1、2.5平面向量应用举例1.向量在几何中的应用向量在几何中的应用2.向量在物理中的应用向量在物理中的应用解决的问题：解决的问题：比如：比如：平行平行、垂直垂直、夹角夹角、距离距离、三点三点共线共线等几何问题等几何问题解决的问题：解决的问题：比如：比如：力力、速度速度等物理问题等物理问题2.5.12.5.1平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法例例1 1：平行四边形是表示向量加法与减法的几平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？ABDCABCD特殊
2、化特殊化)(22222ADABDBAC探索：探索：中，该关系中，该关系是否依然成是否依然成立？立？ABCD一般化一般化ab22222ADABDBAC即证例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB,解：解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB,)(2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222B
3、DACDACDBCAB例例2 如图，如图，ABCD中，点中，点E、F分别分别是是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分别分别与与AC交于交于R、T两点，你能发现两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC解：设解：设 则则,ABa ADb ARr A Cab 由于由于 与与 共线，故设共线，故设ARAC(),rn ab nR又因为又因为 共线，共线，所以设所以设E RE B与与12()ERmEBm ab 因为因为 所以所以A RA EE R 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此ABCDEFRT102
4、()()mnm anb 即即,a b由由于于向向量量不不共共0102nmmn 线线，1 1解解 得得：n n=m m=3 3111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TCABCDEFRT（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；常设基底向量或建立向量坐标。问题；常设基底向量或建立向量坐标。（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；如距离、夹角等问题；（3）把运算
5、结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形练习练习1、证明直径所对的圆周角是直角、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为直径，为直径，C为为 O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证要证ACB=90，只须证向只须证向量量 ，即，即 。CBAC 0CBAC解：解：设设 则则 ，由此可得由此可得：bOCaAO,baCBbaAC,.AC CBabab 2222baba022rr即即 ，得
6、，得 ACB=900CBAC思考：能否用向量思考：能否用向量坐标形式证明？坐标形式证明？ab2.5.22.5.2向量在物理中的应用向量在物理中的应用例例1：同一平面内，互成：同一平面内，互成120的三个大小相等的共的三个大小相等的共点力的合力为零。点力的合力为零。BO120abcD CA证：证：如图，用如图，用a，b，c表示这表示这3个共点力，个共点力，且且a，b，c互成互成120，模相等，按照向，模相等，按照向量的加法运算法则，有：量的加法运算法则，有：a+b+c=a+（b+c）=a+OD 又由三角形的知识知：三角形又由三角形的知识知：三角形OBD为等边三角形，故为等边三角形，故 a与与OD
7、共线且模相等共线且模相等 所以：所以：OD=-a，即有：，即有：a+b+c=0 例例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？分析：分析：上述的问题跟上述的问题跟如图所示如图所示的是同个问题，抽象为数学模的是同个问题，抽象为数学模型如下：型如下：F2F1FG用向量用向量F1，F2，表示两个提力，表示两个提力，它们的合向量为它们的合向量为F，物体的
8、重力，物体的重力用向量用向量G来表示，来表示，F1，F2的夹的夹角为角为，如右图所示，只要分清，如右图所示，只要分清F，G和和三者的关系，就得到三者的关系，就得到了问题的数学解释！了问题的数学解释！F1FG F2cos2探究：探究：（1）为何值时，为何值时，最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？F1（2）能等于能等于 吗？为什么？吗？为什么？F1 G F1解：不妨设解：不妨设 =，由向量的由向量的 平行四平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道：可以知道：=（*）通过上面的式子，有：当通过上面的式子，有：当由由0到到180逐渐变逐渐变大时
9、，大时，由由0到到90逐渐变大，逐渐变大，的值由大逐的值由大逐渐变小，因此渐变小，因此：由小逐渐变大，即由小逐渐变大，即F1 ，F2之间之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！的夹角越大越费力，夹角越小越省力！F2 F1 Gcos22cos22 F1答：在（答：在（*）式中，当）式中，当=0时，时，最大，最大，最小且等于最小且等于cos2 F1 G2答：在（答：在（*）中，当）中，当 =即即=120时，时，=cos212 F1 GF2小结：小结：（1）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的理问
10、题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！受力平衡，画出相关图形！（2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！用向量的有关法则解决问题！（3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。练习；练习；（1）如图所示，用两条成）如图所示，用两条成120的等长的绳子悬挂一的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是，则每根绳子的拉力是。12010NlPQ瀑布瀑布lQ，60m(2)如图，今有一艘小船位
11、于如图，今有一艘小船位于d=60m宽的河边宽的河边P处，从这里起，在下游处，从这里起，在下游 =80m处河流有一处瀑处河流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为岸平行），水速大小为5m/s，为了使小船能安，为了使小船能安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？时，划速方向如何？P瀑布瀑布lV船船V水水V合合的方向的方向PQ从图上看，哪个速度（向量的模）最小？从图上看，哪个速度（向量的模）最小？分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速分析：用向量来分别表示河流的水流速
12、度、船速和它们的合速度为和它们的合速度为 、和和 ，由题意，由题意，船的实际速度为向量船的实际速度为向量其方向为临界方向其方向为临界方向 ，船只要朝着这个方向行，船只要朝着这个方向行驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：PQ V船船V水水V合合=+V船船V水水V合合解：由题意知：解：由题意知：其方向为临界方向其方向为临界方向 ，设，设 和和 夹角为夹角为，则最小划速为：，则最小划速为：sin=所以：最小的船速应为：所以：最小的船速应为：V船船V水水V合合=+PQV水水V合合 v船船=v水水sin v船船22ld d5380606022=5 sin=5 =3（m/s）53提问提问:表示划船速度的向量怎样画表示划船速度的向量怎样画?Q
