1、 问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆它的主桥是圆弧形弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m7.2m，你能你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB于于E点点
2、（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？OABCDE二、二、（2 2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？已知：在 O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E求证：AEBE，ACBC，ADBD证明：连结OA、OB，则OAOB 垂直于弦AB的直径CD所在的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又 是 O的对称轴 当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合 AEBE，ACBC，ADBDOABCDE垂径定理：垂径定
3、理：垂直于弦的直径，垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条平分弦且平分弦所对的两条弧弧归纳条件条件结论结论换言之：垂径定理：换言之：垂径定理：若一条若一条直线满足：条件（直线满足：条件（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦，）垂直于弦，则它（则它（3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所对的优）平分弦所对的优弧，（弧，（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧也可以说：直径垂直于弦也可以说：直径垂直于弦几何语言：几何语言：CD是直径是直径,AB为为 O的弦的弦,且且 OBCDAE，EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OE
4、DCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形。垂径定理的几个基本图形。CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD在直径为10cm的圆中，弦AB为8cm,弦CD为6cm,且ABCD,求AB与CD之间的距离。如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使AE=BE（1）CDABAB吗吗？为什么？为什么？（2）OABCDEAC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？三、直径过圆心 平分弦 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧DOABEC已知：CD是直
5、径，AB是弦，CD平分AB求证：CDAB，ADBD，ACBC一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立OABMNCD注意为什么强调这里的弦不是直径？直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧已知：CD是直径，AB是弦，并且ACBC 求证：CD平分AB，CD AB，ADBDDOABEC 直径过圆心 平分弦所对的劣弧 平分弦 平分弦所对优弧 垂直于弦 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧已知：CD是直径，AB是弦，并且ADBD
6、求证：CD平分AB，CD AB，ACBCDOABEC 垂直于弦 平分弦 直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 （3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 已知：AB是弦，CD平分AB，CD AB，求证：CD是直径，ADBD，ACBCDOABEC 垂直于弦 平分弦所对优弧 直径过圆心 平分弦 平分弦所对的劣弧 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 平分弦 平分弦所对优弧 （4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦 平分弦所对优弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 （5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平
7、分弦所对的另一条弧 平分弦 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦 经过圆心经过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧知二推三知二推三我思考，我快乐我思考，我快乐例例 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，圆厘米，圆心心O到到AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的半径。的半径。OEBA若若OA=10cm,OE=6cm,求弦求弦AB的长。的长。若若圆心到弦的距离圆心到弦
8、的距离用用d表示，半径用表示，半径用r表示，弦表示，弦长用长用a表示，这三者之间表示，这三者之间有怎样的关系？有怎样的关系？2222adr若下面的弓形高为若下面的弓形高为h h，则则r r、d d、h h之间有怎样之间有怎样的关系的关系?r=d+hr=d+h即右图中的OE叫弦心距.Ramming foundation 解：连结解：连结OB，作，作OEAB于于点点E，则，则OE3厘米，厘米，AEBE.AB8厘米厘米 BE4厘米厘米 在在RtBOE中，据勾股定理有中，据勾股定理有OB5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。注意：圆心到弦的距离叫弦心距注意：圆心到弦的距离叫弦心距1.如图，在如图
9、，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB，AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.提高练习提高练习 2.已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两为圆心的两个同心圆中，大圆的弦个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。你认为两点。你认为AC和和BD有什么有什么关系？为什么？关系？为什么？证明：过证明
10、：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法它是一种常用辅助线的添法总结总结:解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距过圆心作弦的弦心距，或，或作垂直于弦的作垂直于弦的直径，连结半径直径，连结半径等辅助线，为应用等辅助线，为应用垂径垂径定理定理创造条件。创造条件。船能过拱桥吗船能过拱桥吗 2.如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为
11、桥下水面宽为7.2米米,拱顶拱顶高出水面高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并米、船舱顶部为长方形并高出水面高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这此货船能顺利通过这座拱桥吗？座拱桥吗？相信自己能独相信自己能独立完成解答立完成解答.船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为Rm,Rm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.C.根据垂径定理根据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得ABABABAB1.5.MN21HN2.4,CD7.2,ABABAD21,6.32.721DCOCOD.4.2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4.2(6.3222RR即解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH.6.35.19.322OH即.21.25.16.3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.
