1、12/9/2022CAD与有限元分析12/9/2022有限元法及其应用n有限元法（有限单元法、有限元素法）n求解复杂工程问题的一种近似数值分析方法12/9/2022有限元网格生成技术n将物体离散成有限个简单单元的组合n是有限元法的主要瓶颈n自动和交互方法12/9/2022有限元网格的要求n单元类型：n二维：三角形、四边形n三维：四面体、五面体、六面体n基本要求：n几何逼近n单元合法n密度合理n拓扑相容12/9/2022二维网格生成技术n拓扑分解法n节点连元法n网格模板法n映射法n几何分解法nDelaunay法12/9/2022映射法n手工划分为简单区域n建立网格模板（参数空间相应的单位正子单元
2、的网格）n网格模板到欧氏空间中子区域的映射n网格剖分、相容12/9/2022n优点：简单、易于实现，网格规整n缺点：手动划分区域、不规则形状不适用12/9/2022拓扑分解法n根据实体元素的拓扑关系，通过连接相应的顶点将多边形分解成一系列的粗糙的三角形n细化12/9/2022n对于复杂形状，首先将区域的洞切开，形成单连通域；然后每次切下一个三角形；直到最后只有三个顶点n原理简单，对剖分实体的拓扑结构依赖强12/9/2022节点连元法n首先在边界和区域内布节点，然后按照一定规则生成单元n节点生成：n自动n人工12/9/2022n节点生成：n随机法：边界等距生成；内部区域分成一系列的子区域，随机在
3、子区域插入节点；n扫描线法：12/9/2022n单元生成n夹角最大nDelaunay法：最小角和最大；外接圆准则n基线法nWatson法nLawson法12/9/2022几何分解法n1）区域递归细分法n分解成凸区域n对每个区域，在边界插入节点n在区域的“最长轴”的中点处加一个分割线划分区域，在分割线上布节点n递归划分两个子区域，直到所得部分均为三角形12/9/2022n2）单元迭代移去法n跟踪算法n划分边界n从边界移去一个三角形12/9/2022n网格前沿法n划分边界n边界向内部移动，形成一组单元12/9/2022基于栅格法n1）正则栅格法n用正则栅格覆盖区域，删除区域外单元，调整相交单元n2
4、）四叉树法n正方形包围盒n四分包围盒，判断子区域与物体的关系，决定是否继续四分子包围盒n处理相交的小包围盒，逼近物体边界12/9/2022三维曲面网格生成n与二维类似12/9/2022曲面网格品质评价标准 n网格的质量评价应该同时考虑结点、单元和整个曲面网格的质量。结点内角大于150小于2250；每个结点周围的单元数为3或4为宜，若大于6为不规则结点。单元网格质量直接反映单元质量的好坏程度，三角形的质量可以用变形因子值(面积与三边平方和之比)来衡量：222|32)(BCABCAnCBCAABC12/9/202212/9/2022n基于三角形的变形因子，可以定义四边形的形状参数。一个四边形沿着两
5、条对角线可分为四个三角形，设这四个三角形分别对应四个值，1234,则四边形的变形因子可定义为：214312/9/2022n值越大，表明四边形质量越好。凹四边形的值小于0，凸四边形的值在0与1之间，矩形的值为最大1，当四边形退化为三角形时为0。当一个三角形与其相邻的三角形合并为四边形时，按值最大原则进行。12/9/202212/9/2022锥度（Taper）n它反映四边形网格单元由两对角线形成的四个三角形面积的差异程度 12/9/2022翘曲度（Warpage）n翘曲度主要用翘曲因子和翘曲角度两种方法来表示，它反映了四边形网格单元的扭曲程度，如图24所示。翘曲因子为四边形网格单元对角线的最短距离
6、与单元面积之比。翘曲角度为网格单元对角线所分割的两三角形垂直矢量的夹角。12/9/2022细长比（Aspect Ratio）n细长比为网格单元最长边长与最短边长之比，它映外观边界的差异。对于理想网格单元，该值为1。12/9/2022n目前大体上有两类定义曲面网格质量的方法，n一类是将网格质量定义为所有单元质量的总和或某种平均值n另一类是以网格中最差的一个单元的质量来表示整个网格的的质量12/9/2022n为使有限元网格分析结果合理可靠，网格应具备以下要求：n所有单元都应接近理想形状n主要变量变化剃度较大的地方网格需要精整n粗细网格之间应均匀n网格单元之间既不能重叠，也不能存有间隙 12/9/2
7、022复杂曲面网格划分的基本原则 n1、网格数量、网格数量 12/9/2022分析类型的影响n静力分析：n如果仅仅是计算结构的变形，网格数量可以少一些。n如果需要计算应力，则在精度要求相同的情况下应取相对较多的网格。n动力分析：计算应力响应所取的网格数应比计算位移响应多。n在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低阶模态，可以选择较少的网格，n如果计算的模态阶次较高，则应选择较多的网格。n热分析：结构内部的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少的网格。12/9/20222网格疏密网格疏密 12/9/202212/9/2022曲面网格生成的常用算法 n映射法nDelaunay三角剖
8、分法n波前法 12/9/2022映射法 n映射法是最早使用并在商品化产品中占主导地位的方法，它根据形体边界的参数方程，把一个参考网格通过映射方程从参数域映射到实际的区域上。这个参考网格是预先给定的，基本原理如下：考虑一个区域，其形状接近于四边形，如图2-5所示。假设位于两对边的点的数目相等。给定一个单位正方形，定义正方形的四条边上点的数目与区域对应边上的点的数目相等。12/9/2022 12/9/2022n设F为真实区域和单位正方形之间的映射函数。目前函数F主要有两种选择，一种是:n其中为四边形区域的四个角点的坐标，前面的系数分别为 41),(iiiavupF)1)(1(),(1vuvup)1
9、(),(2vuvupuvvup),(3vuvup)1(),(4n它生成的网格有时不能精确地模拟区域的边界。12/9/2022nF的第二种选择为 n它生成的网格可以精确地模拟区域的边界。)1()1()1)(1()()1()()()()1(),(43214321vauuvaavuavuvfuuvfvufufuvuF12/9/2022n映射法的优点在于每一子域内网格生成可以得到相当好地控制,能够用以进行曲面网格的生成。但其最大的弊端在于要求事先根据所要产生的网格类型将目标域分割成一系列可映射的子区域。而这一工作通常需人工来完成,因而自动化程度低,不适合于全自动网格的生成；对于不规则形体产生的网格质量
10、很差，不提供局部修改功能 n随着计算机实体造型系统的出现,通过与其它方法相结合,这一类方法的自动化程度也逐渐得到提高。12/9/2022Delaunay三角剖分法 点集的Voronoi图（虚线）及其Delaunay三角剖分（实线）12/9/2022n二维Voronoi图是由一些凸多边形组成，且具有以下性质：1）点集中的任一结点与凸多边形一一对应；2）内部任意点均以为“最近邻”；3）三个或更多的凸多边形可交于一点，这些点称为Voronoi顶点；4）外部的Voronoi多边形为开的，而内部的多边形均为闭的。如果两个结点相邻，则它们的Voronoi多边形必然相邻。连接所有Voronoi多边形中的结点
11、，即为Delaunay三角剖分。12/9/2022nSibson55证明了平面任意给定点集的Delaunary三角剖分的结果具有整体优化的性质，它满足“最大最小角”原则，（即所有三角形的最小内角之和最大）。与“最大最小角”准则等价的条件是“外接圆”准则，即对于Delaunay三角剖分的每个三角形，没有一个结点落到其外接圆的内部，而只能位于其外接圆之上或外部。12/9/2022nDelaunay算法发展到今天，已经出现了大量的不同算法。一般可将其分为以下三类：n以Bowyer和Green Sibsons为代表的计算Voronoi图方法；n以Watson为代表的空外接圆法n以Lawson为代表的对
12、角线方法。12/9/2022nLawson算法特别适用于二维Delaunay三角化，它不存在象Watson算法出现的退化现象，对约束情况同样适用，计算效率高。n步骤如下：n1.假定已生成了连接若干个结点的Delaunay三角网格；n2.加入一新结点，找出所有外接圆包含该结点的三角形；12/9/2022n3.将第二步所得的三角形删除，形成一空腔，将空腔内的结点与新结点连接，形成新的Delaunay三角形；n4.调整数据结构，新生成的三角形的数据先填充被删除的三角形的数据，余者添加到数组的尾部；n5.返回到第二步，直到所有的结点都加入为止；12/9/202212/9/2022n上面的算法需要一个初
13、始网格，通常选择一个覆盖所有结点的矩形（矩形的四个顶点为辅助结点），然后将此矩形沿对角线划分为两个三角形，得到我们需要的初始网格。加点过程结束后，删除以辅助结点为顶点的三角形单元，便得到最终网格。12/9/2022n但在三维的情况下，对角线交换的推广变成了对角面的交换，而对角面的交换可能改变区域体积或外边界，因此Lawson算法不能直接推广到三维情况。12/9/2022nDelaunay算法的最大优点之一就是它自动避免了生成小内角的长薄单元，特别适用于有限元网格的生成。虽然Delaunary三角化方法在2D平面区域中取的相当的成功，但在3D情形，基于最大最小角判别的对角线交换规则不再成立，而基
14、于外接圆的Delaunay三角化一般也不再能保证生成的网格质量。12/9/2022n虽然Delaunay三角化提供了一种较好的方法将空间点集三角化，但Delaunay判决本身并不能指导怎样在空间布点。因此，必须寻找一种较好的布点方法，即要求点的分布满足密度控制要求，又要求三角化的形状尽可能好。目前，基于Delaunay三角化理论的3D网格生成技术仍然是活跃的研究课题，许多学者正对此进行深入地研究。12/9/2022四叉树法 n首先将目标区域用一个尽可能小的正方形圈定，然后将次正方形分解成四个大小相同的子区域，对每一个子域，测试其是否完全在目标域外面或者是否满足密度控制的要求，若满足所给定的条件则停止对此子域的细分，否则将之细分，该过程迭代执行下去直至达到预定的离散要求。这样目标区域被一些相互不重叠的各种大小的方形子域拼成的图形所逼近，这些子域是由最初的正方形分解而成，但目标区域本身自始至终并不被分解。12/9/2022n直接将其用作有限元网格生成器有其弊端：n1)物体内部（即目标区域内）可能由少量的大元素组成；n2)相邻的正方形可能细分的层次不同，因此必须特别关注元素间的连续性；n3)因为物体由许多正方形拼合而成，所以所有非水平方向和非垂直方向上的边界将由一系列逼近此边界的正方形的角表示；n对大多数边界而言，要想达到令人满意的几何表示，且达到通常的求解精度，需要更多的元素。
