1、九年级数学上册九年级数学上册22.1.4 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象的图象和性质和性质第一课时第二课时第一课时返回y=a(x-h)2+k(a0)a0a0开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增减性增减性极值极值向上向上向下向下(h,k)(h,k)x=hx=h当当xh时时，y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当xh时时，y随着随着x的增大的增大而减小而减小.x=h时时,y最小值最小值=kx=h时时,y最大值最大值=k抛物线抛物线y=a(x-h)2+k(a0)的图象可由的图象可由y=ax2的图象通过上下的图象通过上下和左右平移得到和左右平移得到.回顾旧知回顾旧知二次函数二
2、次函数y=a(x-h)2 2+k的性质的性质 我们我们已经知道二次函数已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质图象和性质?导入新知导入新知素养目标素养目标3.能能根据所给的自变量的取值范围画二次函根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象数的图象.1.会会用配方法或公式法将一般式用配方法或公式法将一般式yax2bxc化成顶点式化成顶点式y=a(x-h)2+k.2.能能熟练求出二次函数一般式熟练求出二次函数一般式yax2bxc的顶点坐标、对称轴的顶点坐标、对称轴.画出二次函数画出
3、二次函数y=ax2+bx+c的图象的图象 我们我们已经已经知道知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能的图象和性质，能否利用这些知识来讨论否利用这些知识来讨论 的图的图象和性质？象和性质？2162 12yxx【思考【思考1】怎样怎样将将 化成化成y=a(x-h)2+k的形式？的形式？216212yxx探究新知探究新知知识点 1216212yxx配方可得2221(126642)2xx21(1242)2xx2221(126)6422xx21(6)62x21(6)3.2x想一想：配方的方法及步骤是什么？探究新知探究新知怎样将怎样将 化成化成y=a(x-h)2+k的形式？的形式？216212yxx配
4、方配方216212xxy你知道是怎样配方的吗？你知道是怎样配方的吗？(1)“(1)“提提”：提出二次项系数；提出二次项系数；(2 2)“配配”：括号内配成完全平方；括号内配成完全平方；(3 3)“)“化化”：化成顶点式化成顶点式.【提示】【提示】配方后的表达式通常称配方后的表达式通常称为为配方式配方式或或顶点式顶点式.3)6(212xy探究新知探究新知【思考【思考2】你能你能说出说出 的对称轴及顶点坐标吗？的对称轴及顶点坐标吗？21(6)32yx答：答：对称轴是直线对称轴是直线x=6,顶点坐标是（顶点坐标是（6，3）.【思考【思考3】二次函数二次函数 可以看作是可以看作是由由 怎样怎样平移得到
5、的？平移得到的？21(6)32yx212yx答：答：平移方法平移方法1：先向上平移先向上平移3个单位，再向右平移个单位，再向右平移6个单位得到的；个单位得到的；平移方法平移方法2：先向右平移先向右平移6个单位，再向上平移个单位，再向上平移3个单位得到的个单位得到的.探究新知探究新知【思考【思考4】如何画如何画二次函数二次函数 的图象？的图象？216212yxx9876543x1.利用图形的对称性列表利用图形的对称性列表21(6)32yx7.553.533.557.5510 xy5102.然后描点画图，然后描点画图，得到得到图象图象如右图如右图.O方法一：描点法方法一：描点法探究新知探究新知方法
6、二：平移法方法二：平移法212yx268y4O-22x4-468216212y-x-x探究新知探究新知268y4O-22x4-468方法二：描点法方法二：描点法216212y-x-x先利用对称性列表先利用对称性列表:21632-x-（）216212y-x-x开口方向：开口方向：对称轴：对称轴：顶点：顶点：向上向上x=6(6,3)探究新知探究新知【思考【思考4】结合结合二次函数二次函数 的图象，说出其的图象，说出其性质性质.216212yxx510 xy510 x=6当当x6时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大.O探究新知探究新知开口方向：开口方向：对称轴：对称轴：顶点：顶点：向上向上x=6
7、(6,3)例例1 画出函数画出函数 的的图象，并说明这个函图象，并说明这个函数具有哪些性质数具有哪些性质.21522yxx x-2-101234y-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解解:函数函数 通过配方可通过配方可得得 ，先列表先列表：21522yxx 21(1)22yx 画二次函数画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的的图象并且说出它的性质性质素养考点素养考点 1探究新知探究新知2xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，然后描点、连线，得到图象如下图：得到图象如下图：由图象可知，这个函数具有如下性质：由图象可知，这个函数具有如下性质：开口方向：开口方向：向下向下
8、顶点坐标：顶点坐标：（1，-2）对称轴：对称轴：x=1最值：最值：x=1时，时，y最大值最大值=-2当当x1时，函数值时，函数值y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当x1时，函数值时，函数值y随随x的增大而减小；的增大而减小；当当x=1时，函数取得最大值，最大值时，函数取得最大值，最大值y=-2.探究新知探究新知 求求二次函数二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和图象的对称轴和顶点坐标顶点坐标.2287yxx22(44)87xx 22(4)7xx22(2)1.x因此，二次函数因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的图象的对称轴是直对称轴是直线线x=2，顶点坐标为，顶点坐标为(2,-1).
9、解：解：巩固练习巩固练习变式题变式题1 二次函数二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质的图象与性质 根据根据下列关系你能发现二次函数下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象的图象和性质吗？和性质吗？y=ax2+bx+c224()24bacba xaa 探究新知探究新知知识点 2y=ax2+bx+c224()24bacba xaa 二次函数二次函数的顶点式的顶点式224()24bacba xaay 。显显然然，二二次次函函数数的的顶顶点点坐坐标标为为对称轴为对称轴为 .二次函数的二次函数的一般表达式一般表达式因此，抛物线的对称轴是因此，抛物线的对称轴是 ，顶点是，顶点是 .2bxa
10、 2bxa 24,24bacbaa 24,24bacbaa 探究新知探究新知yOx2yxbxca2bxa （a0）yOx2yxbxca2bxa （a1可得可得2ab0，故故正确；正确；利用二次函数利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值的图象确定字母的值素养考点素养考点 3探究新知探究新知变式题变式题3 二次函数二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，下的图象如图所示，下列选项中正确的是（列选项中正确的是（）Aa0 Bb0 Cc0 D ac0巩固练习巩固练习解析解析 根据开口方向、对称轴、抛物线与根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定轴的交点，确定a、b、c的符号，的符号，
11、根据对称轴和图象确定根据对称轴和图象确定y0或或y0时时，x的范围，确定代数式的符号的范围，确定代数式的符号开口向下开口向下，a0，A错误；错误；对称轴在对称轴在y轴的右侧和轴的右侧和a0，可知可知b0，B正确正确；抛物线与抛物线与y轴交于正半轴轴交于正半轴，c0，C错误错误；因为因为a0，所以所以ac0，D错误错误B （2018中考中考）如图是二次函数）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，是常数，a0）图象的一部分，与）图象的一部分，与x轴的交点轴的交点A在点（在点（2，0）和（）和（3，0）之）之间，对称轴是间，对称轴是x=1对于下列说法：对于下列说法：ab0；2a+b=
12、0；3a+c0；a+bm（am+b）（）（m为实数）为实数）；当当1x3时时，y0，其中正确的是（），其中正确的是（）A B C D解析解析 由图象开口向下，可知由图象开口向下，可知a0，有对称轴在，有对称轴在y轴右侧，可知轴右侧，可知b0，即，即ab0,故正确，由对称轴故正确，由对称轴x=1得：得：=1，即，即2a+b=0，故正确，当故正确，当x=3时，时，y0，即，即9a+3b+c0，b=-2a，3a+c0,故不正确，当故不正确，当x=1时，函数有最大值时，函数有最大值a+b+c，当，当x=m时，时，y=am2+bm+c，即，即a+b+cam2+bm+c,也就是也就是a+bm(am+b),
13、故正故正确，由图象知：当确，由图象知：当-1x3时，时，y有可能小于有可能小于0，故不正确，故不正确.-2ba巩固练习巩固练习A连 接 中 考连 接 中 考1.已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的的x、y的部分对应值如下表：的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴轴 B.直线直线x=C.直线直线x=2 D.直线直线x=则该二次函数图象的对称轴为则该二次函数图象的对称轴为()()D5232课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题Oyx1232.已知已知二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象如图所示，则下列结论：如图所示，则下列结论：（1）
14、a、b同号同号；（2）当当x=1和和x=3时，函时，函数值相等数值相等；（3）4a+b=0；（4）当当y=2时，时，x的值只的值只能取能取0；其中其中正确的是正确的是.（2）课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题3.如如图是二次函数图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分，图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中其中正确正确的的是（是（）23A B C DxyO2x=-1B课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 根据根据公式确定下列二次函数图象的对称轴公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐
15、标：和顶点坐标：22(1)21213;(2)580319;1(3)22;2(4)12.yxxyxxyxxyxx 直线x=33,5直线x=88,1直线x=1.2559,48直线x=0.519,24课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题1.已知函数已知函数y=-2x2+x-4,当当x=时时，y有最大值有最大值 .2.已知二次函数已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为那么它的图象大致为（）14318 B课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题24(,)24bacbaa2bxa y=ax2+bx+c（a 0)(一般式一般式)(顶点式顶点式)224()24bacby
16、a xaa课堂小结课堂小结第二课时返回用用待定系数法求函数的解析式待定系数法求函数的解析式 已知已知一次函数经过点（一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），），求这个一次函数的解析式。求这个一次函数的解析式。解解：设这个一次函数的解析式为设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数因为一次函数经过经过点（点（1，3）和（）和（-2，-12），），所以所以 解解得得 k=3，b=-6一次函数的解析式为一次函数的解析式为y=3x-6.【思考思考】如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？1223bkbk回顾旧知回顾旧知素养目标素养目标2.灵活应用灵
17、活应用三点式三点式、顶点式顶点式、交点式交点式求二次函求二次函数的解析式数的解析式.1.会用会用待定系数法待定系数法求二次函数的解析式求二次函数的解析式.【思考思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤求二次函数析式的一般步骤求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的解析式的关键是什么？的关键是什么？用三点式求二次函数的解析式用三点式求二次函数的解析式 探究新知探究新知知识点 1 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数
18、，由几个点次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？的坐标可以确定二次函数？已知一个二次函数的图象过点已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函，求这个函数的解析式数的解析式.解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得：由已知得：a-b+c=10a+b+c=4三个未知数，两个等量关三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？系，这个方程组能解吗？第一步第一步:设出解析式的形式；设出解析式的形式；第二步第二步:代入已知点的坐标；代入已知点的坐标；第三步：解方程组。第三步：解方程组。探究新知探究新知 已
19、知一个二次函数的图象过点已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)，求这个函数的解析式，求这个函数的解析式.第一步第一步:设出解析式的设出解析式的 形式；形式；第二步第二步:代入已知点的代入已知点的 坐标；坐标；第三步：解方程组。第三步：解方程组。解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得：由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7三个未知数，三个三个未知数，三个等量关系，这个方等量关系，这个方程组能解吗？程组能解吗？探究新知探究新知a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7?由由-可得可得：2b=-6b=-3由由-可
20、得可得：3a+3b=-3a+b=-1a=2将将a=2，b=-3代入代入可得可得：2+3+c=10c=5解方程组得解方程组得：a=2,b=-3,c=5.探究新知探究新知 例例1 已知一个二次函数的图象过点已知一个二次函数的图象过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3).三点，求这个函数的解析式三点，求这个函数的解析式.解：解：设所求抛物线的解析式为设所求抛物线的解析式为yax2+bx+c.抛物线经过点抛物线经过点A(-1，0),B(4，5),C(0，-3).解得解得a1，b-2，c-3.抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx2-2x-3.01645 3.ab cab cc ，利用三点式求二次
21、函数的解析式利用三点式求二次函数的解析式素养考点素养考点 1探究新知探究新知 求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待的解析式，关键是求出待定系数定系数a，b，c的值。的值。若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可设解析式为设解析式为y=ax2+bx+c,列出关于列出关于a，b，c的方程组，的方程组，并求出并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。，就可以写出二次函数的解析式。归纳归纳任意两点的连线任意两点的连线不与不与y轴平行轴平行三点式求二次函数的解析式三点式求二次函数的解析式探究新知探究新知 已知已知一个二次函数的图象
22、过点一个二次函数的图象过点A(0,0),B(-1,-1),C(1,9)三点，求这个函数的解析式三点，求这个函数的解析式.第一步第一步:设出解析式的形式；设出解析式的形式；第二步第二步:代入已知点的坐标；代入已知点的坐标；第三步第三步:解方程组。解方程组。解：解：设所求抛物线的解析式为设所求抛物线的解析式为yax2+bx+c.抛物线经过点抛物线经过点A(0,0),B(-1,-1),C(1,9).解得解得a4，b5，c0.抛物线的解析式为抛物线的解析式为y4x2+5x.0=c-1=a-b+c9=a+b+c巩固练习巩固练习变式题变式题1 用交点式用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求二次函数解析式
23、求二次函数解析式 一个二次函数，当自变量一个二次函数，当自变量x0时，函数值时，函数值y-1，当，当x-2与与 时，时，y0，求这个二次函数的解析式，求这个二次函数的解析式.1212,0()1)(21ya xxxya，方方法法：的值.设设再再把把代代入入其其中中,求求出出21012202yaxbxcxyxyabc，方方法法：，由“”，列方程组求出设设时时，与与 时时，的的值值.探究新知探究新知知识点 2两种方法的结果一样吗？两种方两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？法哪一个更简捷？交点式求二次函数的解析交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与式：若已知抛物线与x轴的轴的两交点坐标，可设
24、解析式两交点坐标，可设解析式为为y=a（x-x1）（）（x-x2），把另一点的坐标代入，解把另一点的坐标代入，解关于关于a的一元一次方程的一元一次方程.例例2 已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴交于轴交于A(1,0)，B(3,0)两点两点(两点的纵坐标都为两点的纵坐标都为0)，与，与y轴交于点轴交于点C(0,3)，求这，求这个二次函数的解析式个二次函数的解析式.解解:图象与图象与x轴交于轴交于A(1,0)，B(3,0)设函数解析式为设函数解析式为ya(x-1)(x-3)图象过点图象过点C(0,3)3=a(0-1)(0-3)，解得，解得a=1.二次函数解析式为二次函
25、数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3利用交点式求二次函数的解析式利用交点式求二次函数的解析式素养考点素养考点 2探究新知探究新知 已知已知抛物线与抛物线与x轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0）并经过点）并经过点M（0,1），求抛物线的解析），求抛物线的解析式式.因此所求的抛物线解析式为因此所求的抛物线解析式为 y=x2+1.解解:图象与图象与x轴交于轴交于A(-1,0)，B(1,0)设函数解析式为设函数解析式为ya(x+1)(x-1)图象过点图象过点M(0,1)1=a(0+1)(0-1)，解得，解得a=-1.二次函数解析式为二次函数解析式为y=-1(x+1)(x-1)巩固练
26、习巩固练习变式变式题题 2【思考思考】图象图象顶点为顶点为(h,k)的二次函数的解析式是的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？的关键是什么？用二次函数顶点式用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式求函数解析式探究新知探究新知知识点 3利用顶点式求二次函数的解析式利用顶点式求二次函数的解析式 例例3 已知抛物线顶点为已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点，且又过点(2,-3)，求其解，求其解析式析式.解：解：抛物线顶点为抛物线顶点为(1,-4)设其解析式为设其解析式为y=a(x-1)2-4，又又抛物线过点
27、抛物线过点(2,-3)，则则-3=a(2-1)2-4，则，则a=1.其解析式为其解析式为y=(x-1)2-4x2-2x-3.探究新知探究新知素养考点素养考点 3 若若已知顶点坐标和一点，可设解析式为已知顶点坐标和一点，可设解析式为y=a(x-h)2+k，将另一点坐标代入解关于将另一点坐标代入解关于a的一的一元一次方程元一次方程.归纳归纳顶点式求二次函数的解析式顶点式求二次函数的解析式探究新知探究新知变式题变式题3 巩固练习巩固练习 （2018中考中考）已知二次函数的图象以）已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点为顶点，且过点B（2，5），求该函数的关系式），求该函数的关系式.解解：设设
28、抛物线顶点式抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将将B（2，5）代入得：）代入得：a=1该函数的解析式为：该函数的解析式为：y=（x+1）2+4 y=x22x+3连接中考连接中考巩固练习巩固练习连 接 中 考连 接 中 考1.如图所示如图所示,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象的图象顶点为顶点为A(-2,-2),且过点且过点B(0,2),则则y与与x的函数关系式为的函数关系式为()A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-22.已知二次函数的图象经过点已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当并且当
29、x=3时有最大值时有最大值4,则其解析式为则其解析式为 .Dy=-7(x-3)2+4.课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 如如图所示图所示,已知抛物线的对称轴是直线已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与它与x轴轴交于交于A、B两点两点,与与y轴交于轴交于C点点,点点A、C的坐标分别是的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式求这个抛物线的解析式.解：解：由抛物线过由抛物线过A(8,0)及对称轴为及对称轴为x=3,知抛物线一定过点知抛物线一定过点(-2,0).设这个抛物线的解析式为设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),抛物线过点抛物线过点(0,4),21
30、(2)(8)4134.42yxxyxx 这个抛物线的解析式为即4=a(0+2)(0-8),1.4a解解得得课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题 已知已知抛物线顶点抛物线顶点(1,16)，且抛物线与且抛物线与x轴的两交点间轴的两交点间的距离为的距离为8，求其解析式求其解析式.解解:由题意可知抛物线与由题意可知抛物线与x轴交点坐标为轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),设解析式为设解析式为y=a(x-5)(x+3),抛物线过点抛物线过点(1,16)16=a(1-5)(1+3),解得解得a=-1.抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题待定待定系数系数法求法求二次二次函数函数的解的解析式析式三点式交点式顶点式已知抛物线上三个点的坐标，设已知抛物线上三个点的坐标，设解析式为解析式为 y=ax2+bx+c已知抛物线与已知抛物线与x轴两交点的坐标，轴两交点的坐标，设解析式为设解析式为 y=（x-x1）（）（x-x2）已知抛物线顶点坐标和另一个点已知抛物线顶点坐标和另一个点的坐标，设解析式为的坐标，设解析式为y=a（x-h）2+k课堂小结课堂小结作业作业内容内容教材作业教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排自主安排配套练习册练习配套练习册练习课后作业课后作业
