1、1.4 充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件预备知识预备知识 一般地，在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真一般地，在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做假的陈述句叫做命题命题.其中判断为真的命题叫做其中判断为真的命题叫做真命题真命题，判断为假的命题叫做，判断为假的命题叫做假命题假命题.中学数学中的许多命题可以写成中学数学中的许多命题可以写成“若若p，则则q”,“如果如果p，那么那么q”等等形式形式.其中其中p称为命题的条件，称为命题的条件，q称为命题的称为命题的结论结论.下下面我们面我们 将进一步考察将进一步考察“若若p，则则q”形式的命题中形
2、式的命题中p和和q的关系的关系.学学习数学中的习数学中的三个常三个常用的逻辑用语用的逻辑用语充分条件、必要条件和充要充分条件、必要条件和充要条件条件.下列下列“若若p,则则q”形式的命题中形式的命题中,哪些是真命题？哪些是假命題？哪些是真命题？哪些是假命題？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；(3)若若x2-4x+3=0,则则 x=1；(4)若平面内两条直线若平面内两条直线 a 和和 b 均垂直于直线均垂直于直线l，则则a/
3、b.问题引入问题引入 在命题在命题(1)(4)中中，由条件由条件p通过推理可以得出结论通过推理可以得出结论 q，所以它们是所以它们是真命题真命题.在命题在命题(2)(3)中，中，由条件由条件p不能得出结论不能得出结论 q，所以它们是，所以它们是假假命题命题.定义定义：如果命题：如果命题“若若p，则，则q”为真命题为真命题,即即p q,那么我们就那么我们就说说p是是q的的充分条件充分条件；q是是p的的必要条件必要条件定义得出定义得出充分条件：指条件是充分的，是充足的，足够的，只要具备这个条充分条件：指条件是充分的，是充足的，足够的，只要具备这个条件就足以保证结论的成立。即件就足以保证结论的成立。
4、即“有之必成立有之必成立”。必要条件：若必要条件：若q不成立，则不成立，则p不成立，即不成立，即q是是p成立的必不可少的条件。成立的必不可少的条件。即即“无之必不成立无之必不成立”。理解：理解：p是是q的充分条件与的充分条件与q是是p的必要条件是的必要条件是完全等价完全等价的，它们是同一个逻的，它们是同一个逻辑关系辑关系“p q”的不同表达方法。的不同表达方法。例例1 下下列列“若若p，则则q”则形式的命题中则形式的命题中，哪些命题中的哪些命题中的p是是q的的充分条件充分条件?(1)若四边形的两组对角分别若四边形的两组对角分别相等，相等，则这个四边形是平行四边形；则这个四边形是平行四边形；(2
5、)若两个三角形的三边成若两个三角形的三边成比例，比例，则这两个三角形相似；则这两个三角形相似；(3)若四边形为若四边形为菱菱形形，则则这个四边形的对角线互相垂直；这个四边形的对角线互相垂直；(4)若若x2=1,则则 x=1;(5)若若 a=b,则则 ac=bc;(6)若若x，y为无理数为无理数，xy则为无则为无理数理数.解解：命题命题(1),(2,(3),(5)中中p q,p是是q的充分条件的充分条件思考思考 例例1中命题（中命题（1）给出了）给出了“四四边形是平行四边形是平行四边形边形的一个充分条件，的一个充分条件，即即“四四边形的两组对角分别相等这样的充分条件唯一吗？如果不边形的两组对角分
6、别相等这样的充分条件唯一吗？如果不唯一唯一.那么你能再给出几个不同的充分条件吗？那么你能再给出几个不同的充分条件吗？例如，例如，我们知道，下列命题均为真命题：我们知道，下列命题均为真命题：若若四边形的两组对边分别相等四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；则这个四边形是平行四边形；若若四边形的四边形的一一组对边平行组对边平行且且相等相等，则这个四边形是平行四边形；则这个四边形是平行四边形；若若四边形的两条对角线互相平分四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形则这个四边形是平行四边形.充分条件充分条件不不唯一唯一 一般地一般地，数学中的每一条数学中的每一条判定定理判定定理
7、都给出都给出了了相应数学结论成立相应数学结论成立的一个的一个充分充分条件条件.例例2 下列下列“若若p,则则q”形式的命题中形式的命题中，哪哪些命题中的些命题中的q是是p的的必要条件必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若若x=1,则则 x2=1；（5）若若 ac=bc，则则a=b；（6）若若xy为无理数，则为无
8、理数，则x，y为无为无理数理数.解解：(1),(2),(4)中中 p q,q是是p的必要条件的必要条件 一般地，要判断一般地，要判断“若若p,则则q”形式的命题中形式的命题中q是否为是否为p的必要条件的必要条件,只需只需判断是否有判断是否有“p q”，即即“若若p,则则q”是否为真是否为真命题命题.思考思考 例例2 中命题（中命题（1）给出了）给出了“四四边形是平行四边形边形是平行四边形”的一个必要的一个必要条件条件.即即“这这个四边形的两组对角分别相等这样的必要条件是唯一的吗？如果不个四边形的两组对角分别相等这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一唯一，你能你能给出给出“四四边形是平行四边形边形
9、是平行四边形”的几个其他必要条件吗？的几个其他必要条件吗？必要必要条件条件不不唯一唯一例如，例如，我们知道，下列命题均为真命题：我们知道，下列命题均为真命题：若四边形是平行四边形若四边形是平行四边形，则则这个这个四边形的两组对边分别相等四边形的两组对边分别相等；若四边形是平行四边形若四边形是平行四边形，则这个则这个四边形的四边形的一一组对边平行且相等组对边平行且相等；若四边形是平行四边形若四边形是平行四边形，则这个则这个四边形的两条对角线互相四边形的两条对角线互相平分平分.一般地一般地，数学中的每一条数学中的每一条性质性质定理定理都给出都给出了了相应数学结论成立相应数学结论成立的一个的一个必要
10、必要条件条件.例例 若集合若集合A=x|1xb,bR,则则AB的一个充分不必要条的一个充分不必要条件是件是()A.b2 B.1b2 C.b1 D.b1解析解析 A=x|1xb,bR,结合选项知结合选项知b1是是AB的充的充分不必要条件分不必要条件,故选故选D.D能力提升变式变式 如果如果p:0 x3是是q:2x-3m的充分不必要条件的充分不必要条件,则实数则实数m的取值范围的取值范围是是.m3小结小结充分条件、必要条件的两种判定方法充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法定义法:根据根据pq,qp进行判断进行判断,适用于定义、定理判断性问题适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法集合法:根
11、据根据p,q成立的对象组成的集合之间的包含关系进行判断成立的对象组成的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及参数范围的推断问题多适用于命题中涉及参数范围的推断问题.1.4.2充要条件思考思考下列下列“若若p,则则q”形式的命题形式的命题中中,哪些哪些命题与它们的逆命题命题与它们的逆命题都是真命题？都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等三角形全等;（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程若一元二次方程ax2+bx+c=
12、0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根,则则ac0,q：x0,y0;(4)p：x=1 是一元二次方程是一元二次方程 ax2+bx+c=0的一个根的一个根,q：a+b+c=0(a0).解：解：(1)p q，但，但 q p，p不不是是q的充要条件的充要条件(2)pq，p是是q的充要条件的充要条件(3)pq，p不不是是q的充要条件的充要条件(4)pq，p是是q的充要条件的充要条件探究探究通过上面的学习通过上面的学习，你你能给出能给出“四四边形是平行四边形边形是平行四边形”的充要条件吗？的充要条件吗？四边形的两组对角分别四边形的两组对角分别相等相等 四边形是平行四边形四边形是平行四边形；四边形的两
13、组对边分别相等四边形的两组对边分别相等 四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；四边形的四边形的一一组对边平行组对边平行且且相等相等四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；四边形的两条对角线互相平分四边形的两条对角线互相平分四边形是平行四边形四边形是平行四边形.上面的这些充要条件从不同角度刻画了上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平平行四边形行四边形”这个概念，这个概念，据此我们可以给据此我们可以给出出平行四边形的其他定义形式平行四边形的其他定义形式.例例如：如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形叫做平行四对角线互相平分的四边
14、形叫做平行四边形边形.同样，同样，你你能给出能给出“两个两个三角形相似三角形相似”的充要的充要条件吗，条件吗，可以给出可以给出“相相似三似三角角形形”其他定义形式其他定义形式吗，吗，这些定义这些定义之间是什么关系？之间是什么关系？例例4 已知已知O 的半径为的半径为r，圆心，圆心O到直线到直线l的距离为的距离为d.求证求证 d=r是直线是直线 l 与与O 相切的充要条件相切的充要条件.lOdPQlO【分析分析】设设：p：d=r，q：直线：直线l与与 O 相切相切.要要证证p是是q的充要的充要条件，只需分别条件，只需分别证明证明充分性（充分性（p q）和和必要性必要性（qp）即可即可.证明：证明
15、：设设：p：d=r，q：直线：直线l与与O 相切相切.（1）充分性（）充分性（p q）：）：作作OPl于点于点P，则则OP=d，若，若d=r，则点，则点P在在O 上，在直线上，在直线l上任取一点上任取一点Q(异于点异于点P)，连接，连接OQ.在在RtOPQ中，中，OQOP=r.所以，除点所以，除点P外直线外直线l上的点都在上的点都在O 的外部，即直线的外部，即直线l与与O仅仅有一有一个公共点个公共点P.所以直线所以直线l与与O 相切相切.PQlO（2）必要性）必要性（qp）:若直线若直线 l 与与O 相切，不妨设切点相切，不妨设切点P，则，则OP l.因此，因此，d=OP=r.PQlO由由(1
16、)(2)可得，可得，d=r是直线是直线l与与O 相切相切的充的充要要条件条件.例例5求证：方程求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于的两个根均大于1的充要条件是的充要条件是k2.证明证明必要性：必要性：若方程若方程x2(2k1)xk20有两个大于有两个大于1的根，不妨设两个根为的根，不妨设两个根为x1，x2，则则解得解得k2.充分性充分性：当当k0.设方程设方程x2(2k1)xk20的两个根为的两个根为x1，x2.则则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210.x11，x21.综上可知，方程综上可知，方程x2(2k1)xk20有两个大于有两个大于1的根的充要条件为的根的充要条件为k2.反思与感悟一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即qp；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即pq.课堂小结课堂小结1充分条件，必要条件充分条件，必要条件概念与判定；概念与判定；2.充要条件充要条件概念与判定概念与判定.
