1、第十八章 平行四边形情境引入学习目标1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.（重点、难点）3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.（重点）活动:观察下面的图形,它们都含有平行四边形,请把它们全部找出来.问题：上面的平行四边形有什么共同的特征？导入新课导入新课图片引入讲授新课讲授新课矩形的性质一活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形思考：矩形与平行四边形有什么关系呢？活动探究：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1
2、）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.（2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时,发现的结论是否仍然成立？（3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？ABCDOABADACBDBADADCAODAOB橡皮擦课本桌子物体测量（实物）（形象图）矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形.归纳矩形集合平行四边形集合填一填 根据上面探究出来结论填在下面横线上.角：.对角线：.ABCD四个角为90相等O证明：（1）四边形ABCD是矩形.ABC=CDA,BCD
3、=DAB(矩形的对角相等)ABDC(矩形的对边平行).ABC+BCD=180.又ABC=90,BCD=90.证明性质:已知：如图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相较于点O.求证：（1）ABC=BCD=CDA=DAB=90;（2）AC=DB.ABCDOABC=BCD=CDA=DAB=90.(2)四边形ABCD是矩形,AB=DC(矩形的对边相等).在ABC和DCB中,AB=DC,ABC=DCB,BC=CB,ABCDCB.AC=DB.1.矩形的四个内角都是直角.2.矩形的对角线相等.性质ABCDO做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.（1）矩形是不是中心对称
4、图形?如果是,那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?矩形的性质（除中心对称外）对称性：.对称轴：.轴对称图形2条例2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DFAE,垂足为F.求证：DF=DC.ABCDEF证明：连接DE.AD=AE,AED=ADE.四边形ABCD是矩形,ADBC,C=90.ADE=DEC,DEC=AED.又DFAE,DFE=C=90.又DE=DE,DFEDCE,DF=DC.直角三角形斜边上中线二A B C D O 活动：如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？B C O A RtABC中，BO是一条怎样的线段
5、？它的长度与斜边AC有什么关系？1212BO=BD=AC猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.试给出数学证明.OCBAD证明:延长BO至D,使OD=BO,连结AD、DC.AO=OC,BO=OD 四边形ABCD是平行四边形.ABC=90平行四边形ABCD是矩形AC=BD已知：在RtABC中，ABC=90，BO是AC上的中线.求证:BO=AC?12BO=BD=AC1212 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质性质例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,AOD=120,AB=4,求矩形对角线的长.解：四边形ABCD是矩形.AC=BD(矩形的对角线相等).OA=OC=AC,O
6、B=OD=BD,(矩形对角线相互平分)OA=OD.ABCDO典例精析ABCDOAOD=120,ODA=OAD=(180-120)=30.又DAB=90,（矩形的四个角都是直角）BD=2AB=2 4=8.提示：AOD=120 AOB=60 OA=OB=AB AC=2OA=24=8.你还有其他解法吗？练一练：根据右图填空已知ABC中,ABC=90,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=_cm;(2)若C=30,AB=5cm,则AC=_cm,BD=_cm.ABCD6105当堂练习当堂练习1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ()A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对
7、角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ()A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40,则两条对角线相交的锐角是()A.20 B.40 C.80 D.10ACC4.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BEAC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE,（2）若DBC=30,BO=4,求四边形ABED的面积.ABCDOE（1）证明：四边形ABCD是矩形.AC=BD,ABCD.又BEAC,四边形ABEC是平行四边形,AC=BE,BD=BE.(2)解：在矩形ABCD中,BO=4,BD=2BO=24=8
8、.DBC=30,CD=BD=8=4,AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在RtBCD中,BC=四边形ABED的面积=(4+8)=.ABCDOE课堂小结课堂小结矩形的性质具有平行四边行的一切性质四个内角都是直角，两条对角线相等轴对称图形有两条对称轴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半第十八章 平行四边形18.2.1 矩形第2课时 矩形的判定情境引入学习目标1理解并掌握矩形的判定定理（重点）2能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)导入新课导入新课问题引入 假如你是做窗框的师傅，你有什么方法检验你做的这个窗框是矩形？（直角尺等）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
9、你还有其它的方法吗？讲授新课讲授新课矩形的判定定理1一活动1:利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时,注意观察两条对角线的长度.问题1:我们会看到对角线会随着变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？猜想：当两条对角线长度相等时,平行四边形是矩形.已知：如图,在ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：ABCD是矩形.证明：AB=DC,BC=CB,AC=DB,ABCDCB,ABC=DCB.ABCD,ABC+DCB=180,ABC=90,ABCD是矩形（矩形的定义）.ABCD 对角线相等的平行四边形是矩形.定理 例1 如图，在 ABCD中，对角线
10、AC，BD相交于点O，且OA=OD，OAD=50求OAB的度数 ABCDO 解：四边形ABCD是平行四边形，典例精析OA=OC=AC，12OB=OD=BD.12又OA=OD，AC=BD，四边形ABCD是矩形，BAD=90.又OAD=50，OAB=40.例2 已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.BCDEFGHOABCDEFGHOA证明：四边形ABCD是矩形，AC=BD（矩形的对角线相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），AE=BF=CG=DH，OE=OF=O
11、G=OH，四边形EFGH是平行四边形，EO+OG=FO+OH，即EG=FH，四边形EFGH是矩形.若变为：E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，你会吗？矩形的判定定理2二活动2:李芳同学通过画“边直角、边直角、边直角、边”这样四步画出一个四边形.问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形.你认为她的判断正确吗？如果正确,你能证明吗？已知：如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.求证：四边形ABCD是矩形.证明:A=B=C=90,A+B=180,B+C=180.ADBC,ABCD.四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD是矩形.ABCD 有三个角是直角的四边形是矩形.定理例3
12、 已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形证明：在 ABCD中，ADBCDAB+ABC=180.AE与BG分别为DAB、ABC的角平分线ABDCHEFG四边形EFGH是矩形同理可证AED=EHG=90AFB=90，GFE=90 BAE+ABF=DAB+ABC=9001212当堂练习当堂练习1.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形
13、是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；2.如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是EAC、MCA、ACN、CAF的角平分线,则四边形ABCD是（）A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定DEFMNQPABCC3.如图 ABCD中,1=2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？ABCDO12解：四边形ABCD是矩形.理由如下：四边形ABCD是平行四边形 AO=CO,DO=BO.又 1=2AO=BOAC=BD四边形ABCD是矩形.4.ABC中，点O是AC边上一动点，过O点作直线MN/BC，设MN交BCA的平分
14、线于点E，交BCA的外角平分线于点F，（1）试说明EO=OF.（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的理由.MNBCDEOFA解：（1）MNBC，OEC=BCE，OFC=GCF，又CE平分BCO，CF平分GCO，OCE=BCE，OCF=GCF，OCE=OEC，OCF=OFC，EO=CO，FO=CO，EO=FO；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形理由如下：当点O运动到AC的中点时，AO=CO，又EO=FO，四边形AECF是平行四边形，FO=CO，AO=CO=EO=FO，AO+CO=EO+FO，即AC=EF，四边形AECF是矩形.课堂小结课堂小结有一个角是直角的平行四边形是矩形.定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.运用定理进行计算和证明.矩形的判定定义判定定理八年级数学下册（RJ）
