1、 2.2 2.2 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 2.2.1 2.2.1 向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义 第二章第二章 平面向量平面向量问题提出问题提出1.1.向量、平行向量、相等向量的含义分向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？别是什么？2.2.用有向线段表示向量，向量的大小和用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？位向量？3.3.两个实数可以相加，从而给数赋予了两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵新的内涵.如果向量仅停留在概念的层如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的面上，那是没有
2、多大意义的.我们希望我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则立相关的原理和法则.探究一：向量加法的几何运算法则探究一：向量加法的几何运算法则 思考思考1 1：如图，某人从点如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B按按原方向到点原方向到点C C，则两次位移的和可用哪个向量，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？表示？由此可得什么结论？A B C思考思考2 2：如图，某人从点如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B按按反方向到点反方向
3、到点C C，则两次位移的和可用哪个向，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？量表示？由此可得什么结论？A B C思考思考3 3：如图，某人从点如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B改变方向到点改变方向到点C C，则两次位移的和可用，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？哪个向量表示？由此可得什么结论？A BC思考思考4 4：上述分析表明，两个向量可以相加，上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量并且两个向量的和还是一个向量.一般地，一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的求两个向量和的运算，叫做向量的加法加法.上上述求两个向量和的方法
4、，称为向量加法的述求两个向量和的方法，称为向量加法的三三角形法则角形法则.对于下列两个向量对于下列两个向量a与与b，如何用，如何用三角形法则求其和向量？三角形法则求其和向量？aCabABa思考思考5 5：图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向伸长了方向伸长了EOEO；图；图2 2表表示橡皮条在一个力示橡皮条在一个力F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸长了相同长度方向伸长了相同长度.从力学的观点分从力学的观点分析，力析，力F F与与F F1 1、F F2 2之间的关系如何？之间的关系如何？MCEOF1F2图图1ME
5、OF图图2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1FCOAB思考思考6 6：人在河中游泳，人的游速为人在河中游泳，人的游速为 水流速度为水流速度为 ，那么人在水中的实际，那么人在水中的实际速度速度 与与 、之间的关系如何？之间的关系如何？思考思考7 7：上述求两个向量和的方法，称为上述求两个向量和的方法，称为向量加法的向量加法的平行四边形法则平行四边形法则.对于下列两对于下列两个向量个向量a与与b，如何用平行四边形法则求，如何用平行四边形法则求其和向量？其和向量？aBabAaOC思考思考8 8：用三角形法则和平行四边形法用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和向量，其作图特点则求作两个向量
6、的和向量，其作图特点分别如何？分别如何？三角形法则：首尾相接连端点；三角形法则：首尾相接连端点；平行四边形法则：起点相同连对角平行四边形法则：起点相同连对角.思考思考1 1：零向量零向量0 0与任一向量与任一向量a可以相加吗？可以相加吗？探究二：向量加法的代数运算性质探究二：向量加法的代数运算性质规定：规定：a0=00=0a=a，思考思考2 2：若向量若向量a与与b为相反向量，则为相反向量，则ab等于什么？反之成立吗？等于什么？反之成立吗？思考思考3 3：若向量若向量a与与b同向，则向量同向，则向量ab的的方向如何？若向量方向如何？若向量a与与b反向，则向量反向，则向量ab的方向如何？的方向如
7、何？a与与b 为相反向量为相反向量 ab=0思考思考4 4：考察下列各图，考察下列各图，|ab|与与|a|b|的大小关系如何？的大小关系如何？|ab|与与|a|b|的的大小关系如何？大小关系如何？ABCabaaabaab|ab|a|b|，当且仅当，当且仅当a与与b同向时取同向时取等号；等号；|ab|a|b|，当且仅当，当且仅当a与与b反向时取反向时取等号等号.思考思考5 5：实数的加法运算满足交换律，即实数的加法运算满足交换律，即对任意对任意a a，bRbR，都有，都有a ab=bb=ba.a.那么向那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？量的加法也满足交换律吗？如何检验？BabaCAaOab
8、 ba 思考思考6 6：实数的加法运算满足结合律，实数的加法运算满足结合律，即对任意即对任意a a，b b，cRcR，都有（，都有（a ab b）c=ac=a（b bc c）.那么向量的加法也满足那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？结合律吗？如何检验？a+b+cabCcBAaO（ab）c a（bc）思考思考7 7：等于什么向量？等于什么向量？等于什么向量？等于什么向量？理论迁移理论迁移 例例 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江如图所示，一艘船从长江南岸南岸A A点出发，以点出发，以5km/h5km/h的速
9、度向垂直于对岸的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.2km/h.（1 1）使用向量表示江水速度、船速以及船）使用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度；的实际航行的速度；（2 2）求船实际航行速度的大小与方向）求船实际航行速度的大小与方向.ADABC小结作业小结作业1.1.向量概念源于物理，位移的合成是向量向量概念源于物理，位移的合成是向量加法三角形法则的物理模型，力的合成是加法三角形法则的物理模型，力的合成是向量加法平行四边形法则的物理模型向量加法平行四边形法则的物理模型.2.2.任意多个向量可以相加，并可以按任任意多个向量可以相加，并可以按任意次序、组合进行意次序、组合进行.若平移这些向量使其若平移这些向量使其首尾相接，则以第一个向量的起点为起首尾相接，则以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，点，最后一个向量的终点为终点的向量，即为这些向量的和即为这些向量的和.3.3.两个向量的和的模不大于这两个向两个向量的和的模不大于这两个向量的模的和，这是一个不等式性质，量的模的和，这是一个不等式性质，解题中具有一定的功能作用解题中具有一定的功能作用 阶段一阶段二阶段三学业分层测评向量向量的数乘a0相同相反0aaaab(a)(a)abba线性1a2b学业分层测评点击图标进入
