1、1 第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 原函数与不定积分原函数与不定积分 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表二、基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 四、小结四、小结 思考题思考题2 通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数yf(x)出发，去求它的导数f(x);那么，我们能不能从一个函数的导数f(x)出发，反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢?微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算一、原函数与不定积分的概念3例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数.)0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间),
2、0(内的原函数内的原函数.如果在区间如果在区间I内，内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数.4问题问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.定理定理1.,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)(存在原函数
3、.5问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （为任意常数）为任意常数）C(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？定理定理2.若若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF)(都都是是)(xf的的原原函函数数.证证:的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf6证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()(xfxfCxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C 若若 和和 都是都是 的原函的原函 数，数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(定理定理3.（为任意常数）为任意
4、常数）C 这说明函数这说明函数f(x)如果有一个原函数如果有一个原函数F(x)，那么它，那么它就有无穷多个原函数，它们都可以表示为就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)C的的形式。形式。7不定积分的定义：不定积分的定义：)(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分不定积分,d)(xxf其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)(被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;若,)()(xfxF则CxFxxf)(d)(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢!例如,xexdCexxxdsinCx cos记作8例例1 1 求求.5dxx 解解,65
5、6xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx9例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1,2），且其上任一点处的切线），且其上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2)(xxf 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数.,2Cx ,C)(2 xxf由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）,1C 所求曲线方程为所求曲线方程为.12 xy xxd210 设设F(x)是函数是函数f(x)的一个原函数，则
6、曲线的一个原函数，则曲线yF(x)称为称为f(x)的一条积分曲线，曲线的一条积分曲线，曲线yF(x)C表示把表示把曲线曲线yF(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分的几何意义是指由积分的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的的全体积分曲线组成的积分曲线族。积分曲线族。y=F(x)y=F(x)+Cx斜率斜率f(x)不定积分的几何意义11实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根
7、据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分表12基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx xdx)3(;|lnCx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx 13 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2cos)8(xdx2sec;tanCx xdx2sin)9(xdx2csc;cotCx 14例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dx
8、xx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxdxx 11 15 dxxgxf)()()1(;)()(dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质 dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是是常常数数，)0 k性质性质116性质性质2 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运
9、算是的的.或或或或()(),F xf x令17例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 例例6 6 dxx2cos11 dxx2cos21 dxx2cos121.tan21Cx xdx2sec2118例例7 7 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112xarctanCx ln19说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，
10、才能使用基本积分表.例例8.求求.dtan2xx解解:原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例9 求CeCeedxedxexxxxxx3ln13)3ln()3()3(3:解3xxe dx202101xdx例求Cxxxdxxdxdxxdxxxdxx23222312)12(1:解例例11.求.d)5(2xexx解解:原式=xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C21基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分
11、的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、小结22一、一、填空题：填空题：1 1、一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意两个的差是一个两个的差是一个_；2 2、)(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分；3 3、把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xF的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、由由)()(xfxF 可 知，在 积 分 曲 线 族可 知，在 积 分 曲 线 族CxFy )()(是任意
12、常数是任意常数C上横坐标相同的点上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的；5 5、若若)(xf在某区间上在某区间上_，则在该区间上，则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在；练习题练习题23作业作业24一、一、1 1、无穷多、无穷多,常数；常数；2 2、全体原函数；、全体原函数；3 3、积分曲线、积分曲线,积分曲线族；积分曲线族；4 4、平行；、平行；5 5、连续；、连续；6 6、Cx 2552；7 7、Cx 2332；8 8、Cxxx 223323；9 9、Cxxxx 2325332523、1010、Cxxx 252352342.练习题答案练习题答案
