1、平平 面面 学习目标：1.理解平面 是“平”的、无限延展等特性；2.理解平面的三个基本公理，并能用数学的三种语言表达。3.体会公理化的思想，了解公理化的发展与意义，体验数学是一种文化活动，数学是不断发展与完善的。生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象你还能从生活中举出类似平面形的物体吗？（一）创设情境，直观感知 几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的【问题1】说说你对平面的印象，在你脑海里，平面有哪些特性？公元前5世纪，古希腊哲学家巴门尼德对平面的刻画：如果一个二维对象是直的表面，那么它就是一个平面，直线可在任意方向与之相合。（一）创设情境，直观感
2、知 公元前3世纪，欧几里得:平面是它上面的线一样地平放着的面。公元1世纪，海伦给出了平面特征：平面是具有以下性质的面，它向四周无限延伸，平面是直线与之完全相合的表面。平面的特性：平面是“平”的；平面是无限延展的，它没有大小之分，无厚薄之别。【问题2】请同学们比较刚才大家对平面的认识与三位数学家对平面的认识，你能提炼平面的特性吗？（一）创设情境，直观感知判断下列各题的说法是否正确与否，在正确的说法的题号后打，否则打:1、一个平面长 4 米，宽 2 米；()2、平面有边界；()3、一个平面的面积是 25 cm 2；()4、菱形的面积是 4 cm 2；()5、一个平面可以把空间分成两部分.()练习练
3、习【问题3】“平面”是无限延展的，它是无法画出来的，请类比直线的画法，思考如何直观地画出平面呢？（二）表示平面，深化理解常把希腊字母、等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面、平面等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称平面平面记作记作：平面平面ABCD平面平面AC平面平面BD【问题4】用有限大的平行四边形表示无限大的平面，这体现了什么数学思想？有限与无限的数学思想平面平面（二）表示平面，深化理解画出交线；被遮挡部分画虚线.AB点点A在平面在平面 内，内，记作记作 AB记作记作 点点B在平面在平面 外，外，读作读作读作读作 平面内有无数个点
4、，平面、直线都可以看成点的集合点在平面内和点在平面外都可以借助于元素与集合的属于、不属于关系来表示AlABlAl点点A在在直线直线l上上点A不不在直线l上AllAlAl直线直线l在平面在平面 内内平面平面 经过直线经过直线ll直线直线 l 不在平面不在平面 内内（三）理解公理、丰富内涵 17世纪德国数学家莱布尼兹认为欧凡里得关于平面的论断存在逻辑上的不完美，也批评海伦的定义包含过多的需要描述平面的“重复判断”。于是，他给出了一个更简单的定义:“平面是一组这样的点，它们到两定点的距离相等”。显然，莱布尼兹的定义实质上给出了一个平面的构造，这是数学家首次给出平面的构造，并用此来定义平面。18世纪，
5、高斯对平面的定义：平面就是包含了过一个已知点与一条已知直线垂直的所有直线的表面。【活动与体验】请同学们拿一支笔竖直放置，在这支笔上选一个点，将另一支笔经过该点和竖直的笔保持垂直关系，旋转一周，感受运动的笔的轨迹，体验“平面”的形成过程，体验平面的两个特点平面的“平”与平面的无限延展性。（三）理解公理、丰富内涵公理1 17世纪德国数学家莱布尼兹认为欧凡里得关于平面的论断存在逻辑上的不完美，也批评海伦的定义包含过多的需要描述平面的“重复判断”。于是，他给出了一个更简单的定义:“平面是一组这样的点，它们到两定点的距离相等”。显然，莱布尼兹的定义实质上给出了一个平面的构造，这是数学家首次给出平面的构造
6、，并用此来定义平面。18世纪，高斯对平面的定义：平面就是包含了过一个已知点与一条已知直线垂直的所有直线的表面。【活动与体验】请同学们拿一支笔竖直放置，在这支笔上选一个点，将另一支笔经过该点和竖直的笔保持垂直关系，旋转一周，感受运动的笔的轨迹，体验“平面”的形成过程，体验平面的两个特点平面的“平”与平面的无限延展性。（三）理解公理、丰富内涵公理1 【问题5】请同学们在直尺上标记两个点，将这两个点放在桌面上，观察直尺上的其他点与平面的位置关系，你能得出什么结论？公元前3世纪，欧几里得在几何原本第11卷给出了三个命题，其中命题1是：“一条直线不可能一部分在平面内，而另一部分在平面外”。公元1世纪，海
7、伦给出了平面的性质：如果一条直线经过平面上的两个点，那么这条直线的任意部位都和这个平面完全相合。18世纪，英国数学家辛松给出了平面的新定义:平面是具有下列性质的面，通过其上任意两点的直线完全包含在该面上。（三）理解公理、丰富内涵公理1 1884年，Newcomb在几何学基础中，不再定义平面转而直接给出以下公理:公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符符号号语语言言图图形形语语言言（三）理解公理、丰富内涵公理1 1884年，Newcomb在几何学基础中，不再定义平面转而直接给出以下公理:公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符符号号语语
8、言言图图形形语语言言（三）理解公理、丰富内涵公理1（三）理解公理、丰富内涵公理2 【问题6】（1）空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两点能否确定一个平面？经过三点、四点可以作多少个平面？（2）照相机，测量仪等器材的支架为何要做成三脚架？直到19世纪初，数学家皮埃尔才明确从数学的角度给出了确定平面的方法：给出不共线的三点A,B,C，由A与BC上各点，或B与CA上各点，或C与AB上各点所连接的直线全部填满的图形，称为平面ABC.（三）理解公理、丰富内涵公理21897年，Keigwin在几何基础中才将“不共线三点确定一个平面”作为公理：公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有
9、一个平面。由公理2，我们不难得到如下推理：推论1：过直线及直线外一点有且只有一个平面；推论2：过两条平行直线有且只有一个平面；推论3：过两条相交直线有且只有一个平面。A AB BC C 事实上，在平面概念形成过程中，Newcomb在几何学基础(1884)中，以公理的形式给出了推论1:只有一个平面可经过一条直线和直线外一点。同时他还证明了推论3。Halsted在几何基础（1885)中同样得到推论1。（三）理解公理、丰富内涵公理2【例与练3】（1）下列说法正确的是()A三点可以确定一个平面 B一条直线和一个点可以确定一个平面C四边形是平面图形 D两条相交直线可以确定一个平面（2）空间两两相交的三条
10、直线，可以确定的平面数是()A1 B2 C3 D1或3 （3）下列说法正确的是()任意三点确定一个平面；圆上的三点确定一个平面；任意四点确定一个平面；两条平行线确定一个平面。A B C D（三）理解公理、丰富内涵公理3实验操作：将三角板的一个角放置在桌面上，让同学们观察三角板所代表的平面与桌面所代表的平面有多少个公共点？将一张薄饼放在桌面上，用菜刀切薄饼，观察切口的形状，它是什么图形，你得到什么结论？1912年，Hart和Feldman在平面与立体几何中将“直线与平面最多交于一点”作为公理。1914年，Richardson在立体几何中将“若两平面有一个公共点，则它们有第二个公共点”作为公理。直
11、到1934年，Cowley在立体几何中将“两平面相交，交线为直线”作为公理。（三）理解公理、丰富内涵公理3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。,PPlPl，且若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.平面与平面相交于直线l，可记作l（三）理解公理、丰富内涵公理3【例与练【例与练4】（1）在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么()AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在直线AC上，也可能在直线BD上DM既不在直线AC上，也不在直线BD上（三）
12、理解公理、丰富内涵公理3（四）回顾历史，公理体系 平面概念自公元前5世纪古希腊哲学家巴门尼德首次刻画以来，到1934年希尔伯特的公理化定义，经历了三个阶段：第一个阶段是古希腊时期的朴素定义。前面已经介绍过的巴门尼德、欧几里得、海伦的定义，这种认识一直持续到16世纪末期。第二个阶段是17、18世纪的平面构造性定义。17世纪德国数学家莱布尼兹的质疑欧凡里得对平面的三个命题逻辑上的不完美，也批评海伦的定义包含过多的需要描述平面的“重复判断”。给出了平面的构造定义之后，很多数学家都投入到了平面的定义与构造这一活动中来！同时，很多数学家也尝试做用构造出的定义证明相关定理，但却发现，无论怎样构造和定义平面
13、，都不完美！（四）回顾历史，公理体系 第三个阶段是平面的公理化体系的构建。19世纪中后期，意大利数学家皮亚诺(Peano,18581932)创立数学学派，对算术和几何的公理化做出了巨大的贡献。其中的一名重要成员、意大利数学家皮埃里(M.Pieri,18601913)利用点、线段和运动对几何进行公理化。1884年，Newcomb在几何学基础中，不再定义平面转，而直接给出了三条公理，其中最核心的一条就是教材上的公理1。1897年，Keigwin在几何基础中将教材中的公理2作为公理。（四）回顾历史，公理体系 真正构建平面公理化体系的是19世纪末德国数学家希尔伯特，他在其几何基础（1899）中，系统论
14、述了他的公理化体系：把平面概念作为原始概念，象点和直线一样，不加定义。把“如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线在此平面内”（即教材上的公理1）和“不共线三点确定一个平面”（即教材上的公理2）作为公理，建立了公理化的欧氏几何，但希尔伯特的公理化体系并不完整，直到1924年Cowley的立体几何中将“两平面相交，交线为直线”（即教材上的公理3）作为公理，希尔伯特建立的公理化欧氏几何才算完全。（五）知识盘点，完善框架1.平面是从具体事物抽象出来的理想化概念，它是“平”的，无限延展的。2.平面的性质：公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论1：过直线及直线外一点有且只有一个平面；推论2：过两条平行直线有且只有一个平面；推论3：过两条相交直线有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。3.平面的表示：平行四边形、三角形、梯形、圆等，它体现了有限与无限的数学思想。（六）作业巩固，应用理解教材P43练习14，P51习题2.1A组第13，B组2、3.
