值；边界层厚度为一有限值；b.边界层厚度沿流程增加；边界层厚度沿流程增加；c.边界层分层流边界层和湍流边界层；边界层分层流边界层和湍流边界层；d.边界层外可按理想流体对待，在边界层内切应力按下边界层外可按理想流体对待，在边界层内切应力按下式计算式计算 第五章 小 结 层流时的边界层微分方程层流时的边界层微分方程22dydldyd2.流体掠过平板流体掠过平板0yxyx22xxxxyxyy第五章 小 结xxxRe10.50.50 xxxR
34、e164.464.40速度分布为一无穷级数形式（不作为计算时使用）速度分布为一无穷级数形式（不作为计算时使用）边界层厚度边界层厚度 3.边界层积分方程边界层积分方程000 xxddydx 速度分布关系速度分布关系边界层厚度边界层厚度303122xyy第五章 小 结4.4.不可压缩流体层流掠过平板流动摩擦阻力不可压缩流体层流掠过平板流动摩擦阻力S S及摩擦及摩擦阻力系数阻力系数C Cf fLBS230664.0LfCRe292.1LBS230646.0由边界层微由边界层微分方程推得分方程推得01.3281.328RefLCL由边界层积由边界层积分方程推得分方程推得5.不可压缩湍流掠过平板表面流动边界层厚度不可压缩湍流掠过平板表面流动边界层厚度、摩擦摩擦阻力阻力S、及摩擦阻力系数及摩擦阻力系数Cfxx51037.0)(72720LBS5/1Re072.0LfC第五章 小 结第五章第五章 习习 题题做做材料加工冶金传输原理材料加工冶金传输原理吴树森主编教材中第吴树森主编教材中第5章后面章后面的练习的练习 5-2,5-3,5-4,5-5
