1、一般形式的柯西不等式1.1.三维形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式设设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,b,b1 1,b,b2 2,b,b3 3R,R,则则 .当且仅当当且仅当_时，等号成立时，等号成立.222222123123aaabbbb b1 1=b=b2 2=b=b3 3=0=0或存在一个数或存在一个数k k，使得，使得a a1 1=kb=kb1 1,a,a2 2=kb=kb2 2,a,a3 3=kb=kb3 32112233a ba ba b2.2.一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式设设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,an n,b,b1 1,b,b2 2
2、,b,b3 3,b,bn n是实数，则是实数，则当且仅当当且仅当_时，等号成立时，等号成立.22222212n12n(aaa)(bbb)_,21122nn(a ba ba b)b bi i=0(i=1,2,n)=0(i=1,2,n)或存在一个数或存在一个数k,k,使得使得a ai i=kb=kbi i(i(i=1,2,n)=1,2,n)1.1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成可以吗？可以吗？提示：提示：不可以不可以.因为若出现因为若出现b bi i=0(i=1,2,3)=0(i=1,2,3)的情况，则分式不成的情况，则分式不成立了，但是，可以利用
3、分式的形式来形象地记忆立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.312123aaabbb2.2.设设x,y,zRx,y,zR,且满足且满足x x2 2+y+y2 2+z+z2 2=5,=5,则则x+2y+3zx+2y+3z的最大值是的最大值是_._.【解析【解析】(x+2y+3z)(x+2y+3z)2 2(x(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)(1(12 2+2+22 2+3+32 2)=5)=514=70,14=70,答案：答案：max(x2y3z)70.703.3.已知实数已知实数a,b,c,d,ea,b,c,d,e满足满足a+b+c+d+ea+b+c+d+e=8,a=8,a2 2+
4、b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2+e+e2 2=16,=16,则则e e的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】4(a4(a2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2)=(1+1+1+1)(a)=(1+1+1+1)(a2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2)(a+b+c+d)(a+b+c+d)2 2,即即4(16-e4(16-e2 2)(8-e)(8-e)2 264-4e64-4e2 264-16e+e64-16e+e2 2,5e,5e2 2-16e0,-16e0,答案：答案：0,0,160e.5故1651.1.柯西不等式的一般形式的理解柯西不等式的一般形式的理解
5、一是抓住柯西不等式的一般形式的结构特点：左边是平方和的一是抓住柯西不等式的一般形式的结构特点：左边是平方和的积，右边是积的和的平方；二是与二维形式的柯西不等式类比积，右边是积的和的平方；二是与二维形式的柯西不等式类比记忆记忆.2.2.柯西不等式的两个变式柯西不等式的两个变式(1)(1)设设a ai iR,bR,bi i0(i=1,2,n),0(i=1,2,n),当且仅当当且仅当b bi i=a=ai i时时(1in)(1in)等号成立等号成立.(2)(2)设设a ai i,b,bi i同号且不为同号且不为0(i=1,2,n),0(i=1,2,n),则则当且仅当当且仅当bi=ai时，等号成立时，
6、等号成立.n22inii 1ni 1iii 1(a)a,bbn2inii 1ni 1iiii 1(a)a,ba b 三维柯西不等式的应用三维柯西不等式的应用使用柯西不等式需要掌握的方法与技巧使用柯西不等式需要掌握的方法与技巧应用柯西不等式常用的技巧有以下几种应用柯西不等式常用的技巧有以下几种(1)(1)构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数.(2)(2)构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次序序.(3)(3)构造符合柯西不等式的形式及条件构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构
7、可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的从而达到使用柯西不等式的目的.(4)(4)构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项.【典例训练【典例训练】1.1.设设x+y+zx+y+z=1=1，则函数，则函数=2x=2x2 2+3y+3y2 2+z+z2 2的最小值是的最小值是_._.2.2.若若x x1 1+x+x2 2+x+x3 3=1,y=1,y1 1+y+y2 2+y+y3 3=4(x=4(x1 1,x,x2 2,x,x3 3RR+,y,y1 1,y,y2 2,y,y3 3RR+),),则则 的最大值为的最大值为_._.112233x yx yx
8、y【解析【解析】1.1.解题流程：解题流程：答案：答案：611变形变形111xyz2x3y1 z23 求解求解判断判断结论结论112222211111(1)(2x3yz)2366112x,3y,z=,23x,y,z=,xyz1236326x,y,z,11111111等号成立的条件是：即代入条件得，此时222326x,y,z11111162x3yz11故当时函数的最小值是2.2.答案：答案：2 22112233123123112233(x yx yx y)(xxx)(yyy)1 44,x yx yx y2.【归纳【归纳】正确利用正确利用“1”.1”.提示：提示：数字数字“1”1”的正确利用非常重
9、要，为了利用柯西不等式，的正确利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往能起除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往能起到某些用字母所代表的数或式子所不能起到的作用，这就要求到某些用字母所代表的数或式子所不能起到的作用，这就要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为不因为“形式形式”与与“面貌面貌”的影响而不会用柯西不等式的影响而不会用柯西不等式.一般形式柯西不等式的应用一般形式柯西不等式的应用应用柯西不等式的注意事项应用柯西不等式的注意事项我们主要利用柯西不等式来证
10、明一些不等式或求值等问题，但我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点.我们我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题数或字母的顺序，以便能使其形式一致起
11、来，然后应用解题.【典例训练【典例训练】1.1.设设a a1 1,a,a2 2,a,an n为实数为实数,b,b1 1,b,b2 2,b,bn n为正数为正数,求证求证:2.2.已知已知a a1 1,a,a2 2,a,an n都是正实数，且都是正实数，且a a1 1+a+a2 2+a+an n=1,=1,求证：求证：222212n12n12n12naaaaaa.bbbbbb222212n 1n1223n 1nn1aaaa1.aaaaaaaa2【证明【证明】1.1.由柯西不等式得由柯西不等式得因为因为b b1 1,b,b2 2,b,bn n为正数为正数,于是于是b b1 1+b+b2 2+b+b
12、n n0,0,故故22212n12n12n212n12n12n212naaa()(bbb)bbbaaa(bbb)bbbaaa.222212n12n12n12naaaaaa.bbbbbb2.2.左边左边222212n 1n1223n 1nn11223n 1nn122212n 11223n 1n2nn1aaaaaaaaaaaa aaaa(aa)(aa)aaa()()()aaaaaaa1()2aa =右边右边,原不等式成立原不等式成立.2221223n 1n22221n1122322n 1nn 1nn112122312232n 1nn 1nn1n 1nn1212naaaa(aa)aaaa()()aaaaaa1()()2aaaaaa(aaaaaaaaaa1aaaa)2aaaa11(aaa)22
