1、13.4 课题学习 最短路径问题 第十三章 轴对称导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 八年级数学上(RJ)教学课件学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.(难点)2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想(重点)导入新课导入新课复习引入1.如图,连接A、B两点的所有连线中,哪条最短?为什么?AB最短,因为两点之间,线段最短2.如图,点P是直线l外一点,点P与该直线l上各点连接的所有线段中,哪条最短?为什么?PlABCDPC最短,因为垂线段最短3.在我们前面的学习中,还有哪些涉及比较线段大小的基本事实?三角形三边关系:两边之和大于第三边;斜边大于直角边.4.如图,如何做点A关于
2、直线l的对称点?AlA 讲授新课讲授新课牧人饮马问题一 “两点的所有连线中,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题,本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.ABPlABCD 如图,牧马人从点A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?C抽象成ABl数学问题作图问题:在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A,点B的
3、距离的和最短?AlBC根据是“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求.连接AB,与直线l相交于一点C.问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又应该如何解决?想一想:对于问题2,如何将点B“移”到l 的另一侧B处,满足直线l 上的任意一点C,都保持CB 与CB的长度相等?ABl利用轴对称,作出点B关于直线l的对称点B.方法揭晓作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B;(2)连接AB,与直线l 相交于点C 则点C 即为所求 ABlB C几何画板:验证路径最短.gsp问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?证明:如图,在直线l 上任取一点C(与点C 不重合),连接AC,BC,BC由
4、轴对称的性质知,BC=BC,BC=BC AC+BC=AC+BC=AB,AC+BC=AC+BC在ABC中,ABAC+BC,AC+BCAC+BC即AC+BC 最短ABlB CC 练一练:如图,直线l是一条河,P、Q是是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的是()PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD例1 如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点,AD=5,点F是AD边上的动点,则BF+EF的最小值为()A7.5 B5 C4 D不能确定 典例精析解析:ABC为等边三角形,点D是BC边的中点,
5、即点B与点C关于直线AD对称.点F在AD上,故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值,故连接CE即可,线段CE的长即为BF+EF的最小值.B方法总结:此类求线段和的最小值问题,找准对称点是关键,而后将求线段长的和转化为求某一线段的长,而再根据已知条件求解.例2 如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上,当ABC的周长最小时点C的坐标是()A(0,3)B(0,2)C(0,1)D(0,0)解析:作B点关于y轴对称点B,连接AB,交y轴于点C,此时ABC的周长最小,然后依据点A与点B的坐标可得到B
6、E、AE的长,然后证明BCO为等腰直角三角形即可BCEA方法总结:求三角形周长的最小值,先确定动点所在的直线和固定点,而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点,而后将其与另一固定点连线,连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.如图,A和B B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)?BAABNM造桥选址问题二BA?NMNMNM折移 如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?
7、什么图形变换能帮助我们呢?思维火花各抒己见1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BABAAB1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了2.把B平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了BA3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM+MN+BN长度有没有改变呢?问题解决BAA1MN如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N,连接,连接AM,BN,AN.由平移性质可知,AMAN,AAMNMN,AMAN.AM+MN+BN转化为,而转化为.在ANB中,因为,因为A1N
8、1+BN1A1B.因此 AM+MN+BN.ABMNECD证明:由平移的性质,得 BNEM 且且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处,连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中,AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN,所以桥的位置建在MN处,A到B的路径最短.方法归纳解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题,从而作出最短路径的选
9、择.当堂练习当堂练习1.如图,直线m同侧有A、B两点,A、A关于直线m对称,A、B关于直线n对称,直线m与AB和n分别交于P、Q,下面的说法正确的是()AP是m上到A、B距离之和最短的 点,Q是m上到A、B距离相等的点 BQ是m上到A、B距离之和最短的 点,P是m上到A、B距离相等的点 CP、Q都是m上到A、B距离之和最 短的点 DP、Q都是m上到A、B距离相等 的点 A2.如图,AOB=30,AOB内有一定点P,且OP=10在OA上有一点Q,OB上有一点R若PQR周长最小,则最小周长是()A10 B15 C20 D30 A3.如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC和B
10、D,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米,则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离是 米.ACBD河10004.如图,边长为1的正方形组成的网格中,AOB的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(3,2),B(1,3)点P在x轴上,当PA+PB的值最小时,在图中画出点PxyOBABP 5.如图,荆州古城河在CC处直角转弯,河宽相同,从A处到B处,须经两座桥:DD,EE(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD E EB的路程最短?ADD CCEEB解:作AFCD,且AF=河宽,作BG CE,且BG=河宽,连接GF,与河岸相交于E,D.作DD,EE即为桥.理由:由作图法可知,AF/DD,AF=DD,则四边形AFDD为平行四边形,于是AD=FD,同理,BE=GE,由两点之间线段最短可知,GF最小.AD CCEEBFGD 课堂小结课堂小结原理线段公理和垂线段最短牧马人饮马 问 题解题方法造桥选址问题关键是将固定线段“桥”平移最短路径问题轴对称知识+线段公理解题方法