1、反函数反函数 如果在某个变化过程中有两个变量如果在某个变化过程中有两个变量X X和和Y,Y,并且并且对于对于X X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则应法则,Y,Y都有唯一确定的值和它对应都有唯一确定的值和它对应,那么那么Y Y就是就是X X的的函数函数，X X就叫做就叫做自变量自变量，X X的取值范围称为函数的的取值范围称为函数的定义定义域域，和，和X X的值对应的的值对应的Y Y的值叫做的值叫做函数值函数值，函数值的集合，函数值的集合叫做函数的叫做函数的值域值域。函数的定义函数的定义记为记为：y=f(x)（1）函数y=2x的定义域是_,值域
2、是_。如果由y=2x解出x=_,这样对于y在R上任一个值，通过式子x=y21，x在R上有_的值和它对应，故x是_的函数。RRy21唯一确定y这个新函数的自变量是_，对应的函数值是_。xy乘以2RR12:x24:y原函数:y=2x24:y12:xRR除以2新函数：yx21完成下列填空完成下列填空：如果由（2）函数1xy的定义域是_，值域是_。1xy解出x=_,则对于y在的任一个值，通过式子x=_,x在-1,+)上有_的值和它对应，故x是_的函数。0，+)上-1,+)0,+)12y12y唯一确定y原函数：1xy表达式：定义域：值域：-1,)0,+)新函数：12 yx-1,+)0,+)反函数反函数,
3、记为：反函数的一般定义参见课本P.60第二段。.1)(21yygx同样，在(2)中，也把新函数12 yx称为原函数,1)(xxgy的反函数反函数，记为：在(1)中，我们称新函数yx21为原函数y=f(x)=2x的.21)(1yyfx改写为：改写为：).(21)(1Rxxxfy改写为：改写为：).0(1)(21xxxgy反函数与原函数的关系：反函数与原函数的关系：原函数原函数表达式表达式：定义域定义域：值域：值域：y=f(x)AC反函数反函数y=f 1(x)CA例例.求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：)1,(132)4();0(1)3();(1)2();(13)1(3xRxxxyxxyRx
4、xyRxxy且解：解：（1）,3113yxxy解得：由).(31,Rxxyyx得反函数为：互换经(2),1133yxxy解得：由).(1,3Rxxyyx得反函数为：互换(3),)1(12yxxy解得：由2)1(,xyyx得反函数为：互换).1(x(4),23132yyxxxy解得：由23,xxyyx得反函数为：互换).2,(xRx且2.求反函数的步骤求反函数的步骤概念表明也就是说也就是说,反函数定义是一种生成性定反函数定义是一种生成性定义，体现了反函数的获得的过程义，体现了反函数的获得的过程y=f(x)(xA)x=)(y(yC)反解用用 y 把把 x 表示出来表示出来如果如果那么那么判断x=(
5、yC)(1yf对调字母对调字母 x，y 对调y=(xC)(1xf知识应用与解题研究反函数的练习：反函数的练习：21211.()1,0 1,(),.12()(),2 (2).fxxxfxfxxx xf（）已 知：且，则 其 反 函 数其 定 义 域 为（）若则1)x0(x-12 1,02-例例2：求函数：求函数211xy （1 x 0）的反函数的反函数.1 x 021x 211xy 22yyx211xy 22xxy解：解：0 1 0 y 1解得(1 x 0)由(1 x 0)的反函数的反函数是：(0 x 1)0 x2 101 x2 1.1)x (0 xxxxf)01(1)(1221(01)3.(1
6、0)xxyxx 例 求函数的反函数.5、是否任何一个函数都有反函数？、是否任何一个函数都有反函数？2yx,xy 2yx（1）函数 的定义域是_，值域是_。如果由 解出x=_,对于y在0,+)上任一个值，通过式子 x在R上有_值和它对应，故x_y的函数。这表明函数2yx没有反函。并非所有的函数都有反函数！并非所有的函数都有反函数！问：怎样的函数才具有反函数呢？连续的单调函数一定有反函数例例1.求函数求函数y=3x-2的反函数的反函数,并画出原函数和反函数的图象并画出原函数和反函数的图象.解解 y=3x-2 函数函数y=3x-2(xR）的反函数为的反函数为 y=32x x=32y1-2-11-1-
7、2xyy=3x-232xyxy xRR二、新授课二、新授课（一）例题讲解（一）例题讲解 已知函数的图像利用对称性可以已知函数的图像利用对称性可以画出它的反函数的图像。画出它的反函数的图像。应用思路：应用思路：原函数和反函数的关系原函数和反函数的关系 原函数和其反函数的图象关原函数和其反函数的图象关于直线于直线y=xy=x对称，对称，若两个函数的图象关于直线若两个函数的图象关于直线y=xy=x对称，则它们互为反函数对称，则它们互为反函数.2A(,0)31-2-11-1-2xyy=3x-232xyxy B(0,2)2(0,)A3B (2,0)原函数过原函数过M(a,b),则则 y=f-1(x)过过
8、M(b,a).总结：总结：M(a,b),与与M(b,a)两点关于直线两点关于直线y=x对称对称.注意：注意：例例2.求函数求函数y=x3(xR)的反函数的反函数,并画并画出原来的函数和它的反函数的图象出原来的函数和它的反函数的图象.解：解：33yxxy )(3Rxxy 3xy 3xy xy xy11-13.()()(-1,3).,.axbf xxafxa b例 已知函数的图像与其反函数的图像都经过点 求实数的值a0b-32(1,)1xyxx 函数的图象与其反函数的交点坐标为-1()(3)0,(1)()(2,0)()(0,2)()(3,-1)()(-1,3)yf xffxABCD已知函数存在反函
9、数且则函数的图象必经过点 （二）反函数中应注意的几个问题（二）反函数中应注意的几个问题 y=f(x)y=f(x)与与x=fx=f-1-1(y)(y)是定义上的反函数，是定义上的反函数，它们的图像相同。它们的图像相同。y=f(x)y=f(x)与与y=fy=f-1-1(x)(x)是应用上的反函数，是应用上的反函数，它们的图像关于直线它们的图像关于直线y=xy=x对称。对称。辨清辨清y=f(x)y=f(x)、y=fy=f-1-1(x)(x)、x=f(y)x=f(y)、x=fx=f-1-1(y)(y)间的关系间的关系两图像关于直线两图像关于直线y=xy=x对称，不一定是互为反函数的图像。对称，不一定是
10、互为反函数的图像。互为反函数在各自的定义域内单调性一致。互为反函数在各自的定义域内单调性一致。y=f(x+1)y=f(x+1)的反函数不是的反函数不是y=fy=f-1-1(x+1),(x+1),而是而是y=fy=f-1-1(x)-1(x)-1 y=f(x)y=f(x)存在反函数，则存在反函数，则f f-1-1f(x)=x,fff(x)=x,ff-1-1(x)=x(x)=x11()(1,2),(),(4)0.(4)f xfxff设函数的图象关于点对称且存在反函数则1-11.()(-)1 .axf xxaxayxa若函数的图像关于直线对称，则-1232.(),()-1(1).(3).xyf xyg
11、 xxyfxyxg设的图像与的图像关于直线对称则-1(),()(1)(2),(15)2000,(16)()1999()2000()2001()2002Rf x g xf xgxyxgfABCD4.定义在 上的函数都有反函数且和的图像关于直线对称 若则的值为 21-1-1123.()3-,()3-()(),.xf xxxfxxf xfxxx已知 是方程的根是方程的根，和互为反函数 则为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题,我们可以分为三步进行研究.(1),1yx 2x首先选取如下函数:y=2x+1,y=x+1求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标;(2)观察分析上述
12、结果得到研究结论;(3)对得到的结论进行证明.证明:设点(a,b)是f(x)的图象与其反函数的任一交点,由于原函数与反函数图象关于直线y=x对称,则点(b,a)也是f(x)的图象与其反函数图象的交点,且有b=f(a),a=f(b)若a=b时,交点显然在直线y=x上.若ab且f(x)是增函数时,有f(b)f(a),从而有ba,矛盾;若ba且f(x)是增函数时,有f(a)f(b),从而有ab矛盾.故有a=b.若ab且f(x)是减函数时,有f(b)f(a),从而有ab,成立，此时交点不在直线y=x上;同理ba且f(x)是减函数时,有f(a)f(b),从而有ab,成立，此时交点不在直线y=x上1、如果两个函数的图象有交点，则交点或者在直线y=x上或者关于直线y=x对称；2、如果原函数是定义域内的单调递增函数，它的图象如果与其反函数的图象相交，那么交点一定在直线y=x上;3、如果函数f(x)是减函数,并且f(x)的图象与其反函数的图象有交点,则交点不一定在直线y=x上.
