1、1.2.2 组合第1课时 组合与组合数公式 某国际会议中心有某国际会议中心有A A，B B，C C，D D和和E E，共，共5 5种不同功种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小，共特小，共4 4种型号，总共种型号，总共2020个会议室个会议室现在有一个国际学术会议需要选择现在有一个国际学术会议需要选择3 3种不同功能的种不同功能的6 6个会议室，并且每种个会议室，并且每种功能的会议室选功能的会议室选2 2个型号个型号试问：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？试问：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？通过本节课的学习我
2、们就能顺利地解决上述问题了！通过本节课的学习我们就能顺利地解决上述问题了！1.1.理解组合与组合数的概念理解组合与组合数的概念（重点）（重点）2.2.会推导组合数公式，并会应用公式求值会推导组合数公式，并会应用公式求值3.3.了解组合数的两个性质，并会求值、化简了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明和证明（难点）（难点）问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某天名去参加某天的一项活动，其中的一项活动，其中1 1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1 1名同学名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？参加下午的活动，有多少种不同的选法？问
3、题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某天名去参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？的一项活动，有多少种不同的选法？2 23 3A=6A=6答案：答案：3 3种：种：甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 探究点探究点1 1 组合组合从已知的从已知的3 3个个不同元素中不同元素中每次取出每次取出2 2个个元素元素,并成一并成一组组.问题二问题二从已知的从已知的3 3 个个不同元素中每不同元素中每次取出次取出2 2个元个元素素,按照一定按照一定的顺序排成一的顺序排成一列列.问题一问题一排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序 一般地，从一般地，
4、从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m（mnmn）个）个元素合成一组，叫做从元素合成一组，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元个元素的一个组合素的一个组合 排列与组合的排列与组合的概念有什么共同概念有什么共同点与不同点？点与不同点？组合定义组合定义:组合定义组合定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m（mnmn）个元素合成一组，叫做从个元素合成一组，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元个元素的一个组合素的一个组合排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素，按照一
5、定的顺序排成一列，叫做从个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n n 个不个不同元素中取出同元素中取出 m m 个元素的一个排列个元素的一个排列.共同点共同点:都要都要“从从n n个不同元素中任取个不同元素中任取m m个元素个元素”不同点不同点:排列与元素的顺序有关，排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关而组合则与元素的顺序无关.组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.思考一思考一:abab与与baba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合?为什么为什么?思考二思考二:两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点?两个相
6、同的组合两个相同的组合呢呢?相同排列：相同排列：元素相同；元素相同；元素排列顺序相同元素排列顺序相同.相同组合：相同组合：元素相同元素相同 构造排列分成两步完成：先取后构造排列分成两步完成：先取后排；而构造组合就是其中一个步骤排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三思考三:组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗?在知道了组合的概念之在知道了组合的概念之后，如何定义组合数的后，如何定义组合数的概念呢？概念呢？是相同组合，因为是相同组合，因为abab与与baba元素相同，但顺序不同元素相同，但顺序不同判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)(1)设集合设集合A=A=
7、a a,b b,c c,d d,e e，则集合，则集合A A的含有的含有3 3个元素个元素的子集有多少个的子集有多少个?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票备多少种车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组组,共有多少种分法共有多少种分法?组合问题组合问题组合问题组合问题【即时训练即时训练】(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手
8、相互问候,共需握手多少次共需握手多少次?组合问题组合问题(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个,并确定这并确定这2 2个风景点的游个风景点的游览顺序览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题1.1.从从 a,b,ca,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是有组合分别是:ab,ac,bc 2.2.已知已知4 4个元素个元素a,b,c,d,a,b,c,d,写出每次取出两个元写出每次取出两个元素的所有组合素的所有组合.ab c d b c d cd ab,ac,ad,bc,bd,cd(3 3个个)(6 6个个)探究
9、点探究点2 2 组合数组合数从从 a,b,ca,b,c三个不同的元素中取出两个元素的三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是所有组合个数是:mnC已知已知4 4个元素个元素a,b,c,d,a,b,c,d,则每次取出两个元素的则每次取出两个元素的所有组合个数是：所有组合个数是：组合数组合数:注意：注意：是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnC233.C246.C从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m（mnmn）个元素的所有不同）个元素的所有不同组合的个数，叫做从组合的个数，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的个元素的组合数，
10、用符号组合数，用符号 表示表示.排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系根据分步乘法计数原理，得到：根据分步乘法计数原理，得到：因此：因此：一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元个元素的排列数，可以分为以下素的排列数，可以分为以下2 2步：步：nm 第第1 1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的组合数个元素的组合数 mnCnm 第第2 2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 mmAmmmmnnmACA121.!mmnnmmn nnnmACAm 这里这里 ，且，且 ，这
11、个公式叫，这个公式叫做组合数公式做组合数公式 *,m nNmn组合数公式组合数公式组合数公式组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm 从从 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的排列数个元素的排列数 mmmnmnCAA!()!mnnCm nm1.我们规定：0nC【解析解析】19202.C=._32551.CC=；_19120202.CC20.32555 4 3 5 4+=203 2 11.C1C.2 20202020365 4 3 5 4 3=+3 2 1 3 2 12 3 5 4=3 2 16 5 4=C3 2=.1 【即时训练即时训练】例例1 1 计
12、算：计算：47C计算：计算：710C3232nnnn(3)(3)已已知知=,=,求求 n n CA CA为3232nnnnn n-1n-2n n-1n-2（3）3）因因C=A,所C=A,所以以33221 1=n n-1,所=n n-1,所以以n=8.n=8.4 47 77766554 4C=35.C=35.4433221 1解解：（1）1）7 71010101099887766554 4（2）2）C=120.C=120.7766554433221 1计算：计算：969799991.CC.96973299999999CCCC971617003 2 12 1【解析】1.99 9899 98+.【变
13、式练习变式练习】31002.C.31002.C1617003 2 1 100 99 98.3239999100CCCCCC.m+1m m+1 nnn+1=所以：；推广：例例2 2 甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，(1)(1)列出所有各场比赛的双方列出所有各场比赛的双方.(2)(2)列出所有冠亚军的可能情况列出所有冠亚军的可能情况.（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙.(1)(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、
14、乙丁、丙丁.解：解：从从1010名学生中选出名学生中选出3 3名学生参加数学竞赛的不同选法种名学生参加数学竞赛的不同选法种数为数为_._.【解析解析】从从1010名学生中选出名学生中选出3 3名的不同选法有名的不同选法有31010 9 8=1203C2.1 （种）【变式练习变式练习】1201.1.给出下面几个问题，其中是组合问题的有给出下面几个问题，其中是组合问题的有()由由1,2,3,41,2,3,4构成的含有两个元素的集合；构成的含有两个元素的集合；五个队进行单循环比赛的分组情况；五个队进行单循环比赛的分组情况；由由1,2,31,2,3组成两位数的不同方法数；组成两位数的不同方法数；由由1
15、,2,31,2,3组成无重复数字的两位数组成无重复数字的两位数A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】与顺序无关，是组合问题与顺序无关，是组合问题与顺序有关，不是组合问题与顺序有关，不是组合问题C C2.2.已知已知 =10,=10,则则n n的值为的值为()A.10 B.5 C.3 D.2A.10 B.5 C.3 D.2【解析解析】=10,=10,所以所以n=5n=5或或-4(-4(舍舍).).2nC2nn n 1C2B B3.3.如果如果 2828，则，则n n的值为的值为()A.9 A.9 B.8 C.7 B.8 C.7 D.6D.6B B2nC【解析解析】因为因为 所以解得所以解得
16、n n8 8或或n=-7(n=-7(舍舍).).2(1),2nn nC(1)28,2n n4 4.(20162016江苏高考江苏高考)求求467743 3CCCC的值的值.4676547654=7-43214320.=7413 3CCCC【解析解析】5.5.从从6 6位同学中选出位同学中选出4 4位参加一个座谈会，要求位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为种数为_解：解：9 94264CC9.1.1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.（2 2）同是从）同是从n n个不同元素中取个不同元素中取m m个元素，但是组合个元素，但是组合一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序.（1 1）有序与无序的区别）有序与无序的区别.2.2.理解组合数的定义与公式理解组合数的定义与公式
